Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpg Structured version   Unicode version

Theorem mapdpg 36521
Description: Part 1 of proof of the first fundamental theorem of projective geometry. Part (1) in [Baer] p. 44. Our notation corresponds to Baer's as follows:  M for *,  N `  { } for F(),  J `  { } for G(),  X for x,  G for x',  Y for y,  h for y'. TODO: Rename variables per mapdhval 36539. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpg.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpg.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpg.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpg.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdpg.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpg.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpg.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpg.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpg.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpg.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpg.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdpg.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdpg.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpg.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpg.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdpg  |-  ( ph  ->  E! h  e.  F  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) ) )
Distinct variable groups:    C, h    h, F    h, G    h, J    h, M    h, N    R, h    .- , h    U, h    h, X    h, Y    ph, h
Allowed substitution hints:    H( h)    K( h)    V( h)    W( h)    .0. (
h)

Proof of Theorem mapdpg
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpg.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdpg.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
3 mapdpg.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 mapdpg.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 mapdpg.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
6 mapdpg.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 mapdpg.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 mapdpg.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 mapdpg.f . . 3  |-  F  =  ( Base `  C
)
10 mapdpg.r . . 3  |-  R  =  ( -g `  C
)
11 mapdpg.j . . 3  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdpg.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 mapdpg.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
14 mapdpg.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
15 mapdpg.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
16 mapdpg.ne . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
17 mapdpg.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17mapdpglem24 36519 . 2  |-  ( ph  ->  E. h  e.  F  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) ) )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17mapdpglem32 36520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  F  /\  i  e.  F )  /\  (
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) )  /\  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
i } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R i ) } ) ) ) )  ->  h  =  i )
20193exp 1195 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( h  e.  F  /\  i  e.  F )  ->  (
( ( ( M `
 ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  {
( G R h ) } ) )  /\  ( ( M `
 ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { i } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  {
( G R i ) } ) ) )  ->  h  =  i ) ) )
2120ralrimivv 2884 . 2  |-  ( ph  ->  A. h  e.  F  A. i  e.  F  ( ( ( ( M `  ( N `
 { Y }
) )  =  ( J `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( G R h ) } ) )  /\  (
( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
i } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R i ) } ) ) )  ->  h  =  i ) )
22 sneq 4037 . . . . . 6  |-  ( h  =  i  ->  { h }  =  { i } )
2322fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( h  =  i  ->  ( J `  { h } )  =  ( J `  { i } ) )
2423eqeq2d 2481 . . . 4  |-  ( h  =  i  ->  (
( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  <->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
i } ) ) )
25 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( h  =  i  ->  ( G R h )  =  ( G R i ) )
2625sneqd 4039 . . . . . 6  |-  ( h  =  i  ->  { ( G R h ) }  =  { ( G R i ) } )
2726fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( h  =  i  ->  ( J `  { ( G R h ) } )  =  ( J `
 { ( G R i ) } ) )
2827eqeq2d 2481 . . . 4  |-  ( h  =  i  ->  (
( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } )  <->  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { ( G R i ) } ) ) )
2924, 28anbi12d 710 . . 3  |-  ( h  =  i  ->  (
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) )  <->  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `
 { i } )  /\  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( G R i ) } ) ) ) )
3029reu4 3297 . 2  |-  ( E! h  e.  F  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) )  <->  ( E. h  e.  F  (
( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) )  /\  A. h  e.  F  A. i  e.  F  (
( ( ( M `
 ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  {
( G R h ) } ) )  /\  ( ( M `
 ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { i } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  {
( G R i ) } ) ) )  ->  h  =  i ) ) )
3118, 21, 30sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  E! h  e.  F  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816    \ cdif 3473   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   0gc0g 14695   -gcsg 15730   LSpanclspn 17417   HLchlt 34165   LHypclh 34798   DVecHcdvh 35893  LCDualclcd 36401  mapdcmpd 36439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-riotaBAD 33774
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-undef 7002  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-0g 14697  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-oppg 16186  df-lsm 16462  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lvec 17549  df-lsatoms 33791  df-lshyp 33792  df-lcv 33834  df-lfl 33873  df-lkr 33901  df-ldual 33939  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802  df-laut 34803  df-ldil 34918  df-ltrn 34919  df-trl 34973  df-tgrp 35557  df-tendo 35569  df-edring 35571  df-dveca 35817  df-disoa 35844  df-dvech 35894  df-dib 35954  df-dic 35988  df-dih 36044  df-doch 36163  df-djh 36210  df-lcdual 36402  df-mapd 36440
This theorem is referenced by:  mapdhcl  36542  mapdheq  36543  hdmap1eq  36617
  Copyright terms: Public domain W3C validator