Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem22 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem22 35701
Description: Lemma for mapdpg 35714. Baer p. 45, line 9: "(F(x-y))* = ... = G(x'-y')." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem12.yn  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
mapdpglem17.ep  |-  E  =  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  z )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem22  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    E( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem22
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
2 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
4 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
52, 3, 4lcdlvec 35599 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  LVec )
6 mapdpglem.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
72, 6, 4dvhlvec 35117 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
8 mapdpglem3.a . . . . . . 7  |-  A  =  (Scalar `  U )
98lvecdrng 17319 . . . . . 6  |-  ( U  e.  LVec  ->  A  e.  DivRing )
107, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  DivRing )
11 mapdpglem4.g4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
12 mapdpglem.m . . . . . 6  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdpglem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
14 mapdpglem.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  U )
15 mapdpglem.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
16 mapdpglem.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 mapdpglem.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
18 mapdpglem1.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
19 mapdpglem2.j . . . . . 6  |-  J  =  ( LSpan `  C )
20 mapdpglem3.f . . . . . 6  |-  F  =  ( Base `  C
)
21 mapdpglem3.te . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
22 mapdpglem3.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
23 mapdpglem3.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  C )
24 mapdpglem3.r . . . . . 6  |-  R  =  ( -g `  C
)
25 mapdpglem3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
26 mapdpglem3.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
27 mapdpglem4.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
28 mapdpglem.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
29 mapdpglem4.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
30 mapdpglem4.z4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
31 mapdpglem4.t4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
32 mapdpglem4.xn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
332, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32mapdpglem11 35690 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  =/=  .0.  )
34 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( invr `  A )  =  (
invr `  A )
3522, 29, 34drnginvrcl 16982 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  DivRing  /\  g  e.  B  /\  g  =/=  .0.  )  ->  (
( invr `  A ) `  g )  e.  B
)
3610, 11, 33, 35syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  e.  B )
37 eqid 2454 . . . . 5  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
38 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
392, 6, 8, 22, 3, 37, 38, 4lcdsbase 35608 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  C ) )  =  B )
4036, 39eleqtrrd 2545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) )
4122, 29, 34drnginvrn0 16983 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  DivRing  /\  g  e.  B  /\  g  =/=  .0.  )  ->  (
( invr `  A ) `  g )  =/=  .0.  )
4210, 11, 33, 41syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  =/=  .0.  )
43 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  C )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  C )
)
442, 6, 8, 29, 3, 37, 43, 4lcd0 35616 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  C ) )  =  .0.  )
4542, 44neeqtrrd 2752 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  C ) ) )
462, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21mapdpglem2a 35682 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  F )
4720, 37, 23, 38, 43, 19lspsnvs 17328 . . 3  |-  ( ( C  e.  LVec  /\  (
( ( invr `  A
) `  g )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) )  /\  ( ( invr `  A
) `  g )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  C ) ) )  /\  t  e.  F
)  ->  ( J `  { ( ( (
invr `  A ) `  g )  .x.  t
) } )  =  ( J `  {
t } ) )
485, 40, 45, 46, 47syl121anc 1224 . 2  |-  ( ph  ->  ( J `  {
( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  t ) } )  =  ( J `  { t } ) )
49 mapdpglem12.yn . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
50 mapdpglem17.ep . . . . 5  |-  E  =  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  z )
512, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32, 49, 50mapdpglem21 35700 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  t )  =  ( G R E ) )
5251sneqd 4000 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( ( (
invr `  A ) `  g )  .x.  t
) }  =  {
( G R E ) } )
5352fveq2d 5806 . 2  |-  ( ph  ->  ( J `  {
( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  t ) } )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
541, 48, 533eqtr2d 2501 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   {csn 3988   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296  Scalarcsca 14364   .scvsca 14365   0gc0g 14501   -gcsg 15536   LSSumclsm 16258   invrcinvr 16896   DivRingcdr 16965   LSpanclspn 17185   LVecclvec 17316   HLchlt 33358   LHypclh 33991   DVecHcdvh 35086  LCDualclcd 35594  mapdcmpd 35632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-riotaBAD 32967
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-undef 6905  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-0g 14503  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-poset 15239  df-plt 15251  df-lub 15267  df-glb 15268  df-join 15269  df-meet 15270  df-p0 15332  df-p1 15333  df-lat 15339  df-clat 15401  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-subg 15801  df-cntz 15958  df-oppg 15984  df-lsm 16260  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-dvr 16908  df-drng 16967  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186  df-lvec 17317  df-lsatoms 32984  df-lshyp 32985  df-lcv 33027  df-lfl 33066  df-lkr 33094  df-ldual 33132  df-oposet 33184  df-ol 33186  df-oml 33187  df-covers 33274  df-ats 33275  df-atl 33306  df-cvlat 33330  df-hlat 33359  df-llines 33505  df-lplanes 33506  df-lvols 33507  df-lines 33508  df-psubsp 33510  df-pmap 33511  df-padd 33803  df-lhyp 33995  df-laut 33996  df-ldil 34111  df-ltrn 34112  df-trl 34166  df-tgrp 34750  df-tendo 34762  df-edring 34764  df-dveca 35010  df-disoa 35037  df-dvech 35087  df-dib 35147  df-dic 35181  df-dih 35237  df-doch 35356  df-djh 35403  df-lcdual 35595  df-mapd 35633
This theorem is referenced by:  mapdpglem23  35702
  Copyright terms: Public domain W3C validator