Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdheq4 Structured version   Unicode version

Theorem mapdheq4 36406
Description: Lemma for ~? mapdh . Part (4) in [Baer] p. 46. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdhc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdhc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdhcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdhe4.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdhe.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
mapdh.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
mapdh.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh.ee  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
Assertion
Ref Expression
mapdheq4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  Z >. )  =  E )
Distinct variable groups:    x, D, h    h, F, x    x, J    x, M    x, N    x,  .0.    x, Q    x, R    x, 
.-    h, X, x    h, Y, x    ph, h    .0. , h    C, h    D, h   
h, J    h, M    h, N    R, h    U, h    .- , h    h, G, x   
h, E    h, Z, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    E( x)    H( x, h)    I( x, h)    K( x, h)    V( x, h)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdheq4
StepHypRef Expression
1 mapdh.ee . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
2 mapdh.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
3 mapdh.i . . . . 5  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
4 mapdh.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 mapdh.m . . . . 5  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
6 mapdh.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 mapdh.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 mapdh.s . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  U )
9 mapdhc.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
10 mapdh.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
11 mapdh.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
12 mapdh.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  C
)
13 mapdh.r . . . . 5  |-  R  =  ( -g `  C
)
14 mapdh.j . . . . 5  |-  J  =  ( LSpan `  C )
15 mapdh.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 mapdhc.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
17 mapdh.mn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
18 mapdhcl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 mapdhe.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2019eldifad 3483 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
214, 6, 15dvhlvec 35783 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
22 mapdhe4.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2318eldifad 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
24 mapdh.yz . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
25 mapdh.xn . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
267, 9, 10, 21, 22, 20, 23, 24, 25lspindp1 17557 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } )  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
2726simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
282, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 27mapdhcl 36401 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )
291, 28eqeltrrd 2551 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  D )
302, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 29, 27mapdheq 36402 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E  <-> 
( ( M `  ( N `  { Z } ) )  =  ( J `  { E } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R E ) } ) ) ) )
311, 30mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { Z } ) )  =  ( J `  { E } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R E ) } ) ) )
3231simpld 459 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Z } ) )  =  ( J `  { E } ) )
33 mapdh.eg . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
342, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 22, 19, 25, 24, 33, 1mapdheq4lem 36405 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } ) )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
3522eldifad 3483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
367, 9, 10, 21, 35, 19, 23, 24, 25lspindp2 17559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
3736simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
382, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 35, 37mapdhcl 36401 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D )
3933, 38eqeltrrd 2551 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  D )
402, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 22, 39, 37mapdheq 36402 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G  <-> 
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) ) )
4133, 40mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) )
4241simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } ) )
432, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 39, 42, 22, 19, 29, 24mapdheq 36402 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. Y ,  G ,  Z >. )  =  E  <-> 
( ( M `  ( N `  { Z } ) )  =  ( J `  { E } )  /\  ( M `  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } ) )  =  ( J `
 { ( G R E ) } ) ) ) )
4432, 34, 43mpbir2and 915 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  Z >. )  =  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   _Vcvv 3108    \ cdif 3468   ifcif 3934   {csn 4022   {cpr 4024   <.cotp 4030    |-> cmpt 4500   ` cfv 5581   iota_crio 6237  (class class class)co 6277   1stc1st 6774   2ndc2nd 6775   Basecbs 14481   0gc0g 14686   -gcsg 15721   LSpanclspn 17395   HLchlt 34024   LHypclh 34657   DVecHcdvh 35752  LCDualclcd 36260  mapdcmpd 36298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-riotaBAD 33633
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-ot 4031  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-0g 14688  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-poset 15424  df-plt 15436  df-lub 15452  df-glb 15453  df-join 15454  df-meet 15455  df-p0 15517  df-p1 15518  df-lat 15524  df-clat 15586  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-subg 15988  df-cntz 16145  df-oppg 16171  df-lsm 16447  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-dvr 17111  df-drng 17176  df-lmod 17292  df-lss 17357  df-lsp 17396  df-lvec 17527  df-lsatoms 33650  df-lshyp 33651  df-lcv 33693  df-lfl 33732  df-lkr 33760  df-ldual 33798  df-oposet 33850  df-ol 33852  df-oml 33853  df-covers 33940  df-ats 33941  df-atl 33972  df-cvlat 33996  df-hlat 34025  df-llines 34171  df-lplanes 34172  df-lvols 34173  df-lines 34174  df-psubsp 34176  df-pmap 34177  df-padd 34469  df-lhyp 34661  df-laut 34662  df-ldil 34777  df-ltrn 34778  df-trl 34832  df-tgrp 35416  df-tendo 35428  df-edring 35430  df-dveca 35676  df-disoa 35703  df-dvech 35753  df-dib 35813  df-dic 35847  df-dih 35903  df-doch 36022  df-djh 36069  df-lcdual 36261  df-mapd 36299
This theorem is referenced by:  mapdh7dN  36424  mapdh75d  36428  mapdh8a  36449  hdmap1eq4N  36481
  Copyright terms: Public domain W3C validator