Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdordlem1a Structured version   Unicode version

Theorem mapdordlem1a 37504
Description: Lemma for mapdord 37508. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdordlem1a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdordlem1a.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdordlem1a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdordlem1a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdordlem1a.y  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
mapdordlem1a.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdordlem1a.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdordlem1a.t  |-  T  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  e.  Y }
mapdordlem1a.c  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
mapdordlem1a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
mapdordlem1a  |-  ( ph  ->  ( J  e.  T  <->  ( J  e.  C  /\  ( O `  ( O `
 ( L `  J ) ) )  e.  Y ) ) )
Distinct variable groups:    g, F    g, J    g, L    g, O    g, Y
Allowed substitution hints:    ph( g)    C( g)    T( g)    U( g)    H( g)    K( g)    V( g)    W( g)

Proof of Theorem mapdordlem1a
StepHypRef Expression
1 simprr 757 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  F  /\  ( O `  ( O `  ( L `  J
) ) )  e.  Y ) )  -> 
( O `  ( O `  ( L `  J ) ) )  e.  Y )
2 mapdordlem1a.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdordlem1a.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
4 mapdordlem1a.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 mapdordlem1a.f . . . . . . 7  |-  F  =  (LFnl `  U )
6 mapdordlem1a.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (LSHyp `  U )
7 mapdordlem1a.l . . . . . . 7  |-  L  =  (LKer `  U )
8 mapdordlem1a.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  F  /\  ( O `  ( O `  ( L `  J
) ) )  e.  Y ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  F  /\  ( O `  ( O `  ( L `  J
) ) )  e.  Y ) )  ->  J  e.  F )
112, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10dochlkr 37255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  F  /\  ( O `  ( O `  ( L `  J
) ) )  e.  Y ) )  -> 
( ( O `  ( O `  ( L `
 J ) ) )  e.  Y  <->  ( ( O `  ( O `  ( L `  J
) ) )  =  ( L `  J
)  /\  ( L `  J )  e.  Y
) ) )
121, 11mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  F  /\  ( O `  ( O `  ( L `  J
) ) )  e.  Y ) )  -> 
( ( O `  ( O `  ( L `
 J ) ) )  =  ( L `
 J )  /\  ( L `  J )  e.  Y ) )
1312simpld 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  F  /\  ( O `  ( O `  ( L `  J
) ) )  e.  Y ) )  -> 
( O `  ( O `  ( L `  J ) ) )  =  ( L `  J ) )
1413ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J  e.  F  /\  ( O `
 ( O `  ( L `  J ) ) )  e.  Y
)  ->  ( O `  ( O `  ( L `  J )
) )  =  ( L `  J ) ) )
1514pm4.71rd 635 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( J  e.  F  /\  ( O `
 ( O `  ( L `  J ) ) )  e.  Y
)  <->  ( ( O `
 ( O `  ( L `  J ) ) )  =  ( L `  J )  /\  ( J  e.  F  /\  ( O `
 ( O `  ( L `  J ) ) )  e.  Y
) ) ) )
16 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( g  =  J  ->  ( L `  g )  =  ( L `  J ) )
1716fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( g  =  J  ->  ( O `  ( L `  g ) )  =  ( O `  ( L `  J )
) )
1817fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( g  =  J  ->  ( O `  ( O `  ( L `  g
) ) )  =  ( O `  ( O `  ( L `  J ) ) ) )
1918eleq1d 2526 . . 3  |-  ( g  =  J  ->  (
( O `  ( O `  ( L `  g ) ) )  e.  Y  <->  ( O `  ( O `  ( L `  J )
) )  e.  Y
) )
20 mapdordlem1a.t . . 3  |-  T  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  e.  Y }
2119, 20elrab2 3259 . 2  |-  ( J  e.  T  <->  ( J  e.  F  /\  ( O `  ( O `  ( L `  J
) ) )  e.  Y ) )
22 mapdordlem1a.c . . . . 5  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
2322lcfl1lem 37361 . . . 4  |-  ( J  e.  C  <->  ( J  e.  F  /\  ( O `  ( O `  ( L `  J
) ) )  =  ( L `  J
) ) )
2423anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( J  e.  C  /\  ( O `  ( O `
 ( L `  J ) ) )  e.  Y )  <->  ( ( J  e.  F  /\  ( O `  ( O `
 ( L `  J ) ) )  =  ( L `  J ) )  /\  ( O `  ( O `
 ( L `  J ) ) )  e.  Y ) )
25 anass 649 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  F  /\  ( O `  ( O `  ( L `  J ) ) )  =  ( L `  J ) )  /\  ( O `  ( O `
 ( L `  J ) ) )  e.  Y )  <->  ( J  e.  F  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  J ) ) )  =  ( L `  J )  /\  ( O `  ( O `  ( L `  J
) ) )  e.  Y ) ) )
26 an12 797 . . 3  |-  ( ( J  e.  F  /\  ( ( O `  ( O `  ( L `
 J ) ) )  =  ( L `
 J )  /\  ( O `  ( O `
 ( L `  J ) ) )  e.  Y ) )  <-> 
( ( O `  ( O `  ( L `
 J ) ) )  =  ( L `
 J )  /\  ( J  e.  F  /\  ( O `  ( O `  ( L `  J ) ) )  e.  Y ) ) )
2724, 25, 263bitri 271 . 2  |-  ( ( J  e.  C  /\  ( O `  ( O `
 ( L `  J ) ) )  e.  Y )  <->  ( ( O `  ( O `  ( L `  J
) ) )  =  ( L `  J
)  /\  ( J  e.  F  /\  ( O `  ( O `  ( L `  J
) ) )  e.  Y ) ) )
2815, 21, 273bitr4g 288 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  T  <->  ( J  e.  C  /\  ( O `  ( O `
 ( L `  J ) ) )  e.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   ` cfv 5594   Basecbs 14644  LSHypclsh 34843  LFnlclfn 34925  LKerclk 34953   HLchlt 35218   LHypclh 35851   DVecHcdvh 36948   ocHcoch 37217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34827
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-0g 14859  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876  df-lsatoms 34844  df-lshyp 34845  df-lfl 34926  df-lkr 34954  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-llines 35365  df-lplanes 35366  df-lvols 35367  df-lines 35368  df-psubsp 35370  df-pmap 35371  df-padd 35663  df-lhyp 35855  df-laut 35856  df-ldil 35971  df-ltrn 35972  df-trl 36027  df-tendo 36624  df-edring 36626  df-disoa 36899  df-dvech 36949  df-dib 37009  df-dic 37043  df-dih 37099  df-doch 37218
This theorem is referenced by:  mapdordlem2  37507
  Copyright terms: Public domain W3C validator