Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh9aOLDN Structured version   Unicode version

Theorem mapdh9aOLDN 35755
Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8h.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8h.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh9a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh9a.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mapdh9aOLDN  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, J, x    h, M, x   
h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h   
h, X, x    x, I    h, V    y, z, D    y, F, z    y, I, z    y, N, z   
y,  .0. , z    y, T, z    z, U    y, V, z    y, X, z    ph, y, z    z, h, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x, y, z)    Q( y, z, h)    R( y,
z)    U( x, y)    H( x, y, z, h)    J( y, z)    K( x, y, z, h)    M( y,
z)    .- ( y, z)    V( x)    W( x, y, z, h)

Proof of Theorem mapdh9aOLDN
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . . . . . 6  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . . . . . 6  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . . . . . 6  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . . . . . 6  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . . . . . 6  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15143ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 mapdh8h.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
17163ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  F  e.  D )
18 mapdh8h.mn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
19183ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
20 mapdh9a.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21203ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
22 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
231, 2, 14dvhlmod 35074 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
24233ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  U  e.  LMod )
25 eldifi 3581 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
2620, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
27 mapdh9a.t . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
283, 22, 6, 23, 26, 27lspprcl 17177 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
29283ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X ,  T } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
30 simp2l 1014 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  z  e.  V )
31 simp3l 1016 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
) )
323, 5, 22, 24, 29, 30, 31lssneln0 17151 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
33 simp2r 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  w  e.  V )
34 simp3r 1017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )
353, 5, 22, 24, 29, 33, 34lssneln0 17151 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
361, 2, 14dvhlvec 35073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
37363ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  U  e.  LVec )
38263ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  X  e.  V )
39273ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  T  e.  V )
403, 6, 37, 30, 38, 39, 31lspindpi 17331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
4140simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
4241necomd 2720 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
433, 6, 37, 33, 38, 39, 34lspindpi 17331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
4443simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } ) )
4544necomd 2720 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) )
4640simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
4743simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 32, 35, 42, 45, 46, 47, 39mapdh8 35753 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )
49483exp 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) ) ) )
5049ralrimivv 2907 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) ) )
511, 2, 3, 6, 14, 26, 27dvh3dim 35410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )
5214ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5316ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  F  e.  D )
5418ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
5520ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
56 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
z  e.  V )
5736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  U  e.  LVec )
5826ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  X  e.  V )
5927ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  T  e.  V )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )
613, 6, 57, 56, 58, 59, 60lspindpi 17331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
6261simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
6362necomd 2720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
6410, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 52, 53, 54, 55, 56, 63mapdhcl 35691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  z
>. )  e.  D
)
65 eqidd 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  z
>. )  =  (
I `  <. X ,  F ,  z >. ) )
6623ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  U  e.  LMod )
6728ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  { X ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
683, 5, 22, 66, 67, 56, 60lssneln0 17151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6910, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 52, 53, 54, 55, 68, 64, 63mapdheq 35692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( I `  <. X ,  F , 
z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  z >. )  <-> 
( ( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  z ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( I `
 <. X ,  F ,  z >. )
) } ) ) ) )
7065, 69mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  z ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( I `
 <. X ,  F ,  z >. )
) } ) ) )
7170simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } ) )
7261simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
7310, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 52, 64, 71, 68, 59, 72mapdhcl 35691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D )
7473ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D ) )
7574ancld 553 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D ) ) )
7675reximdva 2928 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  e.  D ) ) )
7751, 76mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D ) )
78 eleq1 2524 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  T } )  <->  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )
7978notbid 294 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  <->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) ) )
80 oteq1 4171 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
81 oteq3 4173 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  <. X ,  F ,  z >.  = 
<. X ,  F ,  w >. )
8281fveq2d 5798 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) )
83 oteq2 4172 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  ->  <. w ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8482, 83syl 16 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  <. w ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8580, 84eqtrd 2493 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8685fveq2d 5798 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )
8779, 86reusv3 4603 . . . 4  |-  ( E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D )  ->  ( A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. ) ) ) )
8877, 87syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `
 { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
)  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
8950, 88mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
90 reusv1 4595 . . 3  |-  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
9151, 90syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. ) ) ) )
9289, 91mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   E!wreu 2798   _Vcvv 3072    \ cdif 3428   ifcif 3894   {csn 3980   {cpr 3982   <.cotp 3988    |-> cmpt 4453   ` cfv 5521   iota_crio 6155  (class class class)co 6195   1stc1st 6680   2ndc2nd 6681   Basecbs 14287   0gc0g 14492   -gcsg 15527   LModclmod 17066   LSubSpclss 17131   LSpanclspn 17170   LVecclvec 17301   HLchlt 33314   LHypclh 33947   DVecHcdvh 35042  LCDualclcd 35550  mapdcmpd 35588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-riotaBAD 32923
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-tpos 6850  df-undef 6897  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-0g 14494  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-poset 15230  df-plt 15242  df-lub 15258  df-glb 15259  df-join 15260  df-meet 15261  df-p0 15323  df-p1 15324  df-lat 15330  df-clat 15392  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-subg 15792  df-cntz 15949  df-oppg 15975  df-lsm 16251  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-dvr 16893  df-drng 16952  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lsp 17171  df-lvec 17302  df-lsatoms 32940  df-lshyp 32941  df-lcv 32983  df-lfl 33022  df-lkr 33050  df-ldual 33088  df-oposet 33140  df-ol 33142  df-oml 33143  df-covers 33230  df-ats 33231  df-atl 33262  df-cvlat 33286  df-hlat 33315  df-llines 33461  df-lplanes 33462  df-lvols 33463  df-lines 33464  df-psubsp 33466  df-pmap 33467  df-padd 33759  df-lhyp 33951  df-laut 33952  df-ldil 34067  df-ltrn 34068  df-trl 34122  df-tgrp 34706  df-tendo 34718  df-edring 34720  df-dveca 34966  df-disoa 34993  df-dvech 35043  df-dib 35103  df-dic 35137  df-dih 35193  df-doch 35312  df-djh 35359  df-lcdual 35551  df-mapd 35589
This theorem is referenced by:  hdmap1eulemOLDN  35789
  Copyright terms: Public domain W3C validator