Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdn0 Structured version   Unicode version

Theorem mapdn0 36341
Description: Transfer non-zero property from domain to range of projectivity mapd. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdindp.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdindp.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdindp.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdindp.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdindp.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdindp.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdindp.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdindp.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdindp.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdindp.mx  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdn0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdn0.z  |-  Z  =  ( 0g `  C
)
mapdn0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
Assertion
Ref Expression
mapdn0  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D 
\  { Z }
) )

Proof of Theorem mapdn0
StepHypRef Expression
1 mapdindp.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
2 mapdn0.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3 eldifsni 4146 . . . 4  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
5 mapdindp.mx . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
6 sneq 4030 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  Z  ->  { F }  =  { Z } )
76fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  Z  ->  ( J `  { F } )  =  ( J `  { Z } ) )
85, 7sylan9eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  =  Z )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `
 { Z }
) )
9 mapdindp.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
10 mapdindp.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
11 mapdindp.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
12 mapdn0.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
13 mapdindp.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
14 mapdn0.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( 0g `  C
)
15 mapdindp.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15mapd0 36337 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M `  {  .0.  } )  =  { Z } )
179, 13, 15lcdlmod 36264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
18 mapdindp.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( LSpan `  C )
1914, 18lspsn0 17430 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  LMod  ->  ( J `
 { Z }
)  =  { Z } )
2017, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J `  { Z } )  =  { Z } )
2116, 20eqtr4d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M `  {  .0.  } )  =  ( J `  { Z } ) )
2221adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  =  Z )  ->  ( M `  {  .0.  }
)  =  ( J `
 { Z }
) )
238, 22eqtr4d 2504 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  =  Z )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( M `
 {  .0.  }
) )
2423ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  =  Z  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( M `  {  .0.  } ) ) )
25 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
269, 11, 15dvhlmod 35782 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
272eldifad 3481 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
28 mapdindp.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  U
)
29 mapdindp.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  U )
3028, 25, 29lspsncl 17399 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
3126, 27, 30syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
3212, 25lsssn0 17370 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  LMod  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  U
) )
3326, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  U )
)
349, 11, 25, 10, 15, 31, 33mapd11 36311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( M `  {  .0.  } )  <->  ( N `  { X } )  =  {  .0.  }
) )
3528, 12, 29lspsneq0 17434 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( N `  { X } )  =  {  .0.  }  <->  X  =  .0.  ) )
3626, 27, 35syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  {  .0.  }  <->  X  =  .0.  ) )
3734, 36bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( M `  {  .0.  } )  <->  X  =  .0.  ) )
3824, 37sylibd 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  =  Z  ->  X  =  .0.  ) )
3938necon3d 2684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  .0.  ->  F  =/=  Z ) )
404, 39mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  F  =/=  Z )
41 eldifsn 4145 . 2  |-  ( F  e.  ( D  \  { Z } )  <->  ( F  e.  D  /\  F  =/= 
Z ) )
421, 40, 41sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D 
\  { Z }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655    \ cdif 3466   {csn 4020   ` cfv 5579   Basecbs 14479   0gc0g 14684   LModclmod 17288   LSubSpclss 17354   LSpanclspn 17393   HLchlt 34022   LHypclh 34655   DVecHcdvh 35750  LCDualclcd 36258  mapdcmpd 36296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-undef 6992  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-oppg 16169  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lvec 17525  df-lsatoms 33648  df-lshyp 33649  df-lcv 33691  df-lfl 33730  df-lkr 33758  df-ldual 33796  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tgrp 35414  df-tendo 35426  df-edring 35428  df-dveca 35674  df-disoa 35701  df-dvech 35751  df-dib 35811  df-dic 35845  df-dih 35901  df-doch 36020  df-djh 36067  df-lcdual 36259  df-mapd 36297
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  36403  mapdh6lem1N  36405  mapdh6lem2N  36406  hdmap1l6lem1  36480  hdmap1l6lem2  36481
  Copyright terms: Public domain W3C validator