Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem20 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem20 37870
Description: Lemma for mapdpg 37885. Baer p. 45, line 8: "...so that (Fy)*=Gy'." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem12.yn  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
mapdpglem17.ep  |-  E  =  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  z )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem20  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { E } ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    E( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem20
StepHypRef Expression
1 eqid 2396 . 2  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
2 mapdpglem2.j . 2  |-  J  =  ( LSpan `  C )
3 eqid 2396 . 2  |-  (LSAtoms `  C
)  =  (LSAtoms `  C
)
4 mapdpglem.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 mapdpglem.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
6 mapdpglem.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
74, 5, 6lcdlvec 37770 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  LVec )
8 mapdpglem.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
9 mapdpglem.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
10 eqid 2396 . . 3  |-  (LSAtoms `  U
)  =  (LSAtoms `  U
)
11 mapdpglem.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 mapdpglem.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
13 mapdpglem4.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
144, 9, 6dvhlmod 37289 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
15 mapdpglem.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
16 mapdpglem12.yn . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
17 eldifsn 4086 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  { Q } )  <->  ( Y  e.  V  /\  Y  =/= 
Q ) )
1815, 16, 17sylanbrc 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  { Q }
) )
1911, 12, 13, 10, 14, 18lsatlspsn 35170 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (LSAtoms `  U ) )
204, 8, 9, 10, 5, 3, 6, 19mapdat 37846 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  (LSAtoms `  C )
)
21 mapdpglem.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
22 mapdpglem.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
23 mapdpglem1.p . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
24 mapdpglem3.f . . 3  |-  F  =  ( Base `  C
)
25 mapdpglem3.te . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
26 mapdpglem3.a . . 3  |-  A  =  (Scalar `  U )
27 mapdpglem3.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
28 mapdpglem3.t . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  C )
29 mapdpglem3.r . . 3  |-  R  =  ( -g `  C
)
30 mapdpglem3.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
31 mapdpglem3.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
32 mapdpglem.ne . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
33 mapdpglem4.jt . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
34 mapdpglem4.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
35 mapdpglem4.g4 . . 3  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
36 mapdpglem4.z4 . . 3  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
37 mapdpglem4.t4 . . 3  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
38 mapdpglem4.xn . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
39 mapdpglem17.ep . . 3  |-  E  =  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  z )
404, 8, 9, 11, 21, 12, 5, 6, 22, 15, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 16, 39mapdpglem19 37869 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
414, 8, 9, 11, 21, 12, 5, 6, 22, 15, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 16, 39mapdpglem18 37868 . 2  |-  ( ph  ->  E  =/=  ( 0g
`  C ) )
421, 2, 3, 7, 20, 40, 41lsatel 35182 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { E } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2591    \ cdif 3403   {csn 3961   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   Basecbs 14657  Scalarcsca 14728   .scvsca 14729   0gc0g 14870   -gcsg 16195   LSSumclsm 16794   invrcinvr 17456   LSpanclspn 17753  LSAtomsclsa 35151   HLchlt 35527   LHypclh 36160   DVecHcdvh 37257  LCDualclcd 37765  mapdcmpd 37803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-riotaBAD 35136
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-iin 4263  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-of 6461  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-tpos 6895  df-undef 6942  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-fz 11616  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-sca 14741  df-vsca 14742  df-0g 14872  df-mre 15016  df-mrc 15017  df-acs 15019  df-preset 15697  df-poset 15715  df-plt 15728  df-lub 15744  df-glb 15745  df-join 15746  df-meet 15747  df-p0 15809  df-p1 15810  df-lat 15816  df-clat 15878  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-submnd 16107  df-grp 16197  df-minusg 16198  df-sbg 16199  df-subg 16338  df-cntz 16495  df-oppg 16521  df-lsm 16796  df-cmn 16940  df-abl 16941  df-mgp 17278  df-ur 17290  df-ring 17336  df-oppr 17408  df-dvdsr 17426  df-unit 17427  df-invr 17457  df-dvr 17468  df-drng 17534  df-lmod 17650  df-lss 17715  df-lsp 17754  df-lvec 17885  df-lsatoms 35153  df-lshyp 35154  df-lcv 35196  df-lfl 35235  df-lkr 35263  df-ldual 35301  df-oposet 35353  df-ol 35355  df-oml 35356  df-covers 35443  df-ats 35444  df-atl 35475  df-cvlat 35499  df-hlat 35528  df-llines 35674  df-lplanes 35675  df-lvols 35676  df-lines 35677  df-psubsp 35679  df-pmap 35680  df-padd 35972  df-lhyp 36164  df-laut 36165  df-ldil 36280  df-ltrn 36281  df-trl 36336  df-tgrp 36921  df-tendo 36933  df-edring 36935  df-dveca 37181  df-disoa 37208  df-dvech 37258  df-dib 37318  df-dic 37352  df-dih 37408  df-doch 37527  df-djh 37574  df-lcdual 37766  df-mapd 37804
This theorem is referenced by:  mapdpglem23  37873
  Copyright terms: Public domain W3C validator