Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh9aOLDN Structured version   Unicode version

Theorem mapdh9aOLDN 34791
Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8h.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8h.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh9a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh9a.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mapdh9aOLDN  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, J, x    h, M, x   
h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h   
h, X, x    x, I    h, V    y, z, D    y, F, z    y, I, z    y, N, z   
y,  .0. , z    y, T, z    z, U    y, V, z    y, X, z    ph, y, z    z, h, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x, y, z)    Q( y, z, h)    R( y,
z)    U( x, y)    H( x, y, z, h)    J( y, z)    K( x, y, z, h)    M( y,
z)    .- ( y, z)    V( x)    W( x, y, z, h)

Proof of Theorem mapdh9aOLDN
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . . . . . 6  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . . . . . 6  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . . . . . 6  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . . . . . 6  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . . . . . 6  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15143ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 mapdh8h.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
17163ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  F  e.  D )
18 mapdh8h.mn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
19183ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
20 mapdh9a.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21203ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
22 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
231, 2, 14dvhlmod 34110 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
24233ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  U  e.  LMod )
2520eldifad 3425 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
26 mapdh9a.t . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
273, 22, 6, 23, 25, 26lspprcl 17942 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
28273ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X ,  T } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
29 simp2l 1023 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  z  e.  V )
30 simp3l 1025 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
) )
313, 5, 22, 24, 28, 29, 30lssneln0 17916 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
32 simp2r 1024 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  w  e.  V )
33 simp3r 1026 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )
343, 5, 22, 24, 28, 32, 33lssneln0 17916 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
351, 2, 14dvhlvec 34109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
36353ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  U  e.  LVec )
37253ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  X  e.  V )
38263ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  T  e.  V )
393, 6, 36, 29, 37, 38, 30lspindpi 18096 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
4039simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
4140necomd 2674 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
423, 6, 36, 32, 37, 38, 33lspindpi 18096 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
4342simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } ) )
4443necomd 2674 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) )
4539simprd 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
4642simprd 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 31, 34, 41, 44, 45, 46, 38mapdh8 34789 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )
48473exp 1196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) ) ) )
4948ralrimivv 2823 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) ) )
501, 2, 3, 6, 14, 25, 26dvh3dim 34446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )
5114ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5216ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  F  e.  D )
5318ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
5420ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
55 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
z  e.  V )
5635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  U  e.  LVec )
5725ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  X  e.  V )
5826ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  T  e.  V )
59 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )
603, 6, 56, 55, 57, 58, 59lspindpi 18096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
6160simpld 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
6261necomd 2674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
6310, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 52, 53, 54, 55, 62mapdhcl 34727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  z
>. )  e.  D
)
64 eqidd 2403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  z
>. )  =  (
I `  <. X ,  F ,  z >. ) )
6523ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  U  e.  LMod )
6627ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  { X ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
673, 5, 22, 65, 66, 55, 59lssneln0 17916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6810, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 52, 53, 54, 67, 63, 62mapdheq 34728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( I `  <. X ,  F , 
z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  z >. )  <-> 
( ( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  z ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( I `
 <. X ,  F ,  z >. )
) } ) ) ) )
6964, 68mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  z ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( I `
 <. X ,  F ,  z >. )
) } ) ) )
7069simpld 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } ) )
7160simprd 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
7210, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 51, 63, 70, 67, 58, 71mapdhcl 34727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D )
7372ex 432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D ) )
7473ancld 551 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D ) ) )
7574reximdva 2878 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  e.  D ) ) )
7650, 75mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D ) )
77 eleq1 2474 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  T } )  <->  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )
7877notbid 292 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  <->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) ) )
79 oteq1 4167 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
80 oteq3 4169 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  <. X ,  F ,  z >.  = 
<. X ,  F ,  w >. )
8180fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) )
8281oteq2d 4171 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  <. w ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8379, 82eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8483fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )
8578, 84reusv3 4601 . . . 4  |-  ( E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D )  ->  ( A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. ) ) ) )
8676, 85syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `
 { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
)  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
8749, 86mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
88 reusv1 4593 . . 3  |-  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
8950, 88syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. ) ) ) )
9087, 89mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   E!wreu 2755   _Vcvv 3058    \ cdif 3410   ifcif 3884   {csn 3971   {cpr 3973   <.cotp 3979    |-> cmpt 4452   ` cfv 5568   iota_crio 6238  (class class class)co 6277   1stc1st 6781   2ndc2nd 6782   Basecbs 14839   0gc0g 15052   -gcsg 16377   LModclmod 17830   LSubSpclss 17896   LSpanclspn 17935   LVecclvec 18066   HLchlt 32348   LHypclh 32981   DVecHcdvh 34078  LCDualclcd 34586  mapdcmpd 34624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-riotaBAD 31957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-0g 15054  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-cntz 16677  df-oppg 16703  df-lsm 16978  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-drng 17716  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-lvec 18067  df-lsatoms 31974  df-lshyp 31975  df-lcv 32017  df-lfl 32056  df-lkr 32084  df-ldual 32122  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496  df-lvols 32497  df-lines 32498  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985  df-laut 32986  df-ldil 33101  df-ltrn 33102  df-trl 33157  df-tgrp 33742  df-tendo 33754  df-edring 33756  df-dveca 34002  df-disoa 34029  df-dvech 34079  df-dib 34139  df-dic 34173  df-dih 34229  df-doch 34348  df-djh 34395  df-lcdual 34587  df-mapd 34625
This theorem is referenced by:  hdmap1eulemOLDN  34825
  Copyright terms: Public domain W3C validator