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Theorem mapdom2 7745
Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(d) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapdom2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  -> 
( C  ^m  A
)  ~<_  ( C  ^m  B ) )

Proof of Theorem mapdom2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  /\  C  =  (/) )  ->  C  =  (/) )
21oveq1d 6316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  /\  C  =  (/) )  ->  ( C  ^m  A )  =  ( (/)  ^m  A ) )
3 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  /\  C  =  (/) )  ->  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )
4 idd 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  /\  C  =  (/) )  ->  ( A  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
54, 1jctird 546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  /\  C  =  (/) )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) ) )
63, 5mtod 180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  /\  C  =  (/) )  ->  -.  A  =  (/) )
76neqned 2627 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  /\  C  =  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
8 map0b 7514 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( (/)  ^m  A
)  =  (/) )
97, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  /\  C  =  (/) )  ->  ( (/) 
^m  A )  =  (/) )
102, 9eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  /\  C  =  (/) )  ->  ( C  ^m  A )  =  (/) )
11 ovex 6329 . . . . . . 7  |-  ( C  ^m  B )  e. 
_V
12110dom 7704 . . . . . 6  |-  (/)  ~<_  ( C  ^m  B )
1310, 12syl6eqbr 4458 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  /\  C  =  (/) )  ->  ( C  ^m  A )  ~<_  ( C  ^m  B ) )
14 simpll 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  C  =/=  (/) )  ->  A  ~<_  B )
15 reldom 7579 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~<_
1615brrelex2i 4891 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  B  ->  B  e.  _V )
1716ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  C  =/=  (/) )  ->  B  e.  _V )
18 domeng 7587 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. x
( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  C  =/=  (/) )  -> 
( A  ~<_  B  <->  E. x
( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )
2014, 19mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  C  =/=  (/) )  ->  E. x ( A  ~~  x  /\  x  C_  B
) )
21 enrefg 7604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  _V  ->  C  ~~  C )
2221ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  C  ~~  C
)
23 simprrl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  A  ~~  x
)
24 mapen 7738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  ~~  C  /\  A  ~~  x )  -> 
( C  ^m  A
)  ~~  ( C  ^m  x ) )
2522, 23, 24syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( C  ^m  A )  ~~  ( C  ^m  x ) )
26 ovex 6329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  ^m  x )  e. 
_V
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( C  ^m  x )  e.  _V )
28 ovex 6329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  ^m  ( B  \  x ) )  e. 
_V
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( C  ^m  ( B  \  x
) )  e.  _V )
30 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  C  =/=  (/) )
31 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  C  e.  _V )
3216ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  B  e.  _V )
33 difexg 4568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  x )  e. 
_V )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( B  \  x )  e.  _V )
35 map0g 7515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  _V  /\  ( B  \  x
)  e.  _V )  ->  ( ( C  ^m  ( B  \  x
) )  =  (/)  <->  ( C  =  (/)  /\  ( B  \  x )  =/=  (/) ) ) )
36 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  =  (/)  /\  ( B  \  x )  =/=  (/) )  ->  C  =  (/) )
3735, 36syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  _V  /\  ( B  \  x
)  e.  _V )  ->  ( ( C  ^m  ( B  \  x
) )  =  (/)  ->  C  =  (/) ) )
3837necon3d 2648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  _V  /\  ( B  \  x
)  e.  _V )  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( C  ^m  ( B  \  x ) )  =/=  (/) ) )
3931, 34, 38syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( C  ^m  ( B  \  x
) )  =/=  (/) ) )
4030, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( C  ^m  ( B  \  x
) )  =/=  (/) )
41 xpdom3 7672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  ^m  x
)  e.  _V  /\  ( C  ^m  ( B  \  x ) )  e.  _V  /\  ( C  ^m  ( B  \  x ) )  =/=  (/) )  ->  ( C  ^m  x )  ~<_  ( ( C  ^m  x
)  X.  ( C  ^m  ( B  \  x ) ) ) )
4227, 29, 40, 41syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( C  ^m  x )  ~<_  ( ( C  ^m  x )  X.  ( C  ^m  ( B  \  x
) ) ) )
43 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  x  e.  _V )
45 disjdif 3867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  i^i  ( B  \  x ) )  =  (/)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( x  i^i  ( B  \  x
) )  =  (/) )
47 mapunen 7743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  _V  /\  ( B  \  x
)  e.  _V  /\  C  e.  _V )  /\  ( x  i^i  ( B  \  x ) )  =  (/) )  ->  ( C  ^m  ( x  u.  ( B  \  x
) ) )  ~~  ( ( C  ^m  x )  X.  ( C  ^m  ( B  \  x ) ) ) )
4844, 34, 31, 46, 47syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( C  ^m  ( x  u.  ( B  \  x ) ) )  ~~  ( ( C  ^m  x )  X.  ( C  ^m  ( B  \  x
) ) ) )
4948ensymd 7623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( ( C  ^m  x )  X.  ( C  ^m  ( B  \  x ) ) )  ~~  ( C  ^m  ( x  u.  ( B  \  x
) ) ) )
50 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  x  C_  B
)
51 undif 3876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  B  <->  ( x  u.  ( B  \  x
) )  =  B )
5250, 51sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( x  u.  ( B  \  x
) )  =  B )
5352oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( C  ^m  ( x  u.  ( B  \  x ) ) )  =  ( C  ^m  B ) )
5449, 53breqtrd 4445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( ( C  ^m  x )  X.  ( C  ^m  ( B  \  x ) ) )  ~~  ( C  ^m  B ) )
55 domentr 7631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  ^m  x
)  ~<_  ( ( C  ^m  x )  X.  ( C  ^m  ( B  \  x ) ) )  /\  ( ( C  ^m  x )  X.  ( C  ^m  ( B  \  x
) ) )  ~~  ( C  ^m  B ) )  ->  ( C  ^m  x )  ~<_  ( C  ^m  B ) )
5642, 54, 55syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( C  ^m  x )  ~<_  ( C  ^m  B ) )
57 endomtr 7630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  ^m  A
)  ~~  ( C  ^m  x )  /\  ( C  ^m  x )  ~<_  ( C  ^m  B ) )  ->  ( C  ^m  A )  ~<_  ( C  ^m  B ) )
5825, 56, 57syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  ( C  =/=  (/)  /\  ( A  ~~  x  /\  x  C_  B ) ) )  ->  ( C  ^m  A )  ~<_  ( C  ^m  B ) )
5958expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  C  =/=  (/) )  -> 
( ( A  ~~  x  /\  x  C_  B
)  ->  ( C  ^m  A )  ~<_  ( C  ^m  B ) ) )
6059exlimdv 1768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  C  =/=  (/) )  -> 
( E. x ( A  ~~  x  /\  x  C_  B )  -> 
( C  ^m  A
)  ~<_  ( C  ^m  B ) ) )
6120, 60mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  C  =/=  (/) )  -> 
( C  ^m  A
)  ~<_  ( C  ^m  B ) )
6261adantlr 719 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  /\  C  =/=  (/) )  ->  ( C  ^m  A )  ~<_  ( C  ^m  B ) )
6313, 62pm2.61dane 2742 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  C  e.  _V )  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  ->  ( C  ^m  A )  ~<_  ( C  ^m  B ) )
6463an32s 811 . . 3  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  /\  C  e.  _V )  ->  ( C  ^m  A )  ~<_  ( C  ^m  B ) )
6564ex 435 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  -> 
( C  e.  _V  ->  ( C  ^m  A
)  ~<_  ( C  ^m  B ) ) )
66 reldmmap 7485 . . . 4  |-  Rel  dom  ^m
6766ovprc1 6332 . . 3  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  ( C  ^m  A )  =  (/) )
6867, 12syl6eqbr 4458 . 2  |-  ( -.  C  e.  _V  ->  ( C  ^m  A )  ~<_  ( C  ^m  B
) )
6965, 68pm2.61d1 162 1  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  ( A  =  (/)  /\  C  =  (/) ) )  -> 
( C  ^m  A
)  ~<_  ( C  ^m  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868    =/= wne 2618   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4420    X. cxp 4847  (class class class)co 6301    ^m cmap 7476    ~~ cen 7570    ~<_ cdom 7571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575
This theorem is referenced by:  mapdom3  7746  cfpwsdom  9009  hauspwdom  20502
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