Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdn0 Structured version   Unicode version

Theorem mapdn0 34702
Description: Transfer non-zero property from domain to range of projectivity mapd. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdindp.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdindp.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdindp.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdindp.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdindp.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdindp.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdindp.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdindp.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdindp.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdindp.mx  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdn0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdn0.z  |-  Z  =  ( 0g `  C
)
mapdn0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
Assertion
Ref Expression
mapdn0  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D 
\  { Z }
) )

Proof of Theorem mapdn0
StepHypRef Expression
1 mapdindp.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
2 mapdn0.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3 eldifsni 4100 . . . 4  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
5 mapdindp.mx . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
6 sneq 3984 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  Z  ->  { F }  =  { Z } )
76fveq2d 5855 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  Z  ->  ( J `  { F } )  =  ( J `  { Z } ) )
85, 7sylan9eq 2465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  =  Z )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `
 { Z }
) )
9 mapdindp.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
10 mapdindp.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
11 mapdindp.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
12 mapdn0.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
13 mapdindp.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
14 mapdn0.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( 0g `  C
)
15 mapdindp.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15mapd0 34698 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M `  {  .0.  } )  =  { Z } )
179, 13, 15lcdlmod 34625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
18 mapdindp.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( LSpan `  C )
1914, 18lspsn0 17976 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  LMod  ->  ( J `
 { Z }
)  =  { Z } )
2017, 19syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J `  { Z } )  =  { Z } )
2116, 20eqtr4d 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M `  {  .0.  } )  =  ( J `  { Z } ) )
2221adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  =  Z )  ->  ( M `  {  .0.  }
)  =  ( J `
 { Z }
) )
238, 22eqtr4d 2448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  =  Z )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( M `
 {  .0.  }
) )
2423ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  =  Z  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( M `  {  .0.  } ) ) )
25 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
269, 11, 15dvhlmod 34143 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
272eldifad 3428 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
28 mapdindp.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  U
)
29 mapdindp.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  U )
3028, 25, 29lspsncl 17945 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
3126, 27, 30syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
3212, 25lsssn0 17916 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  LMod  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  U
) )
3326, 32syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  U )
)
349, 11, 25, 10, 15, 31, 33mapd11 34672 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( M `  {  .0.  } )  <->  ( N `  { X } )  =  {  .0.  }
) )
3528, 12, 29lspsneq0 17980 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( N `  { X } )  =  {  .0.  }  <->  X  =  .0.  ) )
3626, 27, 35syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  {  .0.  }  <->  X  =  .0.  ) )
3734, 36bitrd 255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( M `  {  .0.  } )  <->  X  =  .0.  ) )
3824, 37sylibd 216 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  =  Z  ->  X  =  .0.  ) )
3938necon3d 2629 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  .0.  ->  F  =/=  Z ) )
404, 39mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  F  =/=  Z )
41 eldifsn 4099 . 2  |-  ( F  e.  ( D  \  { Z } )  <->  ( F  e.  D  /\  F  =/= 
Z ) )
421, 40, 41sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D 
\  { Z }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600    \ cdif 3413   {csn 3974   ` cfv 5571   Basecbs 14843   0gc0g 15056   LModclmod 17834   LSubSpclss 17900   LSpanclspn 17939   HLchlt 32381   LHypclh 33014   DVecHcdvh 34111  LCDualclcd 34619  mapdcmpd 34657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-riotaBAD 31990
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-tpos 6960  df-undef 7007  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-0g 15058  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-preset 15883  df-poset 15901  df-plt 15914  df-lub 15930  df-glb 15931  df-join 15932  df-meet 15933  df-p0 15995  df-p1 15996  df-lat 16002  df-clat 16064  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-subg 16524  df-cntz 16681  df-oppg 16707  df-lsm 16982  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-invr 17643  df-dvr 17654  df-drng 17720  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940  df-lvec 18071  df-lsatoms 32007  df-lshyp 32008  df-lcv 32050  df-lfl 32089  df-lkr 32117  df-ldual 32155  df-oposet 32207  df-ol 32209  df-oml 32210  df-covers 32297  df-ats 32298  df-atl 32329  df-cvlat 32353  df-hlat 32382  df-llines 32528  df-lplanes 32529  df-lvols 32530  df-lines 32531  df-psubsp 32533  df-pmap 32534  df-padd 32826  df-lhyp 33018  df-laut 33019  df-ldil 33134  df-ltrn 33135  df-trl 33190  df-tgrp 33775  df-tendo 33787  df-edring 33789  df-dveca 34035  df-disoa 34062  df-dvech 34112  df-dib 34172  df-dic 34206  df-dih 34262  df-doch 34381  df-djh 34428  df-lcdual 34620  df-mapd 34658
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  34764  mapdh6lem1N  34766  mapdh6lem2N  34767  hdmap1l6lem1  34841  hdmap1l6lem2  34842
  Copyright terms: Public domain W3C validator