Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh9aOLDN Structured version   Unicode version

Theorem mapdh9aOLDN 36944
Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8h.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8h.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh9a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh9a.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mapdh9aOLDN  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, J, x    h, M, x   
h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h   
h, X, x    x, I    h, V    y, z, D    y, F, z    y, I, z    y, N, z   
y,  .0. , z    y, T, z    z, U    y, V, z    y, X, z    ph, y, z    z, h, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x, y, z)    Q( y, z, h)    R( y,
z)    U( x, y)    H( x, y, z, h)    J( y, z)    K( x, y, z, h)    M( y,
z)    .- ( y, z)    V( x)    W( x, y, z, h)

Proof of Theorem mapdh9aOLDN
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . . . . . 6  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . . . . . 6  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . . . . . 6  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . . . . . 6  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . . . . . 6  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15143ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 mapdh8h.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
17163ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  F  e.  D )
18 mapdh8h.mn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
19183ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
20 mapdh9a.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21203ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
22 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
231, 2, 14dvhlmod 36263 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
24233ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  U  e.  LMod )
25 eldifi 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
2620, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
27 mapdh9a.t . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
283, 22, 6, 23, 26, 27lspprcl 17495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
29283ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X ,  T } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
30 simp2l 1022 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  z  e.  V )
31 simp3l 1024 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
) )
323, 5, 22, 24, 29, 30, 31lssneln0 17469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
33 simp2r 1023 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  w  e.  V )
34 simp3r 1025 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )
353, 5, 22, 24, 29, 33, 34lssneln0 17469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
361, 2, 14dvhlvec 36262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
37363ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  U  e.  LVec )
38263ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  X  e.  V )
39273ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  T  e.  V )
403, 6, 37, 30, 38, 39, 31lspindpi 17649 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
4140simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
4241necomd 2738 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
433, 6, 37, 33, 38, 39, 34lspindpi 17649 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
4443simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } ) )
4544necomd 2738 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) )
4640simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
4743simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 32, 35, 42, 45, 46, 47, 39mapdh8 36942 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )
49483exp 1195 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) ) ) )
5049ralrimivv 2887 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) ) )
511, 2, 3, 6, 14, 26, 27dvh3dim 36599 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )
5214ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5316ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  F  e.  D )
5418ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
5520ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
56 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
z  e.  V )
5736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  U  e.  LVec )
5826ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  X  e.  V )
5927ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  T  e.  V )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )
613, 6, 57, 56, 58, 59, 60lspindpi 17649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
6261simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
6362necomd 2738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
6410, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 52, 53, 54, 55, 56, 63mapdhcl 36880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  z
>. )  e.  D
)
65 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  z
>. )  =  (
I `  <. X ,  F ,  z >. ) )
6623ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  U  e.  LMod )
6728ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  { X ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
683, 5, 22, 66, 67, 56, 60lssneln0 17469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6910, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 52, 53, 54, 55, 68, 64, 63mapdheq 36881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( I `  <. X ,  F , 
z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  z >. )  <-> 
( ( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  z ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( I `
 <. X ,  F ,  z >. )
) } ) ) ) )
7065, 69mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  z ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( I `
 <. X ,  F ,  z >. )
) } ) ) )
7170simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } ) )
7261simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
7310, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 52, 64, 71, 68, 59, 72mapdhcl 36880 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D )
7473ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D ) )
7574ancld 553 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D ) ) )
7675reximdva 2942 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  e.  D ) ) )
7751, 76mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D ) )
78 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  T } )  <->  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )
7978notbid 294 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  <->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) ) )
80 oteq1 4228 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
81 oteq3 4230 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  <. X ,  F ,  z >.  = 
<. X ,  F ,  w >. )
8281fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) )
83 oteq2 4229 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  ->  <. w ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8482, 83syl 16 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  <. w ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8580, 84eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8685fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )
8779, 86reusv3 4661 . . . 4  |-  ( E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D )  ->  ( A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. ) ) ) )
8877, 87syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `
 { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
)  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
8950, 88mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
90 reusv1 4653 . . 3  |-  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
9151, 90syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. ) ) ) )
9289, 91mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   E!wreu 2819   _Vcvv 3118    \ cdif 3478   ifcif 3945   {csn 4033   {cpr 4035   <.cotp 4041    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594   iota_crio 6255  (class class class)co 6295   1stc1st 6793   2ndc2nd 6794   Basecbs 14507   0gc0g 14712   -gcsg 15927   LModclmod 17383   LSubSpclss 17449   LSpanclspn 17488   LVecclvec 17619   HLchlt 34503   LHypclh 35136   DVecHcdvh 36231  LCDualclcd 36739  mapdcmpd 36777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-riotaBAD 34112
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-undef 7014  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-0g 14714  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-oppg 16253  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lvec 17620  df-lsatoms 34129  df-lshyp 34130  df-lcv 34172  df-lfl 34211  df-lkr 34239  df-ldual 34277  df-oposet 34329  df-ol 34331  df-oml 34332  df-covers 34419  df-ats 34420  df-atl 34451  df-cvlat 34475  df-hlat 34504  df-llines 34650  df-lplanes 34651  df-lvols 34652  df-lines 34653  df-psubsp 34655  df-pmap 34656  df-padd 34948  df-lhyp 35140  df-laut 35141  df-ldil 35256  df-ltrn 35257  df-trl 35311  df-tgrp 35895  df-tendo 35907  df-edring 35909  df-dveca 36155  df-disoa 36182  df-dvech 36232  df-dib 36292  df-dic 36326  df-dih 36382  df-doch 36501  df-djh 36548  df-lcdual 36740  df-mapd 36778
This theorem is referenced by:  hdmap1eulemOLDN  36978
  Copyright terms: Public domain W3C validator