Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp4 Structured version   Unicode version

Theorem mapdindp4 36395
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdindp4  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) )

Proof of Theorem mapdindp4
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 mapdindp1.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 mapdindp1.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 mapdindp1.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 mapdindp1.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6 lveclmod 17528 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 mapdindp1.W . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3481 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
10 mapdindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1110eldifad 3481 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
12 mapdindp1.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
131, 12lmodvacl 17302 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w  .+  Y )  e.  V )
147, 9, 11, 13syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  e.  V )
15 mapdindp1.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1615eldifad 3481 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 mapdindp1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
18 mapdindp1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
191, 3, 4, 9, 16, 11, 18lspindpi 17554 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
2019simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2120necomd 2731 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
221, 12, 2, 3, 4, 11, 8, 21lspindp3 17558 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { ( Y  .+  w ) } ) )
231, 12lmodcom 17332 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w  .+  Y )  =  ( Y  .+  w ) )
247, 9, 11, 23syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  w ) )
2524sneqd 4032 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( w  .+  Y ) }  =  { ( Y  .+  w ) } )
2625fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  =  ( N `  {
( Y  .+  w
) } ) )
2722, 26neeqtrrd 2760 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
2817, 27eqnetrrd 2754 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
29 mapdindp1.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
301, 2, 3, 4, 15, 11, 9, 29, 18lspindp1 17555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) ) )
3130simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) )
32 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
335eldifad 3481 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
341, 3, 32, 7, 33, 14lsmpr 17511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( ( N `
 { Z }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
351, 12lmodcom 17332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  w  e.  V )  ->  ( Y  .+  w )  =  ( w  .+  Y
) )
367, 11, 9, 35syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  w
)  =  ( w 
.+  Y ) )
3736preq2d 4106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { Y ,  ( Y  .+  w ) }  =  { Y ,  ( w  .+  Y ) } )
3837fveq2d 5861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( Y  .+  w ) } )  =  ( N `  { Y ,  ( w 
.+  Y ) } ) )
391, 12, 3, 7, 11, 9lspprabs 17517 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( Y  .+  w ) } )  =  ( N `  { Y ,  w }
) )
401, 3, 32, 7, 11, 14lsmpr 17511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( ( N `
 { Y }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
4138, 39, 403eqtr3rd 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( N `  { Y ,  w }
) )
4217oveq1d 6290 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
43 prcom 4098 . . . . . . . 8  |-  { Y ,  w }  =  {
w ,  Y }
4443fveq2i 5860 . . . . . . 7  |-  ( N `
 { Y ,  w } )  =  ( N `  { w ,  Y } )
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  w }
)  =  ( N `
 { w ,  Y } ) )
4641, 42, 453eqtr3d 2509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( N `  {
w ,  Y }
) )
4734, 46eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( N `  { w ,  Y } ) )
4831, 47neleqtrrd 2573 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) )
491, 2, 3, 4, 5, 14, 16, 28, 48lspindp1 17555 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  /\  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) ) )
5049simprd 463 1  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655    \ cdif 3466   {csn 4020   {cpr 4022   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   0gc0g 14684   LSSumclsm 16443   LModclmod 17288   LSpanclspn 17393   LVecclvec 17524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-drng 17174  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lvec 17525
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  36412  hdmap1l6e  36487
  Copyright terms: Public domain W3C validator