Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem2 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem2 34888
Description: Lemma for mapdpg 34921. Baer p. 45, lines 1 and 2: "we have (F(x-y))* = Gt where t necessarily belongs to (Fx)*+(Fy)*." (We scope $d  t ph locally to avoid clashes with later substitutions into  ph.) (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    ph, t
Allowed substitution hints:    .(+) ( t)    U( t)    H( t)    K( t)    V( t)    W( t)

Proof of Theorem mapdpglem2
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdpglem.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
3 mapdpglem.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 mapdpglem.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 mapdpglem.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
6 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 eqid 2433 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
8 mapdpglem2.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
9 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
101, 3, 9dvhlmod 34325 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
11 mapdpglem.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
12 mapdpglem.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 mapdpglem.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  U )
144, 13lmodvsubcl 16913 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
1510, 11, 12, 14syl3anc 1211 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15mapdspex 34883 . . 3  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (
Base `  C )
( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
171, 6, 9lcdlmod 34807 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
187, 8lspsnid 16995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  t  e.  ( Base `  C
) )  ->  t  e.  ( J `  {
t } ) )
1917, 18sylan 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( Base `  C )
)  ->  t  e.  ( J `  { t } ) )
2019adantrr 709 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )  ->  t  e.  ( J `  {
t } ) )
21 simprr 749 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) )
2220, 21eleqtrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )  ->  t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) ) )
2322, 21jca 529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )  ->  (
t  e.  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  /\  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) ) )
2423ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( Base `  C
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { t } ) )  ->  ( t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) ) ) )
2524reximdv2 2815 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( Base `  C
) ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  {
t } )  ->  E. t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) ) ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  {
t } ) ) )
2616, 25mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) ) ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) )
27 mapdpglem1.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
281, 2, 3, 4, 13, 5, 6, 9, 11, 12, 27mapdpglem1 34887 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  C_  (
( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) )
2928sseld 3343 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) ) )
3029anim1d 559 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) )  ->  (
t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )  /\  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) ) ) )
3130reximdv2 2815 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) ) ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } )  ->  E. t  e.  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) ) )
3226, 31mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   E.wrex 2706   {csn 3865   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Basecbs 14156   -gcsg 15395   LSSumclsm 16112   LModclmod 16871   LSpanclspn 16973   HLchlt 32565   LHypclh 33198   DVecHcdvh 34293  LCDualclcd 34801  mapdcmpd 34839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-riotaBAD 32174
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-tpos 6734  df-undef 6778  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-fz 11424  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-0g 14362  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-poset 15098  df-plt 15110  df-lub 15126  df-glb 15127  df-join 15128  df-meet 15129  df-p0 15191  df-p1 15192  df-lat 15198  df-clat 15260  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-grp 15524  df-minusg 15525  df-sbg 15526  df-subg 15657  df-cntz 15814  df-oppg 15840  df-lsm 16114  df-cmn 16258  df-abl 16259  df-mgp 16565  df-rng 16579  df-ur 16581  df-oppr 16648  df-dvdsr 16666  df-unit 16667  df-invr 16697  df-dvr 16708  df-drng 16757  df-lmod 16873  df-lss 16935  df-lsp 16974  df-lvec 17105  df-lsatoms 32191  df-lshyp 32192  df-lcv 32234  df-lfl 32273  df-lkr 32301  df-ldual 32339  df-oposet 32391  df-ol 32393  df-oml 32394  df-covers 32481  df-ats 32482  df-atl 32513  df-cvlat 32537  df-hlat 32566  df-llines 32712  df-lplanes 32713  df-lvols 32714  df-lines 32715  df-psubsp 32717  df-pmap 32718  df-padd 33010  df-lhyp 33202  df-laut 33203  df-ldil 33318  df-ltrn 33319  df-trl 33373  df-tgrp 33957  df-tendo 33969  df-edring 33971  df-dveca 34217  df-disoa 34244  df-dvech 34294  df-dib 34354  df-dic 34388  df-dih 34444  df-doch 34563  df-djh 34610  df-lcdual 34802  df-mapd 34840
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  34919
  Copyright terms: Public domain W3C validator