Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp0 Structured version   Unicode version

Theorem mapdindp0 36922
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
mapdindp1.yz  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mapdindp0  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( N `  { Y } ) )

Proof of Theorem mapdindp0
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 mapdindp1.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 mapdindp1.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 17621 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 mapdindp1.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3493 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
8 mapdindp1.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
98, 1, 2lspsncl 17492 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
105, 7, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
11 mapdindp1.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
1211, 10eqeltrrd 2556 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
13 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
141, 13lsmcl 17598 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( N `
 { Y }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { Z } ) )  e.  ( LSubSp `  W
) )
155, 10, 12, 14syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) )  e.  ( LSubSp `  W )
)
161lsssssubg 17473 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
175, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
1817, 10sseldd 3510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
1911, 18eqeltrrd 2556 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
208, 2lspsnid 17508 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  ( N `  { Y } ) )
215, 7, 20syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { Y }
) )
22 mapdindp1.z . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2322eldifad 3493 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
248, 2lspsnid 17508 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  Z  e.  ( N `  { Z } ) )
255, 23, 24syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 { Z }
) )
26 mapdindp1.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2726, 13lsmelvali 16541 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  ( Y  e.  ( N `  { Y } )  /\  Z  e.  ( N `  { Z } ) ) )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  ( ( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
2818, 19, 21, 25, 27syl22anc 1229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( ( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
291, 2, 5, 15, 28lspsnel5a 17511 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) ) )
3011oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) ) )
3113lsmidm 16553 . . . . 5  |-  ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  ->  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) )  =  ( N `  { Y } ) )
3218, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  { Y } ) )
3330, 32eqtr3d 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) )  =  ( N `  { Y } ) )
3429, 33sseqtrd 3545 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( N `  { Y } ) )
35 mapdindp1.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
368, 26lmodvacl 17395 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
375, 7, 23, 36syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
38 mapdindp1.yz . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =/=  .0.  )
39 eldifsn 4158 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( ( Y  .+  Z )  e.  V  /\  ( Y 
.+  Z )  =/= 
.0.  ) )
4037, 38, 39sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
418, 35, 2, 3, 40, 7lspsncmp 17631 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) 
C_  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
4234, 41mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4033   {cpr 4035   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14506   +g cplusg 14571   0gc0g 14711  SubGrpcsubg 16066   LSSumclsm 16525   LModclmod 17381   LSubSpclss 17447   LSpanclspn 17486   LVecclvec 17617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-0g 14713  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-subg 16069  df-cntz 16226  df-lsm 16527  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-oppr 17142  df-dvdsr 17160  df-unit 17161  df-invr 17191  df-drng 17267  df-lmod 17383  df-lss 17448  df-lsp 17487  df-lvec 17618
This theorem is referenced by:  mapdindp1  36923  mapdindp2  36924
  Copyright terms: Public domain W3C validator