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Theorem mapdordlem2 36651
Description: Lemma for mapdord 36652. Ordering property of projectivity  M. TODO: This was proved using some hacked-up older proofs. Maybe simplify; get rid of the 
T hypothesis. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdord.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdord.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdord.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
mapdord.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdord.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdord.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
mapdord.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
mapdord.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdord.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
mapdord.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdord.c  |-  J  =  (LSHyp `  U )
mapdord.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdord.t  |-  T  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  e.  J }
mapdord.q  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
Assertion
Ref Expression
mapdordlem2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  X 
C_  Y ) )
Distinct variable groups:    g, K    U, g    g, W    g, F    g, J    g, L    g, O
Allowed substitution hints:    ph( g)    A( g)    C( g)    S( g)    T( g)    H( g)    M( g)    X( g)    Y( g)

Proof of Theorem mapdordlem2
Dummy variables  f  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdord.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdord.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdord.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
4 mapdord.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  U )
5 mapdord.l . . . 4  |-  L  =  (LKer `  U )
6 mapdord.o . . . 4  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
7 mapdord.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
8 mapdord.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 mapdord.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
10 mapdord.q . . . 4  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mapdvalc 36643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  =  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  X } )
12 mapdord.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 10mapdvalc 36643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  =  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y } )
1411, 13sseq12d 3533 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  { f  e.  C  | 
( O `  ( L `  f )
)  C_  X }  C_ 
{ f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y }
) )
15 ss2rab 3576 . . . . 5  |-  ( { f  e.  C  | 
( O `  ( L `  f )
)  C_  X }  C_ 
{ f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y }  <->  A. f  e.  C  ( ( O `  ( L `  f )
)  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) )
16 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
17 mapdord.c . . . . . . . . 9  |-  J  =  (LSHyp `  U )
18 mapdord.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  e.  J }
191, 6, 2, 16, 17, 4, 5, 18, 10, 8mapdordlem1a 36648 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( f  e.  T  <->  ( f  e.  C  /\  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) )  e.  J ) ) )
20 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  C  /\  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J ) )  -> 
f  e.  C )
21 idd 24 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  C  /\  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J ) )  -> 
( ( ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) ) )
2220, 21embantd 54 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  C  /\  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J ) )  -> 
( ( f  e.  C  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
)  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) )
2322ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  C  /\  ( O `
 ( O `  ( L `  f ) ) )  e.  J
)  ->  ( (
f  e.  C  -> 
( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) )  ->  ( ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) ) )
2419, 23sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( f  e.  T  ->  ( ( f  e.  C  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
)  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) ) )
2524com23 78 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  C  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
)  ->  ( f  e.  T  ->  ( ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y ) ) ) )
2625ralimdv2 2871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  C  ( ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )  ->  A. f  e.  T  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) ) )
2715, 26syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { f  e.  C  |  ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X }  C_  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y }  ->  A. f  e.  T  ( ( O `  ( L `  f )
)  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) ) )
28 mapdord.a . . . . . 6  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
291, 2, 8dvhlmod 36124 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
303, 28, 29, 9, 12lssatle 34029 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  X  ->  p 
C_  Y ) ) )
3118mapdordlem1 36650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  T  <->  ( f  e.  F  /\  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J ) )
3231simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  T  ->  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J )
3332adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J )
348adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3531simplbi 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  T  ->  f  e.  F )
3635adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  f  e.  F )
371, 6, 2, 4, 17, 5, 34, 36dochlkr 36399 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  e.  J  <->  ( ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
)  /\  ( L `  f )  e.  J
) ) )
3833, 37mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( L `  f )  e.  J ) )
3938simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) )
4038simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( L `  f )  e.  J )
411, 6, 2, 28, 17, 34, 40dochshpsat 36468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  <->  ( O `  ( L `  f
) )  e.  A
) )
4239, 41mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( O `  ( L `  f ) )  e.  A )
431, 2, 8dvhlvec 36123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4443adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  U  e.  LVec )
458adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
46 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  A )
471, 2, 6, 28, 17, 45, 46dochsatshp 36465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( O `  p )  e.  J )
4817, 4, 5lshpkrex 34132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  LVec  /\  ( O `  p )  e.  J )  ->  E. f  e.  F  ( L `  f )  =  ( O `  p ) )
4944, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  E. f  e.  F  ( L `  f )  =  ( O `  p ) )
50 df-rex 2820 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  F  ( L `  f )  =  ( O `  p )  <->  E. f
( f  e.  F  /\  ( L `  f
)  =  ( O `
 p ) ) )
5149, 50sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  E. f
( f  e.  F  /\  ( L `  f
)  =  ( O `
 p ) ) )
52 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  f  e.  F
)
53 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( L `  f )  =  ( O `  p ) )
5453fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( L `  f ) )  =  ( O `
 ( O `  p ) ) )
5554fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( O `
 ( O `  ( O `  p ) ) ) )
5629adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  U  e.  LMod )
5716, 28, 56, 46lsatssv 34012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  C_  ( Base `  U
) )
58 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
591, 58, 2, 16, 6dochcl 36367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( O `  p )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
6045, 57, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( O `  p )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
611, 58, 6dochoc 36381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( O `  p )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( O `  ( O `  ( O `  p )
) )  =  ( O `  p ) )
6245, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( O `  ( O `  ( O `  p
) ) )  =  ( O `  p
) )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( O `
 p ) ) )  =  ( O `
 p ) )
6455, 63eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( O `
 p ) )
6547adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  p )  e.  J
)
6664, 65eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  e.  J )
6752, 66, 31sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  f  e.  T
)
681, 2, 58, 28dih1dimat 36344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
6945, 46, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
701, 58, 6dochoc 36381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( O `  ( O `  p
) )  =  p )
7145, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( O `  ( O `  p ) )  =  p )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  p ) )  =  p )
7354, 72eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  p  =  ( O `  ( L `
 f ) ) )
7467, 73jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f )
) ) )
7574ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  (
( f  e.  F  /\  ( L `  f
)  =  ( O `
 p ) )  ->  ( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f )
) ) ) )
7675eximdv 1686 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( E. f ( f  e.  F  /\  ( L `
 f )  =  ( O `  p
) )  ->  E. f
( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f ) ) ) ) )
7751, 76mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  E. f
( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f ) ) ) )
78 df-rex 2820 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  T  p  =  ( O `  ( L `  f ) )  <->  E. f ( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f ) ) ) )
7977, 78sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  E. f  e.  T  p  =  ( O `  ( L `
 f ) ) )
80 sseq1 3525 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( O `  ( L `  f ) )  ->  ( p  C_  X  <->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  X )
)
81 sseq1 3525 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( O `  ( L `  f ) )  ->  ( p  C_  Y  <->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
)
8280, 81imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( O `  ( L `  f ) )  ->  ( (
p  C_  X  ->  p 
C_  Y )  <->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) )
8382adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( O `  ( L `
 f ) ) )  ->  ( (
p  C_  X  ->  p 
C_  Y )  <->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) )
8442, 79, 83ralxfrd 4661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  A  ( p  C_  X  ->  p  C_  Y
)  <->  A. f  e.  T  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) ) )
8530, 84bitr2d 254 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  T  ( ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )  <->  X 
C_  Y ) )
8627, 85sylibd 214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { f  e.  C  |  ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X }  C_  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y }  ->  X 
C_  Y ) )
87 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  C_  Y )  /\  f  e.  C )  ->  X  C_  Y )
88 sstr 3512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( O `  ( L `  f )
)  C_  X  /\  X  C_  Y )  -> 
( O `  ( L `  f )
)  C_  Y )
8988ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( X  C_  Y  /\  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  X )  -> 
( O `  ( L `  f )
)  C_  Y )
9089a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  C_  Y )  /\  f  e.  C )  ->  (
( X  C_  Y  /\  ( O `  ( L `  f )
)  C_  X )  ->  ( O `  ( L `  f )
)  C_  Y )
)
9187, 90mpand 675 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  C_  Y )  /\  f  e.  C )  ->  (
( O `  ( L `  f )
)  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) )
9291ss2rabdv 3581 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  X }  C_  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y } )
9392ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  ->  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  X }  C_ 
{ f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y }
) )
9486, 93impbid 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( { f  e.  C  |  ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X }  C_  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y }  <->  X  C_  Y
) )
9514, 94bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  X 
C_  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    C_ wss 3476   ran crn 5000   ` cfv 5588   Basecbs 14493   LModclmod 17324   LSubSpclss 17390   LVecclvec 17560  LSAtomsclsa 33988  LSHypclsh 33989  LFnlclfn 34071  LKerclk 34099   HLchlt 34364   LHypclh 34997   DVecHcdvh 36092   DIsoHcdih 36242   ocHcoch 36361  mapdcmpd 36638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-riotaBAD 33973
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6956  df-undef 7003  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-0g 14700  df-poset 15436  df-plt 15448  df-lub 15464  df-glb 15465  df-join 15466  df-meet 15467  df-p0 15529  df-p1 15530  df-lat 15536  df-clat 15598  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-subg 16012  df-cntz 16169  df-lsm 16471  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-unit 17104  df-invr 17134  df-dvr 17145  df-drng 17210  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-lsp 17430  df-lvec 17561  df-lsatoms 33990  df-lshyp 33991  df-lfl 34072  df-lkr 34100  df-oposet 34190  df-ol 34192  df-oml 34193  df-covers 34280  df-ats 34281  df-atl 34312  df-cvlat 34336  df-hlat 34365  df-llines 34511  df-lplanes 34512  df-lvols 34513  df-lines 34514  df-psubsp 34516  df-pmap 34517  df-padd 34809  df-lhyp 35001  df-laut 35002  df-ldil 35117  df-ltrn 35118  df-trl 35172  df-tgrp 35756  df-tendo 35768  df-edring 35770  df-dveca 36016  df-disoa 36043  df-dvech 36093  df-dib 36153  df-dic 36187  df-dih 36243  df-doch 36362  df-djh 36409  df-mapd 36639
This theorem is referenced by:  mapdord  36652
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