Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp4 Structured version   Unicode version

Theorem mapdindp4 34707
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdindp4  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) )

Proof of Theorem mapdindp4
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 mapdindp1.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 mapdindp1.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 mapdindp1.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 mapdindp1.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6 lveclmod 17962 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
74, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 mapdindp1.W . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3423 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
10 mapdindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1110eldifad 3423 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
12 mapdindp1.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
131, 12lmodvacl 17736 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w  .+  Y )  e.  V )
147, 9, 11, 13syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  e.  V )
15 mapdindp1.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1615eldifad 3423 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 mapdindp1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
18 mapdindp1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
191, 3, 4, 9, 16, 11, 18lspindpi 17988 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
2019simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2120necomd 2672 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
221, 12, 2, 3, 4, 11, 8, 21lspindp3 17992 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { ( Y  .+  w ) } ) )
231, 12lmodcom 17766 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w  .+  Y )  =  ( Y  .+  w ) )
247, 9, 11, 23syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  w ) )
2524sneqd 3981 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( w  .+  Y ) }  =  { ( Y  .+  w ) } )
2625fveq2d 5807 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  =  ( N `  {
( Y  .+  w
) } ) )
2722, 26neeqtrrd 2701 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
2817, 27eqnetrrd 2695 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
29 mapdindp1.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
301, 2, 3, 4, 15, 11, 9, 29, 18lspindp1 17989 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) ) )
3130simprd 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) )
32 eqid 2400 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
335eldifad 3423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
341, 3, 32, 7, 33, 14lsmpr 17945 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( ( N `
 { Z }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
351, 12lmodcom 17766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  w  e.  V )  ->  ( Y  .+  w )  =  ( w  .+  Y
) )
367, 11, 9, 35syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  w
)  =  ( w 
.+  Y ) )
3736preq2d 4055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { Y ,  ( Y  .+  w ) }  =  { Y ,  ( w  .+  Y ) } )
3837fveq2d 5807 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( Y  .+  w ) } )  =  ( N `  { Y ,  ( w 
.+  Y ) } ) )
391, 12, 3, 7, 11, 9lspprabs 17951 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( Y  .+  w ) } )  =  ( N `  { Y ,  w }
) )
401, 3, 32, 7, 11, 14lsmpr 17945 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( ( N `
 { Y }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
4138, 39, 403eqtr3rd 2450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( N `  { Y ,  w }
) )
4217oveq1d 6247 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
43 prcom 4047 . . . . . . . 8  |-  { Y ,  w }  =  {
w ,  Y }
4443fveq2i 5806 . . . . . . 7  |-  ( N `
 { Y ,  w } )  =  ( N `  { w ,  Y } )
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  w }
)  =  ( N `
 { w ,  Y } ) )
4641, 42, 453eqtr3d 2449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( N `  {
w ,  Y }
) )
4734, 46eqtrd 2441 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( N `  { w ,  Y } ) )
4831, 47neleqtrrd 2513 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) )
491, 2, 3, 4, 5, 14, 16, 28, 48lspindp1 17989 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  /\  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) ) )
5049simprd 461 1  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596    \ cdif 3408   {csn 3969   {cpr 3971   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Basecbs 14731   +g cplusg 14799   0gc0g 14944   LSSumclsm 16868   LModclmod 17722   LSpanclspn 17827   LVecclvec 17958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-tpos 6910  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-submnd 16181  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-subg 16412  df-cntz 16569  df-lsm 16870  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-oppr 17482  df-dvdsr 17500  df-unit 17501  df-invr 17531  df-drng 17608  df-lmod 17724  df-lss 17789  df-lsp 17828  df-lvec 17959
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  34724  hdmap1l6e  34799
  Copyright terms: Public domain W3C validator