Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mapdindp4 35362
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdindp4  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) )

Proof of Theorem mapdindp4
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 mapdindp1.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 mapdindp1.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 mapdindp1.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 mapdindp1.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6 lveclmod 18407 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
74, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 mapdindp1.W . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3402 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
10 mapdindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1110eldifad 3402 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
12 mapdindp1.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
131, 12lmodvacl 18183 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w  .+  Y )  e.  V )
147, 9, 11, 13syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  e.  V )
15 mapdindp1.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1615eldifad 3402 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 mapdindp1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
18 mapdindp1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
191, 3, 4, 9, 16, 11, 18lspindpi 18433 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
2019simprd 470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2120necomd 2698 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
221, 12, 2, 3, 4, 11, 8, 21lspindp3 18437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { ( Y  .+  w ) } ) )
231, 12lmodcom 18212 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w  .+  Y )  =  ( Y  .+  w ) )
247, 9, 11, 23syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  w ) )
2524sneqd 3971 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( w  .+  Y ) }  =  { ( Y  .+  w ) } )
2625fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  =  ( N `  {
( Y  .+  w
) } ) )
2722, 26neeqtrrd 2717 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
2817, 27eqnetrrd 2711 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
29 mapdindp1.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
301, 2, 3, 4, 15, 11, 9, 29, 18lspindp1 18434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) ) )
3130simprd 470 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) )
32 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
335eldifad 3402 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
341, 3, 32, 7, 33, 14lsmpr 18390 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( ( N `
 { Z }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
351, 12lmodcom 18212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  w  e.  V )  ->  ( Y  .+  w )  =  ( w  .+  Y
) )
367, 11, 9, 35syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  w
)  =  ( w 
.+  Y ) )
3736preq2d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { Y ,  ( Y  .+  w ) }  =  { Y ,  ( w  .+  Y ) } )
3837fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( Y  .+  w ) } )  =  ( N `  { Y ,  ( w 
.+  Y ) } ) )
391, 12, 3, 7, 11, 9lspprabs 18396 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( Y  .+  w ) } )  =  ( N `  { Y ,  w }
) )
401, 3, 32, 7, 11, 14lsmpr 18390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( ( N `
 { Y }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
4138, 39, 403eqtr3rd 2514 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( N `  { Y ,  w }
) )
4217oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
43 prcom 4041 . . . . . . . 8  |-  { Y ,  w }  =  {
w ,  Y }
4443fveq2i 5882 . . . . . . 7  |-  ( N `
 { Y ,  w } )  =  ( N `  { w ,  Y } )
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  w }
)  =  ( N `
 { w ,  Y } ) )
4641, 42, 453eqtr3d 2513 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( N `  {
w ,  Y }
) )
4734, 46eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( N `  { w ,  Y } ) )
4831, 47neleqtrrd 2571 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) )
491, 2, 3, 4, 5, 14, 16, 28, 48lspindp1 18434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  /\  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) ) )
5049simprd 470 1  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    \ cdif 3387   {csn 3959   {cpr 3961   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   0gc0g 15416   LSSumclsm 17364   LModclmod 18169   LSpanclspn 18272   LVecclvec 18403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  35379  hdmap1l6e  35454
  Copyright terms: Public domain W3C validator