Theorem mapdom2 5588

Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(d) of [Enderton] p. 149.

Hypotheses

Ref	Expression
mapdom1.1	|- A e. _V
mapdom1.2	|- B e. _V
mapdom1.3	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapdom2	|- ((A ~<_ B /\ -. (A = (/) /\ C = (/))) -> (C ^m A) ~<_ (C ^m B))

Proof of Theorem mapdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (C = (/) -> (C ^m A) = ((/) ^m A))
2		df-ne 2019	. . . . . . . 8 |- (A =/= (/) <-> -. A = (/))
3		mapdom1.1	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
4	3	map0b 5402	. . . . . . . 8 |- (A =/= (/) -> ((/) ^m A) = (/))
5	2, 4	sylbir 218	. . . . . . 7 |- (-. A = (/) -> ((/) ^m A) = (/))
6	1, 5	sylan9eqr 1951	. . . . . 6 |- ((-. A = (/) /\ C = (/)) -> (C ^m A) = (/))
7		0dom 5527	. . . . . 6 |- (/) ~<_ (C ^m B)
8	6, 7	syl6eqbr 3374	. . . . 5 |- ((-. A = (/) /\ C = (/)) -> (C ^m A) ~<_ (C ^m B))
9	8	a1i 8	. . . 4 |- (A ~<_ B -> ((-. A = (/) /\ C = (/)) -> (C ^m A) ~<_ (C ^m B)))
10		mapdom1.2	. . . . . . . 8 |- B e. _V
11	10	domen 5438	. . . . . . 7 |- (A ~<_ B <-> E.z(A ~~ z /\ z C_ B))
12		endomtr 5479	. . . . . . . . . 10 |- (((C ^m A) ~~ (C ^m z) /\ (C ^m z) ~<_ (C ^m B)) -> (C ^m A) ~<_ (C ^m B))
13		mapdom1.3	. . . . . . . . . . . 12 |- C e. _V
14	13	enref 5450	. . . . . . . . . . 11 |- C ~~ C
15		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
16	13, 13, 3, 15	mapen 5585	. . . . . . . . . . 11 |- ((C ~~ C /\ A ~~ z) -> (C ^m A) ~~ (C ^m z))
17	14, 16	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- (A ~~ z -> (C ^m A) ~~ (C ^m z))
18		oprex 4907	. . . . . . . . . . 11 |- (C ^m z) e. _V
19		undif 2954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z C_ B <-> (z u. (B \ z)) = B)
20		feq2 4552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z u. (B \ z)) = B -> ((x u. ((B \ z) X. {w})):(z u. (B \ z))-->(C u. {w}) <-> (x u. ((B \ z) X. {w})):B-->(C u. {w})))
21	19, 20	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z C_ B -> ((x u. ((B \ z) X. {w})):(z u. (B \ z))-->(C u. {w}) <-> (x u. ((B \ z) X. {w})):B-->(C u. {w})))
22		snssi 3129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w e. C -> {w} C_ C)
23		ssequn2 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ({w} C_ C <-> (C u. {w}) = C)
24	22, 23	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. C -> (C u. {w}) = C)
25		feq3 4553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((C u. {w}) = C -> ((x u. ((B \ z) X. {w})):B-->(C u. {w}) <-> (x u. ((B \ z) X. {w})):B-->C))
26	24, 25	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. C -> ((x u. ((B \ z) X. {w})):B-->(C u. {w}) <-> (x u. ((B \ z) X. {w})):B-->C))
27	21, 26	sylan9bb 599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z C_ B /\ w e. C) -> ((x u. ((B \ z) X. {w})):(z u. (B \ z))-->(C u. {w}) <-> (x u. ((B \ z) X. {w})):B-->C))
28		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. _V
29	28	fconst 4602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B \ z) X. {w}):(B \ z)-->{w}
30		difdisj 2945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z i^i (B \ z)) = (/)
31		fun 4580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((x:z-->C /\ ((B \ z) X. {w}):(B \ z)-->{w}) /\ (z i^i (B \ z)) = (/)) -> (x u. ((B \ z) X. {w})):(z u. (B \ z))-->(C u. {w}))
32	30, 31	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x:z-->C /\ ((B \ z) X. {w}):(B \ z)-->{w}) -> (x u. ((B \ z) X. {w})):(z u. (B \ z))-->(C u. {w}))
33	29, 32	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x:z-->C -> (x u. ((B \ z) X. {w})):(z u. (B \ z))-->(C u. {w}))
34	27, 33	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z C_ B /\ w e. C) -> (x:z-->C -> (x u. ((B \ z) X. {w})):B-->C))
35	13, 15	elmap 5393	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. (C ^m z) <-> x:z-->C)
36	13, 10	elmap 5393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x u. ((B \ z) X. {w})) e. (C ^m B) <-> (x u. ((B \ z) X. {w})):B-->C)
37	34, 35, 36	3imtr4g 612	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z C_ B /\ w e. C) -> (x e. (C ^m z) -> (x u. ((B \ z) X. {w})) e. (C ^m B)))
38	3, 10, 13	mapdom2lem 5587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. (C ^m z) -> (x i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))
39	3, 10, 13	mapdom2lem 5587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. (C ^m z) -> (y i^i ((B \ z) X. {w})) = (/))
40	39	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. (C ^m z) -> (/) = (y i^i ((B \ z) X. {w})))
41	38, 40	sylan9eq 1948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. (C ^m z) /\ y e. (C ^m z)) -> (x i^i ((B \ z) X. {w})) = (y i^i ((B \ z) X. {w})))
42	41	biantrud 795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. (C ^m z) /\ y e. (C ^m z)) -> ((x u. ((B \ z) X. {w})) = (y u. ((B \ z) X. {w})) <-> ((x u. ((B \ z) X. {w})) = (y u. ((B \ z) X. {w})) /\ (x i^i ((B \ z) X. {w})) = (y i^i ((B \ z) X. {w})))))
43		unineq 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x u. ((B \ z) X. {w})) = (y u. ((B \ z) X. {w})) /\ (x i^i ((B \ z) X. {w})) = (y i^i ((B \ z) X. {w}))) <-> x = y)
44	42, 43	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. (C ^m z) /\ y e. (C ^m z)) -> ((x u. ((B \ z) X. {w})) = (y u. ((B \ z) X. {w})) <-> x = y))
45	44	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z C_ B /\ w e. C) -> ((x e. (C ^m z) /\ y e. (C ^m z)) -> ((x u. ((B \ z) X. {w})) = (y u. ((B \ z) X. {w})) <-> x = y)))
46	37, 45	dom2d 5463	. . . . . . . . . . 11 |- ((z C_ B /\ w e. C) -> ((C ^m z) e. _V -> (C ^m z) ~<_ (C ^m B)))
47	18, 46	mpi 55	. . . . . . . . . 10 |- ((z C_ B /\ w e. C) -> (C ^m z) ~<_ (C ^m B))
48	12, 17, 47	syl2an 503	. . . . . . . . 9 |- ((A ~~ z /\ (z C_ B /\ w e. C)) -> (C ^m A) ~<_ (C ^m B))
49	48	expr 418	. . . . . . . 8 |- ((A ~~ z /\ z C_ B) -> (w e. C -> (C ^m A) ~<_ (C ^m B)))
50	49	19.23aiv 1674	. . . . . . 7 |- (E.z(A ~~ z /\ z C_ B) -> (w e. C -> (C ^m A) ~<_ (C ^m B)))
51	11, 50	sylbi 216	. . . . . 6 |- (A ~<_ B -> (w e. C -> (C ^m A) ~<_ (C ^m B)))
52	51	19.23adv 1584	. . . . 5 |- (A ~<_ B -> (E.w w e. C -> (C ^m A) ~<_ (C ^m B)))
53		neq0 2885	. . . . 5 |- (-. C = (/) <-> E.w w e. C)
54	52, 53	syl5ib 223	. . . 4 |- (A ~<_ B -> (-. C = (/) -> (C ^m A) ~<_ (C ^m B)))
55	9, 54	jaod 469	. . 3 |- (A ~<_ B -> (((-. A = (/) /\ C = (/)) \/ -. C = (/)) -> (C ^m A) ~<_ (C ^m B)))
56	55	imp 377	. 2 |- ((A ~<_ B /\ ((-. A = (/) /\ C = (/)) \/ -. C = (/))) -> (C ^m A) ~<_ (C ^m B))
57		exmid 717	. . . 4 |- (C = (/) \/ -. C = (/))
58	57	biantru 793	. . 3 |- ((-. A = (/) \/ -. C = (/)) <-> ((-. A = (/) \/ -. C = (/)) /\ (C = (/) \/ -. C = (/))))
59		ianor 329	. . 3 |- (-. (A = (/) /\ C = (/)) <-> (-. A = (/) \/ -. C = (/)))
60		ordir 658	. . 3 |- (((-. A = (/) /\ C = (/)) \/ -. C = (/)) <-> ((-. A = (/) \/ -. C = (/)) /\ (C = (/) \/ -. C = (/))))
61	58, 59, 60	3bitr4i 200	. 2 |- (-. (A = (/) /\ C = (/)) <-> ((-. A = (/) /\ C = (/)) \/ -. C = (/)))
62	56, 61	sylan2b 501	1 |- ((A ~<_ B /\ -. (A = (/) /\ C = (/))) -> (C ^m A) ~<_ (C ^m B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  -->wf 3994  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428

Copyright terms: Public domain