Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdheq Structured version   Unicode version

Theorem mapdheq 37556
Description: Lemmma for ~? mapdh . The defining equation for h(x,x',y)=y' in part (2) in [Baer] p. 45 line 24. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdhc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdhc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdhcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdhe.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdhe.g  |-  ( ph  ->  G  e.  D )
mapdh.ne2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdheq  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G  <-> 
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, D, h    h, F, x    x, J    x, M    x, N    x,  .0.    x, Q    x, R    x, 
.-    h, X, x    h, Y, x    ph, h    .0. , h    C, h    D, h   
h, J    h, M    h, N    R, h    U, h    .- , h    h, G
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    G( x)    H( x, h)    I( x, h)    K( x, h)    V( x, h)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdheq
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
2 mapdh.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3 mapdhcl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
4 mapdhc.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
5 mapdhe.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
61, 2, 3, 4, 5mapdhval2 37554 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { Y }
) )  =  ( J `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R h ) } ) ) ) )
76eqeq1d 2459 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G  <-> 
( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( F R h ) } ) ) )  =  G ) )
8 mapdh.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 mapdh.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
10 mapdh.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
11 mapdh.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 mapdh.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
13 mapdhc.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
14 mapdh.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
15 mapdh.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
16 mapdh.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
17 mapdh.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
18 mapdh.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
19 mapdh.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
20 mapdh.ne2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
21 mapdh.mn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
228, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 3, 5, 4, 20, 21mapdpg 37534 . . 3  |-  ( ph  ->  E! h  e.  D  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( F R h ) } ) ) )
23 nfv 1708 . . . 4  |-  F/ h ph
24 nfcvd 2620 . . . 4  |-  ( ph  -> 
F/_ h G )
25 nfvd 1709 . . . 4  |-  ( ph  ->  F/ h ( ( M `  ( N `
 { Y }
) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) )
26 mapdhe.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  D )
27 sneq 4042 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  G  ->  { h }  =  { G } )
2827fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( h  =  G  ->  ( J `  { h } )  =  ( J `  { G } ) )
2928eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  (
( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  <->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } ) ) )
30 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  G  ->  ( F R h )  =  ( F R G ) )
3130sneqd 4044 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  G  ->  { ( F R h ) }  =  { ( F R G ) } )
3231fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( h  =  G  ->  ( J `  { ( F R h ) } )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) )
3332eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  (
( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( F R h ) } )  <->  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { ( F R G ) } ) ) )
3429, 33anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( h  =  G  ->  (
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( F R h ) } ) )  <->  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `
 { G }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { ( F R G ) } ) ) ) )
3534adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  h  =  G )  ->  (
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( F R h ) } ) )  <->  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `
 { G }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { ( F R G ) } ) ) ) )
3623, 24, 25, 26, 35riota2df 6278 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E! h  e.  D  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { ( F R h ) } ) ) )  ->  (
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) )  <->  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { Y }
) )  =  ( J `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R h ) } ) ) )  =  G ) )
3722, 36mpdan 668 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( M `
 ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( F R G ) } ) )  <->  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { Y }
) )  =  ( J `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R h ) } ) ) )  =  G ) )
387, 37bitr4d 256 1  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G  <-> 
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E!wreu 2809   _Vcvv 3109    \ cdif 3468   ifcif 3944   {csn 4032   <.cotp 4040    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   Basecbs 14643   0gc0g 14856   -gcsg 16181   LSpanclspn 17743   HLchlt 35176   LHypclh 35809   DVecHcdvh 36906  LCDualclcd 37414  mapdcmpd 37452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34785
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-0g 14858  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-preset 15683  df-poset 15701  df-plt 15714  df-lub 15730  df-glb 15731  df-join 15732  df-meet 15733  df-p0 15795  df-p1 15796  df-lat 15802  df-clat 15864  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-cntz 16481  df-oppg 16507  df-lsm 16782  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-dvr 17458  df-drng 17524  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-lvec 17875  df-lsatoms 34802  df-lshyp 34803  df-lcv 34845  df-lfl 34884  df-lkr 34912  df-ldual 34950  df-oposet 35002  df-ol 35004  df-oml 35005  df-covers 35092  df-ats 35093  df-atl 35124  df-cvlat 35148  df-hlat 35177  df-llines 35323  df-lplanes 35324  df-lvols 35325  df-lines 35326  df-psubsp 35328  df-pmap 35329  df-padd 35621  df-lhyp 35813  df-laut 35814  df-ldil 35929  df-ltrn 35930  df-trl 35985  df-tgrp 36570  df-tendo 36582  df-edring 36584  df-dveca 36830  df-disoa 36857  df-dvech 36907  df-dib 36967  df-dic 37001  df-dih 37057  df-doch 37176  df-djh 37223  df-lcdual 37415  df-mapd 37453
This theorem is referenced by:  mapdheq2  37557  mapdheq4lem  37559  mapdheq4  37560  mapdh6lem1N  37561  mapdh6lem2N  37562  mapdh6aN  37563  mapdh7fN  37579  mapdh75fN  37583  mapdh8aa  37604  mapdh8d0N  37610  mapdh8d  37611  mapdh9a  37618  mapdh9aOLDN  37619
  Copyright terms: Public domain W3C validator