Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp2 Structured version   Unicode version

Theorem mapdindp2 36919
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdindp2  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } ) )

Proof of Theorem mapdindp2
StepHypRef Expression
1 preq2 4113 . . . . . 6  |-  ( ( Y  .+  Z )  =  .0.  ->  { X ,  ( Y  .+  Z ) }  =  { X ,  .0.  }
)
21fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ( Y  .+  Z )  =  .0.  ->  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } )  =  ( N `  { X ,  .0.  }
) )
3 mapdindp1.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 mapdindp1.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
5 mapdindp1.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
6 mapdindp1.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lveclmod 17623 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
9 mapdindp1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
109eldifad 3493 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
113, 4, 5, 8, 10lsppr0 17609 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  .0.  } )  =  ( N `  { X } ) )
122, 11sylan9eqr 2530 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =  .0.  )  ->  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } )  =  ( N `  { X } ) )
13 mapdindp1.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413eldifad 3493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
15 prssi 4189 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
1610, 14, 15syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
17 snsspr1 4182 . . . . . . 7  |-  { X }  C_  { X ,  Y }
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  { X ,  Y }
)
193, 5lspss 17501 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  C_  V  /\  { X }  C_  { X ,  Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
208, 16, 18, 19syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
2120adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =  .0.  )  ->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { X ,  Y }
) )
2212, 21eqsstrd 3543 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =  .0.  )  ->  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
23 mapdindp1.f . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
2423adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =  .0.  )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
2522, 24ssneldd 3512 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =  .0.  )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } ) )
2623adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
27 mapdindp1.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
286adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  W  e.  LVec )
299adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3013adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
31 mapdindp1.z . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3231adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
33 mapdindp1.W . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3433adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
35 mapdindp1.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
3635adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
37 mapdindp1.ne . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
3837adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
39 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )
403, 27, 4, 5, 28, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 26, 39mapdindp0 36917 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } )  =  ( N `  { Y } ) )
4140oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
42 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
4331eldifad 3493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
443, 27lmodvacl 17397 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
458, 14, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
463, 5, 42, 8, 10, 45lsmpr 17606 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } )  =  ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) ) )
4746adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( N `  { X ,  ( Y 
.+  Z ) } )  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) )
483, 5, 42, 8, 10, 14lsmpr 17606 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
4948adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
5041, 47, 493eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( N `  { X ,  ( Y 
.+  Z ) } )  =  ( N `
 { X ,  Y } ) )
5126, 50neleqtrrd 2580 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } ) )
5225, 51pm2.61dane 2785 1  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4033   {cpr 4035   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   0gc0g 14712   LSSumclsm 16527   LModclmod 17383   LSpanclspn 17488   LVecclvec 17619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lvec 17620
This theorem is referenced by:  mapdh6dN  36937  hdmap1l6d  37012
  Copyright terms: Public domain W3C validator