Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mapdpglem2 35235
Description: Lemma for mapdpg 35268. Baer p. 45, lines 1 and 2: "we have (F(x-y))* = Gt where t necessarily belongs to (Fx)*+(Fy)*." (We scope $d  t ph locally to avoid clashes with later substitutions into  ph.) (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    ph, t
Allowed substitution hints:    .(+) ( t)    U( t)    H( t)    K( t)    V( t)    W( t)

Proof of Theorem mapdpglem2
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdpglem.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
3 mapdpglem.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 mapdpglem.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 mapdpglem.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
6 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 eqid 2450 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
8 mapdpglem2.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
9 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
101, 3, 9dvhlmod 34672 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
11 mapdpglem.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
12 mapdpglem.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 mapdpglem.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  U )
144, 13lmodvsubcl 18126 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
1510, 11, 12, 14syl3anc 1267 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15mapdspex 35230 . . 3  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (
Base `  C )
( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
171, 6, 9lcdlmod 35154 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
187, 8lspsnid 18209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  t  e.  ( Base `  C
) )  ->  t  e.  ( J `  {
t } ) )
1917, 18sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( Base `  C )
)  ->  t  e.  ( J `  { t } ) )
2019adantrr 722 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )  ->  t  e.  ( J `  {
t } ) )
21 simprr 765 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) )
2220, 21eleqtrrd 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )  ->  t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) ) )
2322, 21jca 535 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )  ->  (
t  e.  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  /\  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) ) )
2423ex 436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) )  ->  ( t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) ) ) )
2524reximdv2 2857 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( Base `  C
) ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  {
t } )  ->  E. t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) ) ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  {
t } ) ) )
2616, 25mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) ) ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) )
27 mapdpglem1.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
281, 2, 3, 4, 13, 5, 6, 9, 11, 12, 27mapdpglem1 35234 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  C_  (
( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) )
2928sseld 3430 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) ) )
3029anim1d 567 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) )  ->  (
t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )  /\  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) ) ) )
3130reximdv2 2857 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) ) ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } )  ->  E. t  e.  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )
3226, 31mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   E.wrex 2737   {csn 3967   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Basecbs 15114   -gcsg 16664   LSSumclsm 17279   LModclmod 18084   LSpanclspn 18187   HLchlt 32910   LHypclh 33543   DVecHcdvh 34640  LCDualclcd 35148  mapdcmpd 35186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-riotaBAD 32519
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-undef 7017  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-0g 15333  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-preset 16166  df-poset 16184  df-plt 16197  df-lub 16213  df-glb 16214  df-join 16215  df-meet 16216  df-p0 16278  df-p1 16279  df-lat 16285  df-clat 16347  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-oppg 16990  df-lsm 17281  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-drng 17970  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-lvec 18319  df-lsatoms 32536  df-lshyp 32537  df-lcv 32579  df-lfl 32618  df-lkr 32646  df-ldual 32684  df-oposet 32736  df-ol 32738  df-oml 32739  df-covers 32826  df-ats 32827  df-atl 32858  df-cvlat 32882  df-hlat 32911  df-llines 33057  df-lplanes 33058  df-lvols 33059  df-lines 33060  df-psubsp 33062  df-pmap 33063  df-padd 33355  df-lhyp 33547  df-laut 33548  df-ldil 33663  df-ltrn 33664  df-trl 33719  df-tgrp 34304  df-tendo 34316  df-edring 34318  df-dveca 34564  df-disoa 34591  df-dvech 34641  df-dib 34701  df-dic 34735  df-dih 34791  df-doch 34910  df-djh 34957  df-lcdual 35149  df-mapd 35187
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  35266
  Copyright terms: Public domain W3C validator