Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp3 Structured version   Unicode version

Theorem mapdindp3 36519
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdindp3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )

Proof of Theorem mapdindp3
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17532 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 mapdindp1.W . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
54eldifad 3488 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
6 mapdindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3488 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
8 mapdindp1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 mapdindp1.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
10 mapdindp1.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
118, 9, 10lspvadd 17522 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
w  .+  Y ) } )  C_  ( N `  { w ,  Y } ) )
123, 5, 7, 11syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  C_  ( N `  { w ,  Y } ) )
13 mapdindp1.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
14 mapdindp1.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
15 mapdindp1.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
16 mapdindp1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
178, 13, 10, 1, 14, 7, 5, 15, 16lspindp1 17559 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) ) )
1817simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) )
1912, 18ssneldd 3507 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )
2014eldifad 3488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
218, 10lspsnid 17419 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
223, 20, 21syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X }
) )
23 eleq2 2540 . . . 4  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( w  .+  Y ) } )  ->  ( X  e.  ( N `  { X } )  <-> 
X  e.  ( N `
 { ( w 
.+  Y ) } ) ) )
2422, 23syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  ->  X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
2524necon3bd 2679 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  -> 
( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) ) )
2619, 25mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   {cpr 4029   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   0gc0g 14688   LModclmod 17292   LSpanclspn 17397   LVecclvec 17528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-subg 15990  df-cntz 16147  df-lsm 16449  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-drng 17178  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-lvec 17529
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  36537  hdmap1l6e  36612
  Copyright terms: Public domain W3C validator