Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp0 Structured version   Unicode version

Theorem mapdindp0 35460
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
mapdindp1.yz  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mapdindp0  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( N `  { Y } ) )

Proof of Theorem mapdindp0
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 mapdindp1.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 mapdindp1.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 17209 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 mapdindp1.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3361 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
8 mapdindp1.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
98, 1, 2lspsncl 17080 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
105, 7, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
11 mapdindp1.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
1211, 10eqeltrrd 2518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
13 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
141, 13lsmcl 17186 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( N `
 { Y }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { Z } ) )  e.  ( LSubSp `  W
) )
155, 10, 12, 14syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) )  e.  ( LSubSp `  W )
)
161lsssssubg 17061 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
175, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
1817, 10sseldd 3378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
1911, 18eqeltrrd 2518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
208, 2lspsnid 17096 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  ( N `  { Y } ) )
215, 7, 20syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { Y }
) )
22 mapdindp1.z . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2322eldifad 3361 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
248, 2lspsnid 17096 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  Z  e.  ( N `  { Z } ) )
255, 23, 24syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 { Z }
) )
26 mapdindp1.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2726, 13lsmelvali 16170 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  ( Y  e.  ( N `  { Y } )  /\  Z  e.  ( N `  { Z } ) ) )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  ( ( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
2818, 19, 21, 25, 27syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( ( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
291, 2, 5, 15, 28lspsnel5a 17099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) ) )
3011oveq2d 6128 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) ) )
3113lsmidm 16182 . . . . 5  |-  ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  ->  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) )  =  ( N `  { Y } ) )
3218, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  { Y } ) )
3330, 32eqtr3d 2477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) )  =  ( N `  { Y } ) )
3429, 33sseqtrd 3413 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( N `  { Y } ) )
35 mapdindp1.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
368, 26lmodvacl 16984 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
375, 7, 23, 36syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
38 mapdindp1.yz . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =/=  .0.  )
39 eldifsn 4021 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( ( Y  .+  Z )  e.  V  /\  ( Y 
.+  Z )  =/= 
.0.  ) )
4037, 38, 39sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
418, 35, 2, 3, 40, 7lspsncmp 17219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) 
C_  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
4234, 41mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    \ cdif 3346    C_ wss 3349   {csn 3898   {cpr 3900   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   +g cplusg 14259   0gc0g 14399  SubGrpcsubg 15696   LSSumclsm 16154   LModclmod 16970   LSubSpclss 17035   LSpanclspn 17074   LVecclvec 17205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-0g 14401  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-subg 15699  df-cntz 15856  df-lsm 16156  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-oppr 16737  df-dvdsr 16755  df-unit 16756  df-invr 16786  df-drng 16856  df-lmod 16972  df-lss 17036  df-lsp 17075  df-lvec 17206
This theorem is referenced by:  mapdindp1  35461  mapdindp2  35462
  Copyright terms: Public domain W3C validator