Theorem mapdom2lem 5587

Description: Lemma for mapdom2 5588.

Hypotheses

Ref	Expression
mapdom1.1	|- A e. _V
mapdom1.2	|- B e. _V
mapdom1.3	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapdom2lem	|- (x e. (C ^m z) -> (x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))

Distinct variable groups:   x,z,w,A   x,B,z,w   x,C,z,w

Proof of Theorem mapdom2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdom1.3	. . . . . . 7 |- C e. _V
2		visset 2295	. . . . . . 7 |- z e. _V
3	1, 2	elmap 5393	. . . . . 6 |- (x e. (C ^m z) <-> x:z-->C)
4		fdm 4567	. . . . . 6 |- (x:z-->C -> dom x = z)
5	3, 4	sylbi 216	. . . . 5 |- (x e. (C ^m z) -> dom x = z)
6		visset 2295	. . . . . . . 8 |- w e. _V
7	6	fconst 4602	. . . . . . 7 |- ((B \ z) X. {w}):(B \ z)-->{w}
8	7	fdmi 4568	. . . . . 6 |- dom ((B \ z) X. {w}) = (B \ z)
9	8	a1i 8	. . . . 5 |- (x e. (C ^m z) -> dom ((B \ z) X. {w}) = (B \ z))
10	5, 9	ineq12d 2797	. . . 4 |- (x e. (C ^m z) -> (dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (z i^i (B \ z)))
11		difdisj 2945	. . . 4 |- (z i^i (B \ z)) = (/)
12	10, 11	syl6eq 1944	. . 3 |- (x e. (C ^m z) -> (dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (/))
13		dmin 4165	. . . . 5 |- dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) C_ (dom x i^i dom ((B \ z) X. {w}))
14		sseq2 2639	. . . . 5 |- ((dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (/) -> (dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) C_ (dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) <-> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) C_ (/)))
15	13, 14	mpbii 210	. . . 4 |- ((dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (/) -> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) C_ (/))
16		ss0 2902	. . . 4 |- (dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) C_ (/) -> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))
17	15, 16	syl 12	. . 3 |- ((dom x i^i dom ((B \ z) X. {w})) = (/) -> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))
18	12, 17	syl 12	. 2 |- (x e. (C ^m z) -> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))
19		relxp 4088	. . . . 5 |- Rel ((B \ z) X. {w})
20		relin1 4098	. . . . 5 |- (Rel ((B \ z) X. {w}) -> Rel (((B \ z) X. {w}) i^i x))
21	19, 20	ax-mp 7	. . . 4 |- Rel (((B \ z) X. {w}) i^i x)
22		incom 2787	. . . . 5 |- (((B \ z) X. {w}) i^i x) = (x i^i ((B \ z) X. {w}))
23	22	releqi 4072	. . . 4 |- (Rel (((B \ z) X. {w}) i^i x) <-> Rel (x i^i ((B \ z) X. {w})))
24	21, 23	mpbi 206	. . 3 |- Rel (x i^i ((B \ z) X. {w}))
25		reldm0 4176	. . 3 |- (Rel (x i^i ((B \ z) X. {w})) -> ((x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/) <-> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/)))
26	24, 25	ax-mp 7	. 2 |- ((x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/) <-> dom ( x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))
27	18, 26	sylibr 217	1 |- (x e. (C ^m z) -> (x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044   X. cxp 3984  dom cdm 3986  Rel wrel 3991  -->wf 3994  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381

This theorem is referenced by:  mapdom2 5588

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383

Copyright terms: Public domain