Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem12 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem12 37823
Description: Lemma for mapdpg 37846. TODO: Can some commonality with mapdpglem6 37818 through mapdpglem11 37822 be exploited? Also, some consolidation of small lemmas here could be done. (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem12.yn  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
mapdpglem12.g0  |-  ( ph  ->  z  =  ( 0g
`  C ) )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem12  |-  ( ph  ->  t  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem12
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.t4 . 2  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
2 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
4 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
52, 3, 4lcdlmod 37732 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
6 mapdpglem.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
7 mapdpglem.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 eqid 2382 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
9 eqid 2382 . . . 4  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
102, 7, 4dvhlmod 37250 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
11 mapdpglem.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
12 mapdpglem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
13 mapdpglem.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
1412, 8, 13lspsncl 17736 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
1510, 11, 14syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
162, 6, 7, 8, 3, 9, 4, 15mapdcl2 37796 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
17 mapdpglem3.a . . . 4  |-  A  =  (Scalar `  U )
18 mapdpglem3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
19 mapdpglem3.f . . . 4  |-  F  =  ( Base `  C
)
20 mapdpglem3.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  C )
21 mapdpglem4.g4 . . . 4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
22 mapdpglem3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
23 mapdpglem2.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( LSpan `  C )
2419, 23lspsnid 17752 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G  e.  ( J `  { G } ) )
255, 22, 24syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J `
 { G }
) )
26 mapdpglem3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
2725, 26eleqtrrd 2473 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
282, 7, 17, 18, 3, 19, 20, 9, 4, 16, 21, 27lcdlssvscl 37746 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  .x.  G
)  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
29 mapdpglem12.g0 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  =  ( 0g
`  C ) )
30 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
3130, 9lss0cl 17706 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  ( M `  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  C ) )  -> 
( 0g `  C
)  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
325, 16, 31syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  C
)  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
3329, 32eqeltrd 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
34 mapdpglem3.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
3534, 9lssvsubcl 17703 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  LMod  /\  ( M `  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)  /\  ( (
g  .x.  G )  e.  ( M `  ( N `  { X } ) )  /\  z  e.  ( M `  ( N `  { X } ) ) ) )  ->  ( (
g  .x.  G ) R z )  e.  ( M `  ( N `  { X } ) ) )
365, 16, 28, 33, 35syl22anc 1227 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  .x.  G ) R z )  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
371, 36eqeltrd 2470 1  |-  ( ph  ->  t  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   {csn 3944   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634  Scalarcsca 14705   .scvsca 14706   0gc0g 14847   -gcsg 16172   LSSumclsm 16771   LModclmod 17625   LSubSpclss 17691   LSpanclspn 17730   HLchlt 35488   LHypclh 36121   DVecHcdvh 37218  LCDualclcd 37726  mapdcmpd 37764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-riotaBAD 35097
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-undef 6920  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-0g 14849  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-preset 15674  df-poset 15692  df-plt 15705  df-lub 15721  df-glb 15722  df-join 15723  df-meet 15724  df-p0 15786  df-p1 15787  df-lat 15793  df-clat 15855  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-subg 16315  df-cntz 16472  df-oppg 16498  df-lsm 16773  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-dvr 17445  df-drng 17511  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-lsp 17731  df-lvec 17862  df-lsatoms 35114  df-lshyp 35115  df-lcv 35157  df-lfl 35196  df-lkr 35224  df-ldual 35262  df-oposet 35314  df-ol 35316  df-oml 35317  df-covers 35404  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489  df-llines 35635  df-lplanes 35636  df-lvols 35637  df-lines 35638  df-psubsp 35640  df-pmap 35641  df-padd 35933  df-lhyp 36125  df-laut 36126  df-ldil 36241  df-ltrn 36242  df-trl 36297  df-tgrp 36882  df-tendo 36894  df-edring 36896  df-dveca 37142  df-disoa 37169  df-dvech 37219  df-dib 37279  df-dic 37313  df-dih 37369  df-doch 37488  df-djh 37535  df-lcdual 37727  df-mapd 37765
This theorem is referenced by:  mapdpglem13  37824
  Copyright terms: Public domain W3C validator