Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp4 Structured version   Unicode version

Theorem mapdindp4 35368
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdindp4  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) )

Proof of Theorem mapdindp4
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 mapdindp1.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 mapdindp1.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 mapdindp1.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 mapdindp1.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6 lveclmod 17187 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 mapdindp1.W . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3340 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
10 mapdindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1110eldifad 3340 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
12 mapdindp1.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
131, 12lmodvacl 16962 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w  .+  Y )  e.  V )
147, 9, 11, 13syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  e.  V )
15 mapdindp1.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1615eldifad 3340 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 mapdindp1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
18 mapdindp1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
191, 3, 4, 9, 16, 11, 18lspindpi 17213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
2019simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2120necomd 2695 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
221, 12, 2, 3, 4, 11, 8, 21lspindp3 17217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { ( Y  .+  w ) } ) )
231, 12lmodcom 16991 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w  .+  Y )  =  ( Y  .+  w ) )
247, 9, 11, 23syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  w ) )
2524sneqd 3889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( w  .+  Y ) }  =  { ( Y  .+  w ) } )
2625fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  =  ( N `  {
( Y  .+  w
) } ) )
2722, 26neeqtrrd 2632 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
2817, 27eqnetrrd 2628 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
29 mapdindp1.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
301, 2, 3, 4, 15, 11, 9, 29, 18lspindp1 17214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) ) )
3130simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) )
32 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
335eldifad 3340 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
341, 3, 32, 7, 33, 14lsmpr 17170 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( ( N `
 { Z }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
351, 12lmodcom 16991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  w  e.  V )  ->  ( Y  .+  w )  =  ( w  .+  Y
) )
367, 11, 9, 35syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  w
)  =  ( w 
.+  Y ) )
3736preq2d 3961 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { Y ,  ( Y  .+  w ) }  =  { Y ,  ( w  .+  Y ) } )
3837fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( Y  .+  w ) } )  =  ( N `  { Y ,  ( w 
.+  Y ) } ) )
391, 12, 3, 7, 11, 9lspprabs 17176 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( Y  .+  w ) } )  =  ( N `  { Y ,  w }
) )
401, 3, 32, 7, 11, 14lsmpr 17170 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( ( N `
 { Y }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
4138, 39, 403eqtr3rd 2484 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( N `  { Y ,  w }
) )
4217oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
43 prcom 3953 . . . . . . . 8  |-  { Y ,  w }  =  {
w ,  Y }
4443fveq2i 5694 . . . . . . 7  |-  ( N `
 { Y ,  w } )  =  ( N `  { w ,  Y } )
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  w }
)  =  ( N `
 { w ,  Y } ) )
4641, 42, 453eqtr3d 2483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( N `  {
w ,  Y }
) )
4734, 46eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( N `  { w ,  Y } ) )
4831, 47neleqtrrd 2539 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) )
491, 2, 3, 4, 5, 14, 16, 28, 48lspindp1 17214 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  /\  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) ) )
5049simprd 463 1  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    \ cdif 3325   {csn 3877   {cpr 3879   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   0gc0g 14378   LSSumclsm 16133   LModclmod 16948   LSpanclspn 17052   LVecclvec 17183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-lsm 16135  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-drng 16834  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lvec 17184
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  35385  hdmap1l6e  35460
  Copyright terms: Public domain W3C validator