Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem23 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mapdpglem23 35333
Description: Lemma for mapdpg 35345. Baer p. 45, line 10: "and so y' meets all our requirements." Our  h is Baer's y'. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem12.yn  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
mapdpglem17.ep  |-  E  =  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  z )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem23  |-  ( ph  ->  E. h  e.  F  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t    h, E   
h, F    h, G    h, J    h, M    h, N    R, h    .- , h    h, X    h, Y
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g, h)    A( z,
t, g, h)    B( z, t, h)    C( h)    .(+) (
z, t, g, h)    Q( z, t, g, h)    R( t)    .x. ( t, h)    U( z, t, g, h)    E( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g, h)    K( z, t, g, h)    .- ( z,
g)    V( z, t, g, h)    W( z, t, g, h)    X( z, g)    .0. ( z, t, g, h)

Proof of Theorem mapdpglem23
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdpglem.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
3 mapdpglem.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 eqid 2471 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
5 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
6 eqid 2471 . . . 4  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
7 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
81, 3, 7dvhlmod 34749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
9 mapdpglem.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
10 mapdpglem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
11 mapdpglem.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
1210, 4, 11lspsncl 18278 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
138, 9, 12syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13mapdcl2 35295 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
15 mapdpglem.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
16 mapdpglem.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 mapdpglem1.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
18 mapdpglem2.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
19 mapdpglem3.f . . . 4  |-  F  =  ( Base `  C
)
20 mapdpglem3.te . . . 4  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
21 mapdpglem3.a . . . 4  |-  A  =  (Scalar `  U )
22 mapdpglem3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
23 mapdpglem3.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  C )
24 mapdpglem3.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
25 mapdpglem3.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
26 mapdpglem3.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
27 mapdpglem4.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
28 mapdpglem.ne . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
29 mapdpglem4.jt . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
30 mapdpglem4.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
31 mapdpglem4.g4 . . . 4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
32 mapdpglem4.z4 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
33 mapdpglem4.t4 . . . 4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
34 mapdpglem4.xn . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
35 mapdpglem12.yn . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
36 mapdpglem17.ep . . . 4  |-  E  =  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  z )
371, 2, 3, 10, 15, 11, 5, 7, 16, 9, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36mapdpglem19 35329 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
3819, 6lssel 18239 . . 3  |-  ( ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )  /\  E  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) )  ->  E  e.  F )
3914, 37, 38syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  F )
401, 2, 3, 10, 15, 11, 5, 7, 16, 9, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36mapdpglem20 35330 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { E } ) )
411, 2, 3, 10, 15, 11, 5, 7, 16, 9, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36mapdpglem22 35332 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
42 sneq 3969 . . . . . 6  |-  ( h  =  E  ->  { h }  =  { E } )
4342fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( h  =  E  ->  ( J `  { h } )  =  ( J `  { E } ) )
4443eqeq2d 2481 . . . 4  |-  ( h  =  E  ->  (
( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  <->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { E } ) ) )
45 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( h  =  E  ->  ( G R h )  =  ( G R E ) )
4645sneqd 3971 . . . . . 6  |-  ( h  =  E  ->  { ( G R h ) }  =  { ( G R E ) } )
4746fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( h  =  E  ->  ( J `  { ( G R h ) } )  =  ( J `
 { ( G R E ) } ) )
4847eqeq2d 2481 . . . 4  |-  ( h  =  E  ->  (
( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } )  <->  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) ) )
4944, 48anbi12d 725 . . 3  |-  ( h  =  E  ->  (
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) )  <->  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `
 { E }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) ) ) )
5049rspcev 3136 . 2  |-  ( ( E  e.  F  /\  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { E } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( G R E ) } ) ) )  ->  E. h  e.  F  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) ) )
5139, 40, 41, 50syl12anc 1290 1  |-  ( ph  ->  E. h  e.  F  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   {csn 3959   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   0gc0g 15416   -gcsg 16749   LSSumclsm 17364   invrcinvr 17977   LModclmod 18169   LSubSpclss 18233   LSpanclspn 18272   HLchlt 32987   LHypclh 33620   DVecHcdvh 34717  LCDualclcd 35225  mapdcmpd 35263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-riotaBAD 32589
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-undef 7038  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-0g 15418  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404  df-lsatoms 32613  df-lshyp 32614  df-lcv 32656  df-lfl 32695  df-lkr 32723  df-ldual 32761  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796  df-tgrp 34381  df-tendo 34393  df-edring 34395  df-dveca 34641  df-disoa 34668  df-dvech 34718  df-dib 34778  df-dic 34812  df-dih 34868  df-doch 34987  df-djh 35034  df-lcdual 35226  df-mapd 35264
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  35343
  Copyright terms: Public domain W3C validator