Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh9aOLDN Structured version   Unicode version

Theorem mapdh9aOLDN 37393
Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8h.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8h.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh9a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh9a.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mapdh9aOLDN  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, J, x    h, M, x   
h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h   
h, X, x    x, I    h, V    y, z, D    y, F, z    y, I, z    y, N, z   
y,  .0. , z    y, T, z    z, U    y, V, z    y, X, z    ph, y, z    z, h, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x, y, z)    Q( y, z, h)    R( y,
z)    U( x, y)    H( x, y, z, h)    J( y, z)    K( x, y, z, h)    M( y,
z)    .- ( y, z)    V( x)    W( x, y, z, h)

Proof of Theorem mapdh9aOLDN
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . . . . . 6  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . . . . . 6  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . . . . . 6  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . . . . . 6  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . . . . . 6  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15143ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 mapdh8h.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
17163ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  F  e.  D )
18 mapdh8h.mn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
19183ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
20 mapdh9a.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21203ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
22 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
231, 2, 14dvhlmod 36712 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
24233ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  U  e.  LMod )
2520eldifad 3473 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
26 mapdh9a.t . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
273, 22, 6, 23, 25, 26lspprcl 17603 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
28273ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X ,  T } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
29 simp2l 1023 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  z  e.  V )
30 simp3l 1025 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
) )
313, 5, 22, 24, 28, 29, 30lssneln0 17577 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
32 simp2r 1024 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  w  e.  V )
33 simp3r 1026 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )
343, 5, 22, 24, 28, 32, 33lssneln0 17577 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
351, 2, 14dvhlvec 36711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
36353ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  U  e.  LVec )
37253ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  X  e.  V )
38263ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  T  e.  V )
393, 6, 36, 29, 37, 38, 30lspindpi 17757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
4039simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
4140necomd 2714 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
423, 6, 36, 32, 37, 38, 33lspindpi 17757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
4342simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } ) )
4443necomd 2714 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) )
4539simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
4642simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 31, 34, 41, 44, 45, 46, 38mapdh8 37391 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )
48473exp 1196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) ) ) )
4948ralrimivv 2863 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) ) )
501, 2, 3, 6, 14, 25, 26dvh3dim 37048 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )
5114ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5216ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  F  e.  D )
5318ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
5420ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
55 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
z  e.  V )
5635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  U  e.  LVec )
5725ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  X  e.  V )
5826ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  T  e.  V )
59 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )
603, 6, 56, 55, 57, 58, 59lspindpi 17757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
6160simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
6261necomd 2714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
6310, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 52, 53, 54, 55, 62mapdhcl 37329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  z
>. )  e.  D
)
64 eqidd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  z
>. )  =  (
I `  <. X ,  F ,  z >. ) )
6523ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  U  e.  LMod )
6627ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  { X ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
673, 5, 22, 65, 66, 55, 59lssneln0 17577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6810, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 52, 53, 54, 67, 63, 62mapdheq 37330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( I `  <. X ,  F , 
z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  z >. )  <-> 
( ( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  z ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( I `
 <. X ,  F ,  z >. )
) } ) ) ) )
6964, 68mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  z ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( I `
 <. X ,  F ,  z >. )
) } ) ) )
7069simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } ) )
7160simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
7210, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 63, 70, 67, 58, 71mapdhcl 37329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D )
7372ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D ) )
7473ancld 553 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D ) ) )
7574reximdva 2918 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  e.  D ) ) )
7650, 75mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D ) )
77 eleq1 2515 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  T } )  <->  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )
7877notbid 294 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  <->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) ) )
79 oteq1 4211 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
80 oteq3 4213 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  <. X ,  F ,  z >.  = 
<. X ,  F ,  w >. )
8180fveq2d 5860 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) )
8281oteq2d 4215 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  <. w ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8379, 82eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8483fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )
8578, 84reusv3 4645 . . . 4  |-  ( E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D )  ->  ( A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. ) ) ) )
8676, 85syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `
 { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
)  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
8749, 86mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
88 reusv1 4637 . . 3  |-  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
8950, 88syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. ) ) ) )
9087, 89mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   E!wreu 2795   _Vcvv 3095    \ cdif 3458   ifcif 3926   {csn 4014   {cpr 4016   <.cotp 4022    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578   iota_crio 6241  (class class class)co 6281   1stc1st 6783   2ndc2nd 6784   Basecbs 14614   0gc0g 14819   -gcsg 16034   LModclmod 17491   LSubSpclss 17557   LSpanclspn 17596   LVecclvec 17727   HLchlt 34950   LHypclh 35583   DVecHcdvh 36680  LCDualclcd 37188  mapdcmpd 37226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-riotaBAD 34559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-0g 14821  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-preset 15536  df-poset 15554  df-plt 15567  df-lub 15583  df-glb 15584  df-join 15585  df-meet 15586  df-p0 15648  df-p1 15649  df-lat 15655  df-clat 15717  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-subg 16177  df-cntz 16334  df-oppg 16360  df-lsm 16635  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-unit 17270  df-invr 17300  df-dvr 17311  df-drng 17377  df-lmod 17493  df-lss 17558  df-lsp 17597  df-lvec 17728  df-lsatoms 34576  df-lshyp 34577  df-lcv 34619  df-lfl 34658  df-lkr 34686  df-ldual 34724  df-oposet 34776  df-ol 34778  df-oml 34779  df-covers 34866  df-ats 34867  df-atl 34898  df-cvlat 34922  df-hlat 34951  df-llines 35097  df-lplanes 35098  df-lvols 35099  df-lines 35100  df-psubsp 35102  df-pmap 35103  df-padd 35395  df-lhyp 35587  df-laut 35588  df-ldil 35703  df-ltrn 35704  df-trl 35759  df-tgrp 36344  df-tendo 36356  df-edring 36358  df-dveca 36604  df-disoa 36631  df-dvech 36681  df-dib 36741  df-dic 36775  df-dih 36831  df-doch 36950  df-djh 36997  df-lcdual 37189  df-mapd 37227
This theorem is referenced by:  hdmap1eulemOLDN  37427
  Copyright terms: Public domain W3C validator