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Theorem mapdordlem2 35111
Description: Lemma for mapdord 35112. Ordering property of projectivity  M. TODO: This was proved using some hacked-up older proofs. Maybe simplify; get rid of the 
T hypothesis. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdord.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdord.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdord.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
mapdord.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdord.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdord.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
mapdord.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
mapdord.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdord.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
mapdord.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdord.c  |-  J  =  (LSHyp `  U )
mapdord.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdord.t  |-  T  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  e.  J }
mapdord.q  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
Assertion
Ref Expression
mapdordlem2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  X 
C_  Y ) )
Distinct variable groups:    g, K    U, g    g, W    g, F    g, J    g, L    g, O
Allowed substitution hints:    ph( g)    A( g)    C( g)    S( g)    T( g)    H( g)    M( g)    X( g)    Y( g)

Proof of Theorem mapdordlem2
Dummy variables  f  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdord.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdord.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdord.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
4 mapdord.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  U )
5 mapdord.l . . . 4  |-  L  =  (LKer `  U )
6 mapdord.o . . . 4  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
7 mapdord.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
8 mapdord.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 mapdord.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
10 mapdord.q . . . 4  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mapdvalc 35103 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  =  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  X } )
12 mapdord.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 10mapdvalc 35103 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  =  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y } )
1411, 13sseq12d 3429 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  { f  e.  C  | 
( O `  ( L `  f )
)  C_  X }  C_ 
{ f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y }
) )
15 ss2rab 3473 . . . . 5  |-  ( { f  e.  C  | 
( O `  ( L `  f )
)  C_  X }  C_ 
{ f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y }  <->  A. f  e.  C  ( ( O `  ( L `  f )
)  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) )
16 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
17 mapdord.c . . . . . . . . 9  |-  J  =  (LSHyp `  U )
18 mapdord.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  e.  J }
191, 6, 2, 16, 17, 4, 5, 18, 10, 8mapdordlem1a 35108 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( f  e.  T  <->  ( f  e.  C  /\  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) )  e.  J ) ) )
20 simprl 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  C  /\  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J ) )  -> 
f  e.  C )
21 idd 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  C  /\  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J ) )  -> 
( ( ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) ) )
2220, 21embantd 56 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  C  /\  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J ) )  -> 
( ( f  e.  C  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
)  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) )
2322ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  C  /\  ( O `
 ( O `  ( L `  f ) ) )  e.  J
)  ->  ( (
f  e.  C  -> 
( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) )  ->  ( ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) ) )
2419, 23sylbid 218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( f  e.  T  ->  ( ( f  e.  C  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
)  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) ) )
2524com23 81 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  C  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
)  ->  ( f  e.  T  ->  ( ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y ) ) ) )
2625ralimdv2 2766 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  C  ( ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )  ->  A. f  e.  T  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) ) )
2715, 26syl5bi 220 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { f  e.  C  |  ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X }  C_  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y }  ->  A. f  e.  T  ( ( O `  ( L `  f )
)  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) ) )
28 mapdord.a . . . . . 6  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
291, 2, 8dvhlmod 34584 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
303, 28, 29, 9, 12lssatle 32487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  X  ->  p 
C_  Y ) ) )
3118mapdordlem1 35110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  T  <->  ( f  e.  F  /\  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J ) )
3231simprbi 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  T  ->  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J )
3332adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J )
348adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3531simplbi 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  T  ->  f  e.  F )
3635adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  f  e.  F )
371, 6, 2, 4, 17, 5, 34, 36dochlkr 34859 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  e.  J  <->  ( ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
)  /\  ( L `  f )  e.  J
) ) )
3833, 37mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( L `  f )  e.  J ) )
3938simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) )
4038simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( L `  f )  e.  J )
411, 6, 2, 28, 17, 34, 40dochshpsat 34928 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  <->  ( O `  ( L `  f
) )  e.  A
) )
4239, 41mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( O `  ( L `  f ) )  e.  A )
431, 2, 8dvhlvec 34583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4443adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  U  e.  LVec )
458adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
46 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  A )
471, 2, 6, 28, 17, 45, 46dochsatshp 34925 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( O `  p )  e.  J )
4817, 4, 5lshpkrex 32590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  LVec  /\  ( O `  p )  e.  J )  ->  E. f  e.  F  ( L `  f )  =  ( O `  p ) )
4944, 47, 48syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  E. f  e.  F  ( L `  f )  =  ( O `  p ) )
50 df-rex 2714 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  F  ( L `  f )  =  ( O `  p )  <->  E. f
( f  e.  F  /\  ( L `  f
)  =  ( O `
 p ) ) )
5149, 50sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  E. f
( f  e.  F  /\  ( L `  f
)  =  ( O `
 p ) ) )
52 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  f  e.  F
)
53 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( L `  f )  =  ( O `  p ) )
5453fveq2d 5822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( L `  f ) )  =  ( O `
 ( O `  p ) ) )
5554fveq2d 5822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( O `
 ( O `  ( O `  p ) ) ) )
5629adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  U  e.  LMod )
5716, 28, 56, 46lsatssv 32470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  C_  ( Base `  U
) )
58 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
591, 58, 2, 16, 6dochcl 34827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( O `  p )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
6045, 57, 59syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( O `  p )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
611, 58, 6dochoc 34841 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( O `  p )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( O `  ( O `  ( O `  p )
) )  =  ( O `  p ) )
6245, 60, 61syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( O `  ( O `  ( O `  p
) ) )  =  ( O `  p
) )
6362adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( O `
 p ) ) )  =  ( O `
 p ) )
6455, 63eqtrd 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( O `
 p ) )
6547adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  p )  e.  J
)
6664, 65eqeltrd 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  e.  J )
6752, 66, 31sylanbrc 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  f  e.  T
)
681, 2, 58, 28dih1dimat 34804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
6945, 46, 68syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
701, 58, 6dochoc 34841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( O `  ( O `  p
) )  =  p )
7145, 69, 70syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( O `  ( O `  p ) )  =  p )
7271adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  p ) )  =  p )
7354, 72eqtr2d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  p  =  ( O `  ( L `
 f ) ) )
7467, 73jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f )
) ) )
7574ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  (
( f  e.  F  /\  ( L `  f
)  =  ( O `
 p ) )  ->  ( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f )
) ) ) )
7675eximdv 1758 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( E. f ( f  e.  F  /\  ( L `
 f )  =  ( O `  p
) )  ->  E. f
( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f ) ) ) ) )
7751, 76mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  E. f
( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f ) ) ) )
78 df-rex 2714 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  T  p  =  ( O `  ( L `  f ) )  <->  E. f ( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f ) ) ) )
7977, 78sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  E. f  e.  T  p  =  ( O `  ( L `
 f ) ) )
80 sseq1 3421 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( O `  ( L `  f ) )  ->  ( p  C_  X  <->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  X )
)
81 sseq1 3421 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( O `  ( L `  f ) )  ->  ( p  C_  Y  <->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
)
8280, 81imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( O `  ( L `  f ) )  ->  ( (
p  C_  X  ->  p 
C_  Y )  <->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) )
8382adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( O `  ( L `
 f ) ) )  ->  ( (
p  C_  X  ->  p 
C_  Y )  <->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) )
8442, 79, 83ralxfrd 4571 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  A  ( p  C_  X  ->  p  C_  Y
)  <->  A. f  e.  T  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) ) )
8530, 84bitr2d 257 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  T  ( ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )  <->  X 
C_  Y ) )
8627, 85sylibd 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { f  e.  C  |  ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X }  C_  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y }  ->  X 
C_  Y ) )
87 simplr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  C_  Y )  /\  f  e.  C )  ->  X  C_  Y )
88 sstr 3408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( O `  ( L `  f )
)  C_  X  /\  X  C_  Y )  -> 
( O `  ( L `  f )
)  C_  Y )
8988ancoms 454 . . . . . . 7  |-  ( ( X  C_  Y  /\  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  X )  -> 
( O `  ( L `  f )
)  C_  Y )
9089a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  C_  Y )  /\  f  e.  C )  ->  (
( X  C_  Y  /\  ( O `  ( L `  f )
)  C_  X )  ->  ( O `  ( L `  f )
)  C_  Y )
)
9187, 90mpand 679 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  C_  Y )  /\  f  e.  C )  ->  (
( O `  ( L `  f )
)  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) )
9291ss2rabdv 3478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  X }  C_  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y } )
9392ex 435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  ->  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  X }  C_ 
{ f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y }
) )
9486, 93impbid 193 . 2  |-  ( ph  ->  ( { f  e.  C  |  ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X }  C_  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y }  <->  X  C_  Y
) )
9514, 94bitrd 256 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  X 
C_  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   A.wral 2708   E.wrex 2709   {crab 2712    C_ wss 3372   ran crn 4790   ` cfv 5537   Basecbs 15057   LModclmod 18027   LSubSpclss 18091   LVecclvec 18261  LSAtomsclsa 32446  LSHypclsh 32447  LFnlclfn 32529  LKerclk 32557   HLchlt 32822   LHypclh 33455   DVecHcdvh 34552   DIsoHcdih 34702   ocHcoch 34821  mapdcmpd 35098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-riotaBAD 32431
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-tpos 6921  df-undef 6968  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-n0 10814  df-z 10882  df-uz 11104  df-fz 11729  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-0g 15276  df-preset 16109  df-poset 16127  df-plt 16140  df-lub 16156  df-glb 16157  df-join 16158  df-meet 16159  df-p0 16221  df-p1 16222  df-lat 16228  df-clat 16290  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-submnd 16519  df-grp 16609  df-minusg 16610  df-sbg 16611  df-subg 16750  df-cntz 16907  df-lsm 17224  df-cmn 17368  df-abl 17369  df-mgp 17660  df-ur 17672  df-ring 17718  df-oppr 17787  df-dvdsr 17805  df-unit 17806  df-invr 17836  df-dvr 17847  df-drng 17913  df-lmod 18029  df-lss 18092  df-lsp 18131  df-lvec 18262  df-lsatoms 32448  df-lshyp 32449  df-lfl 32530  df-lkr 32558  df-oposet 32648  df-ol 32650  df-oml 32651  df-covers 32738  df-ats 32739  df-atl 32770  df-cvlat 32794  df-hlat 32823  df-llines 32969  df-lplanes 32970  df-lvols 32971  df-lines 32972  df-psubsp 32974  df-pmap 32975  df-padd 33267  df-lhyp 33459  df-laut 33460  df-ldil 33575  df-ltrn 33576  df-trl 33631  df-tgrp 34216  df-tendo 34228  df-edring 34230  df-dveca 34476  df-disoa 34503  df-dvech 34553  df-dib 34613  df-dic 34647  df-dih 34703  df-doch 34822  df-djh 34869  df-mapd 35099
This theorem is referenced by:  mapdord  35112
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