Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem2 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem2 35626
Description: Lemma for mapdpg 35659. Baer p. 45, lines 1 and 2: "we have (F(x-y))* = Gt where t necessarily belongs to (Fx)*+(Fy)*." (We scope $d  t ph locally to avoid clashes with later substitutions into  ph.) (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    ph, t
Allowed substitution hints:    .(+) ( t)    U( t)    H( t)    K( t)    V( t)    W( t)

Proof of Theorem mapdpglem2
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdpglem.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
3 mapdpglem.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 mapdpglem.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 mapdpglem.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
6 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
8 mapdpglem2.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
9 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
101, 3, 9dvhlmod 35063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
11 mapdpglem.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
12 mapdpglem.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 mapdpglem.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  U )
144, 13lmodvsubcl 17098 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
1510, 11, 12, 14syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15mapdspex 35621 . . 3  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (
Base `  C )
( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
171, 6, 9lcdlmod 35545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
187, 8lspsnid 17182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  t  e.  ( Base `  C
) )  ->  t  e.  ( J `  {
t } ) )
1917, 18sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( Base `  C )
)  ->  t  e.  ( J `  { t } ) )
2019adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )  ->  t  e.  ( J `  {
t } ) )
21 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) )
2220, 21eleqtrrd 2542 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )  ->  t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) ) )
2322, 21jca 532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )  ->  (
t  e.  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  /\  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) ) )
2423ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) )  ->  ( t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) ) ) )
2524reximdv2 2923 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( Base `  C
) ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  {
t } )  ->  E. t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) ) ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  {
t } ) ) )
2616, 25mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) ) ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) )
27 mapdpglem1.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
281, 2, 3, 4, 13, 5, 6, 9, 11, 12, 27mapdpglem1 35625 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  C_  (
( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) )
2928sseld 3455 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) ) )
3029anim1d 564 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) )  ->  (
t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )  /\  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) ) ) )
3130reximdv2 2923 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) ) ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } )  ->  E. t  e.  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )
3226, 31mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2796   {csn 3977   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   -gcsg 15517   LSSumclsm 16239   LModclmod 17056   LSpanclspn 17160   HLchlt 33303   LHypclh 33936   DVecHcdvh 35031  LCDualclcd 35539  mapdcmpd 35577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-riotaBAD 32912
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-tpos 6847  df-undef 6894  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-0g 14484  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-poset 15220  df-plt 15232  df-lub 15248  df-glb 15249  df-join 15250  df-meet 15251  df-p0 15313  df-p1 15314  df-lat 15320  df-clat 15382  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-subg 15782  df-cntz 15939  df-oppg 15965  df-lsm 16241  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-oppr 16823  df-dvdsr 16841  df-unit 16842  df-invr 16872  df-dvr 16883  df-drng 16942  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-lsp 17161  df-lvec 17292  df-lsatoms 32929  df-lshyp 32930  df-lcv 32972  df-lfl 33011  df-lkr 33039  df-ldual 33077  df-oposet 33129  df-ol 33131  df-oml 33132  df-covers 33219  df-ats 33220  df-atl 33251  df-cvlat 33275  df-hlat 33304  df-llines 33450  df-lplanes 33451  df-lvols 33452  df-lines 33453  df-psubsp 33455  df-pmap 33456  df-padd 33748  df-lhyp 33940  df-laut 33941  df-ldil 34056  df-ltrn 34057  df-trl 34111  df-tgrp 34695  df-tendo 34707  df-edring 34709  df-dveca 34955  df-disoa 34982  df-dvech 35032  df-dib 35092  df-dic 35126  df-dih 35182  df-doch 35301  df-djh 35348  df-lcdual 35540  df-mapd 35578
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  35657
  Copyright terms: Public domain W3C validator