Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp2 Structured version   Unicode version

Theorem mapdindp2 35729
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdindp2  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } ) )

Proof of Theorem mapdindp2
StepHypRef Expression
1 preq2 4066 . . . . . 6  |-  ( ( Y  .+  Z )  =  .0.  ->  { X ,  ( Y  .+  Z ) }  =  { X ,  .0.  }
)
21fveq2d 5806 . . . . 5  |-  ( ( Y  .+  Z )  =  .0.  ->  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } )  =  ( N `  { X ,  .0.  }
) )
3 mapdindp1.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 mapdindp1.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
5 mapdindp1.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
6 mapdindp1.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lveclmod 17320 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
9 mapdindp1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
109eldifad 3451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
113, 4, 5, 8, 10lsppr0 17306 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  .0.  } )  =  ( N `  { X } ) )
122, 11sylan9eqr 2517 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =  .0.  )  ->  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } )  =  ( N `  { X } ) )
13 mapdindp1.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413eldifad 3451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
15 prssi 4140 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { X ,  Y }  C_  V )
1610, 14, 15syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  V )
17 snsspr1 4133 . . . . . . 7  |-  { X }  C_  { X ,  Y }
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  { X ,  Y }
)
193, 5lspss 17198 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X ,  Y }  C_  V  /\  { X }  C_  { X ,  Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
208, 16, 18, 19syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
2120adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =  .0.  )  ->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { X ,  Y }
) )
2212, 21eqsstrd 3501 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =  .0.  )  ->  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
23 mapdindp1.f . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
2423adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =  .0.  )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )
2522, 24ssneldd 3470 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =  .0.  )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } ) )
2623adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
27 mapdindp1.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
286adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  W  e.  LVec )
299adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
3013adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
31 mapdindp1.z . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3231adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
33 mapdindp1.W . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3433adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
35 mapdindp1.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
3635adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
37 mapdindp1.ne . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
3837adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
39 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )
403, 27, 4, 5, 28, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 26, 39mapdindp0 35727 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } )  =  ( N `  { Y } ) )
4140oveq2d 6219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
42 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
4331eldifad 3451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
443, 27lmodvacl 17095 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
458, 14, 43, 44syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
463, 5, 42, 8, 10, 45lsmpr 17303 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } )  =  ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) ) )
4746adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( N `  { X ,  ( Y 
.+  Z ) } )  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) )
483, 5, 42, 8, 10, 14lsmpr 17303 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
4948adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
5041, 47, 493eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  ( N `  { X ,  ( Y 
.+  Z ) } )  =  ( N `
 { X ,  Y } ) )
5126, 50neleqtrrd 2567 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  .0.  )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } ) )
5225, 51pm2.61dane 2770 1  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  ( Y  .+  Z ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648    \ cdif 3436    C_ wss 3439   {csn 3988   {cpr 3990   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   0gc0g 14501   LSSumclsm 16258   LModclmod 17081   LSpanclspn 17185   LVecclvec 17316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-subg 15801  df-cntz 15958  df-lsm 16260  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-drng 16967  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186  df-lvec 17317
This theorem is referenced by:  mapdh6dN  35747  hdmap1l6d  35822
  Copyright terms: Public domain W3C validator