Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem14 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem14 36883
Description: Lemma for mapdpg 36904. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem12.yn  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
mapdpglem12.g0  |-  ( ph  ->  z  =  ( 0g
`  C ) )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem14  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { X }
) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem14
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdpglem.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlmod 36308 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
5 mapdpglem.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
6 mapdpglem.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
7 mapdpglem.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
9 mapdpglem.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
107, 8, 9lmodvnpcan 17435 . . 3  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( Y  .-  X
) ( +g  `  U
) X )  =  Y )
114, 5, 6, 10syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .-  X ) ( +g  `  U ) X )  =  Y )
12 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
13 mapdpglem.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
147, 12, 13lspsncl 17494 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
154, 6, 14syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
16 lmodgrp 17390 . . . . . 6  |-  ( U  e.  LMod  ->  U  e. 
Grp )
174, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Grp )
18 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( invg `  U )  =  ( invg `  U )
197, 9, 18grpinvsub 15992 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( invg `  U ) `  ( X  .-  Y ) )  =  ( Y  .-  X ) )
2017, 6, 5, 19syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  U ) `  ( X  .-  Y ) )  =  ( Y  .-  X ) )
21 mapdpglem.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
22 mapdpglem.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
23 mapdpglem1.p . . . . . . 7  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
24 mapdpglem2.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( LSpan `  C )
25 mapdpglem3.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( Base `  C
)
26 mapdpglem3.te . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
27 mapdpglem3.a . . . . . . 7  |-  A  =  (Scalar `  U )
28 mapdpglem3.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
29 mapdpglem3.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  C )
30 mapdpglem3.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( -g `  C
)
31 mapdpglem3.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
32 mapdpglem3.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
33 mapdpglem4.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
34 mapdpglem.ne . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
35 mapdpglem4.jt . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
36 mapdpglem4.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
37 mapdpglem4.g4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
38 mapdpglem4.z4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
39 mapdpglem4.t4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
40 mapdpglem4.xn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
41 mapdpglem12.yn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
42 mapdpglem12.g0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  z  =  ( 0g
`  C ) )
431, 21, 2, 7, 9, 13, 22, 3, 6, 5, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42mapdpglem13 36882 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  C_  ( N `  { X } ) )
447, 9lmodvsubcl 17426 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
454, 6, 5, 44syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
467, 13lspsnid 17510 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )
474, 45, 46syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )
4843, 47sseldd 3510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  ( N `
 { X }
) )
4912, 18lssvnegcl 17473 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U )  /\  ( X  .-  Y )  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( ( invg `  U ) `
 ( X  .-  Y ) )  e.  ( N `  { X } ) )
504, 15, 48, 49syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  U ) `  ( X  .-  Y ) )  e.  ( N `  { X } ) )
5120, 50eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
527, 13lspsnid 17510 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
534, 6, 52syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X }
) )
548, 12lssvacl 17471 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )  /\  ( ( Y 
.-  X )  e.  ( N `  { X } )  /\  X  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( ( Y 
.-  X ) ( +g  `  U ) X )  e.  ( N `  { X } ) )
554, 15, 51, 53, 54syl22anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .-  X ) ( +g  `  U ) X )  e.  ( N `  { X } ) )
5611, 55eqeltrrd 2556 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { X }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {csn 4033   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712   Grpcgrp 15925   invgcminusg 15926   -gcsg 15927   LSSumclsm 16527   LModclmod 17383   LSubSpclss 17449   LSpanclspn 17488   HLchlt 34548   LHypclh 35181   DVecHcdvh 36276  LCDualclcd 36784  mapdcmpd 36822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-riotaBAD 34157
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-undef 7014  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-0g 14714  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-oppg 16253  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lvec 17620  df-lsatoms 34174  df-lshyp 34175  df-lcv 34217  df-lfl 34256  df-lkr 34284  df-ldual 34322  df-oposet 34374  df-ol 34376  df-oml 34377  df-covers 34464  df-ats 34465  df-atl 34496  df-cvlat 34520  df-hlat 34549  df-llines 34695  df-lplanes 34696  df-lvols 34697  df-lines 34698  df-psubsp 34700  df-pmap 34701  df-padd 34993  df-lhyp 35185  df-laut 35186  df-ldil 35301  df-ltrn 35302  df-trl 35356  df-tgrp 35940  df-tendo 35952  df-edring 35954  df-dveca 36200  df-disoa 36227  df-dvech 36277  df-dib 36337  df-dic 36371  df-dih 36427  df-doch 36546  df-djh 36593  df-lcdual 36785  df-mapd 36823
This theorem is referenced by:  mapdpglem15  36884
  Copyright terms: Public domain W3C validator