Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem22 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem22 34694
Description: Lemma for mapdpg 34707. Baer p. 45, line 9: "(F(x-y))* = ... = G(x'-y')." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem12.yn  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
mapdpglem17.ep  |-  E  =  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  z )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem22  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    E( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem22
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
2 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
4 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
52, 3, 4lcdlvec 34592 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  LVec )
6 mapdpglem.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
72, 6, 4dvhlvec 34110 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
8 mapdpglem3.a . . . . . . 7  |-  A  =  (Scalar `  U )
98lvecdrng 17963 . . . . . 6  |-  ( U  e.  LVec  ->  A  e.  DivRing )
107, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  DivRing )
11 mapdpglem4.g4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
12 mapdpglem.m . . . . . 6  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdpglem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
14 mapdpglem.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  U )
15 mapdpglem.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
16 mapdpglem.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 mapdpglem.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
18 mapdpglem1.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
19 mapdpglem2.j . . . . . 6  |-  J  =  ( LSpan `  C )
20 mapdpglem3.f . . . . . 6  |-  F  =  ( Base `  C
)
21 mapdpglem3.te . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
22 mapdpglem3.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
23 mapdpglem3.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  C )
24 mapdpglem3.r . . . . . 6  |-  R  =  ( -g `  C
)
25 mapdpglem3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
26 mapdpglem3.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
27 mapdpglem4.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
28 mapdpglem.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
29 mapdpglem4.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
30 mapdpglem4.z4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
31 mapdpglem4.t4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
32 mapdpglem4.xn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
332, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32mapdpglem11 34683 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  =/=  .0.  )
34 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( invr `  A )  =  (
invr `  A )
3522, 29, 34drnginvrcl 17625 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  DivRing  /\  g  e.  B  /\  g  =/=  .0.  )  ->  (
( invr `  A ) `  g )  e.  B
)
3610, 11, 33, 35syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  e.  B )
37 eqid 2402 . . . . 5  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
38 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
392, 6, 8, 22, 3, 37, 38, 4lcdsbase 34601 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  C ) )  =  B )
4036, 39eleqtrrd 2493 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) )
4122, 29, 34drnginvrn0 17626 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  DivRing  /\  g  e.  B  /\  g  =/=  .0.  )  ->  (
( invr `  A ) `  g )  =/=  .0.  )
4210, 11, 33, 41syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  =/=  .0.  )
43 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  C )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  C )
)
442, 6, 8, 29, 3, 37, 43, 4lcd0 34609 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  C ) )  =  .0.  )
4542, 44neeqtrrd 2703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  C ) ) )
462, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21mapdpglem2a 34675 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  F )
4720, 37, 23, 38, 43, 19lspsnvs 17972 . . 3  |-  ( ( C  e.  LVec  /\  (
( ( invr `  A
) `  g )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) )  /\  ( ( invr `  A
) `  g )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  C ) ) )  /\  t  e.  F
)  ->  ( J `  { ( ( (
invr `  A ) `  g )  .x.  t
) } )  =  ( J `  {
t } ) )
485, 40, 45, 46, 47syl121anc 1235 . 2  |-  ( ph  ->  ( J `  {
( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  t ) } )  =  ( J `  { t } ) )
49 mapdpglem12.yn . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
50 mapdpglem17.ep . . . . 5  |-  E  =  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  z )
512, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32, 49, 50mapdpglem21 34693 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  t )  =  ( G R E ) )
5251sneqd 3983 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( ( (
invr `  A ) `  g )  .x.  t
) }  =  {
( G R E ) } )
5352fveq2d 5809 . 2  |-  ( ph  ->  ( J `  {
( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  t ) } )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
541, 48, 533eqtr2d 2449 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   {csn 3971   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733  Scalarcsca 14804   .scvsca 14805   0gc0g 14946   -gcsg 16271   LSSumclsm 16870   invrcinvr 17532   DivRingcdr 17608   LSpanclspn 17829   LVecclvec 17960   HLchlt 32349   LHypclh 32982   DVecHcdvh 34079  LCDualclcd 34587  mapdcmpd 34625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-riotaBAD 31958
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-tpos 6912  df-undef 6959  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-0g 14948  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-preset 15773  df-poset 15791  df-plt 15804  df-lub 15820  df-glb 15821  df-join 15822  df-meet 15823  df-p0 15885  df-p1 15886  df-lat 15892  df-clat 15954  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-subg 16414  df-cntz 16571  df-oppg 16597  df-lsm 16872  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-oppr 17484  df-dvdsr 17502  df-unit 17503  df-invr 17533  df-dvr 17544  df-drng 17610  df-lmod 17726  df-lss 17791  df-lsp 17830  df-lvec 17961  df-lsatoms 31975  df-lshyp 31976  df-lcv 32018  df-lfl 32057  df-lkr 32085  df-ldual 32123  df-oposet 32175  df-ol 32177  df-oml 32178  df-covers 32265  df-ats 32266  df-atl 32297  df-cvlat 32321  df-hlat 32350  df-llines 32496  df-lplanes 32497  df-lvols 32498  df-lines 32499  df-psubsp 32501  df-pmap 32502  df-padd 32794  df-lhyp 32986  df-laut 32987  df-ldil 33102  df-ltrn 33103  df-trl 33158  df-tgrp 33743  df-tendo 33755  df-edring 33757  df-dveca 34003  df-disoa 34030  df-dvech 34080  df-dib 34140  df-dic 34174  df-dih 34230  df-doch 34349  df-djh 34396  df-lcdual 34588  df-mapd 34626
This theorem is referenced by:  mapdpglem23  34695
  Copyright terms: Public domain W3C validator