Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdin Unicode version

Theorem mapdin 32145
Description: Subspace intersection is preserved by the map defined by df-mapd 32108. Part of property (e) in [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdin.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdin.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdin.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdin.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
mapdin.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdin.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
mapdin.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
Assertion
Ref Expression
mapdin  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( M `
 X )  i^i  ( M `  Y
) ) )

Proof of Theorem mapdin
StepHypRef Expression
1 inss1 3521 . . . 4  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
2 mapdin.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdin.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 mapdin.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
5 mapdin.m . . . . 5  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
6 mapdin.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
72, 3, 6dvhlmod 31593 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
8 mapdin.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
9 mapdin.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
104lssincl 15996 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  S )
117, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  S )
122, 3, 4, 5, 6, 11, 8mapdord 32121 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( M `  X )  <->  ( X  i^i  Y )  C_  X
) )
131, 12mpbiri 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) ) 
C_  ( M `  X ) )
14 inss2 3522 . . . 4  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
152, 3, 4, 5, 6, 11, 9mapdord 32121 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( M `  Y )  <->  ( X  i^i  Y )  C_  Y
) )
1614, 15mpbiri 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) ) 
C_  ( M `  Y ) )
1713, 16ssind 3525 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) ) 
C_  ( ( M `
 X )  i^i  ( M `  Y
) ) )
18 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( (LCDual `  K ) `  W
)  =  ( (LCDual `  K ) `  W
)
19 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
202, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 8mapdcl2 32139 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
212, 5, 18, 19, 6mapdrn2 32134 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  M  =  (
LSubSp `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) )
2220, 21eleqtrrd 2481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  ran  M
)
232, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 9mapdcl2 32139 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
2423, 21eleqtrrd 2481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  ran  M
)
252, 5, 3, 18, 6, 22, 24mapdincl 32144 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  e.  ran  M
)
262, 5, 6, 25mapdcnvid2 32140 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  =  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) )
27 inss1 3521 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) )  C_  ( M `  X )
2826, 27syl6eqss 3358 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  X ) )
292, 18, 6lcdlmod 32075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  LMod )
3019lssincl 15996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  LMod  /\  ( M `  X )  e.  (
LSubSp `  ( (LCDual `  K ) `  W
) )  /\  ( M `  Y )  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) )  -> 
( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
3129, 20, 23, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
3231, 21eleqtrrd 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  e.  ran  M
)
332, 5, 3, 4, 6, 32mapdcnvcl 32135 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
) )  e.  S
)
342, 3, 4, 5, 6, 33, 8mapdord 32121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  X )  <->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y
) ) )  C_  X ) )
3528, 34mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
) )  C_  X
)
362, 5, 6, 32mapdcnvid2 32140 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  =  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) )
37 inss2 3522 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) )  C_  ( M `  Y )
3836, 37syl6eqss 3358 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  Y ) )
392, 3, 4, 5, 6, 33, 9mapdord 32121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  Y )  <->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y
) ) )  C_  Y ) )
4038, 39mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
) )  C_  Y
)
4135, 40ssind 3525 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
) )  C_  ( X  i^i  Y ) )
422, 3, 4, 5, 6, 33, 11mapdord 32121 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  ( X  i^i  Y
) )  <->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y
) ) )  C_  ( X  i^i  Y ) ) )
4341, 42mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  ( X  i^i  Y
) ) )
4426, 43eqsstr3d 3343 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  C_  ( M `  ( X  i^i  Y
) ) )
4517, 44eqssd 3325 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( M `
 X )  i^i  ( M `  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    i^i cin 3279    C_ wss 3280   `'ccnv 4836   ran crn 4838   ` cfv 5413   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963   HLchlt 29833   LHypclh 30466   DVecHcdvh 31561  LCDualclcd 32069  mapdcmpd 32107
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  32214  mapdh6lem1N  32216  mapdh6lem2N  32217  hdmap1l6lem1  32291  hdmap1l6lem2  32292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130  df-lsatoms 29459  df-lshyp 29460  df-lcv 29502  df-lfl 29541  df-lkr 29569  df-ldual 29607  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tgrp 31225  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-dveca 31485  df-disoa 31512  df-dvech 31562  df-dib 31622  df-dic 31656  df-dih 31712  df-doch 31831  df-djh 31878  df-lcdual 32070  df-mapd 32108
  Copyright terms: Public domain W3C validator