Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdheq4 Structured version   Unicode version

Theorem mapdheq4 34716
Description: Lemma for ~? mapdh . Part (4) in [Baer] p. 46. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdhc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdhc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdhcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdhe4.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdhe.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
mapdh.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
mapdh.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh.ee  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
Assertion
Ref Expression
mapdheq4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  Z >. )  =  E )
Distinct variable groups:    x, D, h    h, F, x    x, J    x, M    x, N    x,  .0.    x, Q    x, R    x, 
.-    h, X, x    h, Y, x    ph, h    .0. , h    C, h    D, h   
h, J    h, M    h, N    R, h    U, h    .- , h    h, G, x   
h, E    h, Z, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    E( x)    H( x, h)    I( x, h)    K( x, h)    V( x, h)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdheq4
StepHypRef Expression
1 mapdh.ee . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
2 mapdh.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
3 mapdh.i . . . . 5  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
4 mapdh.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 mapdh.m . . . . 5  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
6 mapdh.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 mapdh.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 mapdh.s . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  U )
9 mapdhc.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
10 mapdh.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
11 mapdh.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
12 mapdh.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  C
)
13 mapdh.r . . . . 5  |-  R  =  ( -g `  C
)
14 mapdh.j . . . . 5  |-  J  =  ( LSpan `  C )
15 mapdh.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 mapdhc.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
17 mapdh.mn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
18 mapdhcl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 mapdhe.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2019eldifad 3423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
214, 6, 15dvhlvec 34093 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
22 mapdhe4.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2318eldifad 3423 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
24 mapdh.yz . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
25 mapdh.xn . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
267, 9, 10, 21, 22, 20, 23, 24, 25lspindp1 17989 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } )  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
2726simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
282, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 27mapdhcl 34711 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )
291, 28eqeltrrd 2489 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  D )
302, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 29, 27mapdheq 34712 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E  <-> 
( ( M `  ( N `  { Z } ) )  =  ( J `  { E } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R E ) } ) ) ) )
311, 30mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { Z } ) )  =  ( J `  { E } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R E ) } ) ) )
3231simpld 457 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Z } ) )  =  ( J `  { E } ) )
33 mapdh.eg . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
342, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 22, 19, 25, 24, 33, 1mapdheq4lem 34715 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } ) )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
3522eldifad 3423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
367, 9, 10, 21, 35, 19, 23, 24, 25lspindp2 17991 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
3736simpld 457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
382, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 35, 37mapdhcl 34711 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D )
3933, 38eqeltrrd 2489 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  D )
402, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 22, 39, 37mapdheq 34712 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G  <-> 
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) ) )
4133, 40mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) )
4241simpld 457 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } ) )
432, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 39, 42, 22, 19, 29, 24mapdheq 34712 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. Y ,  G ,  Z >. )  =  E  <-> 
( ( M `  ( N `  { Z } ) )  =  ( J `  { E } )  /\  ( M `  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } ) )  =  ( J `
 { ( G R E ) } ) ) ) )
4432, 34, 43mpbir2and 921 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  Z >. )  =  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   _Vcvv 3056    \ cdif 3408   ifcif 3882   {csn 3969   {cpr 3971   <.cotp 3977    |-> cmpt 4450   ` cfv 5523   iota_crio 6193  (class class class)co 6232   1stc1st 6734   2ndc2nd 6735   Basecbs 14731   0gc0g 14944   -gcsg 16269   LSpanclspn 17827   HLchlt 32332   LHypclh 32965   DVecHcdvh 34062  LCDualclcd 34570  mapdcmpd 34608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-riotaBAD 31941
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-ot 3978  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-tpos 6910  df-undef 6957  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-0g 14946  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-preset 15771  df-poset 15789  df-plt 15802  df-lub 15818  df-glb 15819  df-join 15820  df-meet 15821  df-p0 15883  df-p1 15884  df-lat 15890  df-clat 15952  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-submnd 16181  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-subg 16412  df-cntz 16569  df-oppg 16595  df-lsm 16870  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-oppr 17482  df-dvdsr 17500  df-unit 17501  df-invr 17531  df-dvr 17542  df-drng 17608  df-lmod 17724  df-lss 17789  df-lsp 17828  df-lvec 17959  df-lsatoms 31958  df-lshyp 31959  df-lcv 32001  df-lfl 32040  df-lkr 32068  df-ldual 32106  df-oposet 32158  df-ol 32160  df-oml 32161  df-covers 32248  df-ats 32249  df-atl 32280  df-cvlat 32304  df-hlat 32333  df-llines 32479  df-lplanes 32480  df-lvols 32481  df-lines 32482  df-psubsp 32484  df-pmap 32485  df-padd 32777  df-lhyp 32969  df-laut 32970  df-ldil 33085  df-ltrn 33086  df-trl 33141  df-tgrp 33726  df-tendo 33738  df-edring 33740  df-dveca 33986  df-disoa 34013  df-dvech 34063  df-dib 34123  df-dic 34157  df-dih 34213  df-doch 34332  df-djh 34379  df-lcdual 34571  df-mapd 34609
This theorem is referenced by:  mapdh7dN  34734  mapdh75d  34738  mapdh8a  34759  hdmap1eq4N  34791
  Copyright terms: Public domain W3C validator