Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdheq Structured version   Unicode version

Theorem mapdheq 35266
Description: Lemmma for ~? mapdh . The defining equation for h(x,x',y)=y' in part (2) in [Baer] p. 45 line 24. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdhc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdhc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdhcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdhe.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdhe.g  |-  ( ph  ->  G  e.  D )
mapdh.ne2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdheq  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G  <-> 
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, D, h    h, F, x    x, J    x, M    x, N    x,  .0.    x, Q    x, R    x, 
.-    h, X, x    h, Y, x    ph, h    .0. , h    C, h    D, h   
h, J    h, M    h, N    R, h    U, h    .- , h    h, G
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    G( x)    H( x, h)    I( x, h)    K( x, h)    V( x, h)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdheq
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
2 mapdh.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3 mapdhcl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
4 mapdhc.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
5 mapdhe.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
61, 2, 3, 4, 5mapdhval2 35264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { Y }
) )  =  ( J `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R h ) } ) ) ) )
76eqeq1d 2424 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G  <-> 
( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( F R h ) } ) ) )  =  G ) )
8 mapdh.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 mapdh.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
10 mapdh.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
11 mapdh.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 mapdh.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
13 mapdhc.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
14 mapdh.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
15 mapdh.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
16 mapdh.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
17 mapdh.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
18 mapdh.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
19 mapdh.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
20 mapdh.ne2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
21 mapdh.mn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
228, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 3, 5, 4, 20, 21mapdpg 35244 . . 3  |-  ( ph  ->  E! h  e.  D  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( F R h ) } ) ) )
23 nfv 1755 . . . 4  |-  F/ h ph
24 nfcvd 2581 . . . 4  |-  ( ph  -> 
F/_ h G )
25 nfvd 1756 . . . 4  |-  ( ph  ->  F/ h ( ( M `  ( N `
 { Y }
) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) )
26 mapdhe.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  D )
27 sneq 4008 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  G  ->  { h }  =  { G } )
2827fveq2d 5886 . . . . . . 7  |-  ( h  =  G  ->  ( J `  { h } )  =  ( J `  { G } ) )
2928eqeq2d 2436 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  (
( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  <->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } ) ) )
30 oveq2 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  G  ->  ( F R h )  =  ( F R G ) )
3130sneqd 4010 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  G  ->  { ( F R h ) }  =  { ( F R G ) } )
3231fveq2d 5886 . . . . . . 7  |-  ( h  =  G  ->  ( J `  { ( F R h ) } )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) )
3332eqeq2d 2436 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  (
( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( F R h ) } )  <->  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { ( F R G ) } ) ) )
3429, 33anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( h  =  G  ->  (
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( F R h ) } ) )  <->  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `
 { G }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { ( F R G ) } ) ) ) )
3534adantl 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  h  =  G )  ->  (
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( F R h ) } ) )  <->  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `
 { G }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { ( F R G ) } ) ) ) )
3623, 24, 25, 26, 35riota2df 6288 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E! h  e.  D  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )  =  ( J `  { ( F R h ) } ) ) )  ->  (
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) )  <->  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { Y }
) )  =  ( J `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R h ) } ) ) )  =  G ) )
3722, 36mpdan 672 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( M `
 ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( F R G ) } ) )  <->  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { Y }
) )  =  ( J `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R h ) } ) ) )  =  G ) )
387, 37bitr4d 259 1  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G  <-> 
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   E!wreu 2773   _Vcvv 3080    \ cdif 3433   ifcif 3911   {csn 3998   <.cotp 4006    |-> cmpt 4482   ` cfv 5601   iota_crio 6267  (class class class)co 6306   1stc1st 6806   2ndc2nd 6807   Basecbs 15121   0gc0g 15338   -gcsg 16671   LSpanclspn 18194   HLchlt 32886   LHypclh 33519   DVecHcdvh 34616  LCDualclcd 35124  mapdcmpd 35162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-riotaBAD 32495
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-ot 4007  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-tpos 6985  df-undef 7032  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-fz 11793  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-0g 15340  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-p1 16286  df-lat 16292  df-clat 16354  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-cntz 16971  df-oppg 16997  df-lsm 17288  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lvec 18326  df-lsatoms 32512  df-lshyp 32513  df-lcv 32555  df-lfl 32594  df-lkr 32622  df-ldual 32660  df-oposet 32712  df-ol 32714  df-oml 32715  df-covers 32802  df-ats 32803  df-atl 32834  df-cvlat 32858  df-hlat 32887  df-llines 33033  df-lplanes 33034  df-lvols 33035  df-lines 33036  df-psubsp 33038  df-pmap 33039  df-padd 33331  df-lhyp 33523  df-laut 33524  df-ldil 33639  df-ltrn 33640  df-trl 33695  df-tgrp 34280  df-tendo 34292  df-edring 34294  df-dveca 34540  df-disoa 34567  df-dvech 34617  df-dib 34677  df-dic 34711  df-dih 34767  df-doch 34886  df-djh 34933  df-lcdual 35125  df-mapd 35163
This theorem is referenced by:  mapdheq2  35267  mapdheq4lem  35269  mapdheq4  35270  mapdh6lem1N  35271  mapdh6lem2N  35272  mapdh6aN  35273  mapdh7fN  35289  mapdh75fN  35293  mapdh8aa  35314  mapdh8d0N  35320  mapdh8d  35321  mapdh9a  35328  mapdh9aOLDN  35329
  Copyright terms: Public domain W3C validator