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Theorem mapdh9a 37930
Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. TODO: why is this 50% larger than mapdh9aOLDN 37931? (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8h.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8h.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh9a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh9a.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mapdh9a  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, J, x    h, M, x   
h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h   
h, X, x    x, I    h, V    y, z, D    y, F, z    y, I, z    y, N, z   
y,  .0. , z    y, T, z    z, U    y, V, z    y, X, z    ph, y, z    z, h, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x, y, z)    Q( y, z, h)    R( y,
z)    U( x, y)    H( x, y, z, h)    J( y, z)    K( x, y, z, h)    M( y,
z)    .- ( y, z)    V( x)    W( x, y, z, h)

Proof of Theorem mapdh9a
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15143ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 mapdh8h.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
17163ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  F  e.  D )
18 mapdh8h.mn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
19183ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `
 { F }
) )
20 mapdh9a.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21203ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
22 simp3ll 1065 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
23 simp3rl 1067 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
24 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
25243ad2ant3 1017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
2625necomd 2653 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
27 simprrl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } ) )
28273ad2ant3 1017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } ) )
2928necomd 2653 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) )
30 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
31303ad2ant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
32 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
33323ad2ant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
34 mapdh9a.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
35343ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  T  e.  V )
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 31, 33, 35mapdh8 37929 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )
37363exp 1193 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  ->  (
( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) ) ) )
3837ralrimivv 2802 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) ) )
3920eldifad 3401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
401, 2, 3, 6, 14, 39, 34dvh3dim 37586 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )
41 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
421, 2, 14dvhlmod 37250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
4342ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  U  e.  LMod )
443, 41, 6, 42, 39, 34lspprcl 17737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
4544ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  { X ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
46 simplr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
z  e.  V )
47 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )
483, 5, 41, 43, 45, 46, 47lssneln0 17711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
491, 2, 14dvhlvec 37249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
5049ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  U  e.  LVec )
5139ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  X  e.  V )
5234ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  T  e.  V )
533, 6, 50, 46, 51, 52, 47lspindpi 17891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
5448, 53jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )
5554ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )
5655reximdva 2857 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  E. z  e.  V  ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )
5740, 56mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )
5814ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5916ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  F  e.  D )
6018ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
6120ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
62 simplr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  z  e.  V )
63 simprrl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
6463necomd 2653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
6510, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 59, 60, 61, 62, 64mapdhcl 37867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( I `  <. X ,  F ,  z >. )  e.  D )
66 eqidd 2383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) )
67 simprl 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
6810, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 59, 60, 61, 67, 65, 64mapdheq 37868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( (
I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( I `  <. X ,  F , 
z >. )  <->  ( ( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `
 { ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  z ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ) } ) ) ) )
6966, 68mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( ( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `
 { ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  z ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ) } ) ) )
7069simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( M `  ( N `  {
z } ) )  =  ( J `  { ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) } ) )
7134ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  T  e.  V )
72 simprrr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
7310, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 65, 70, 67, 71, 72mapdhcl 37867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D )
7473ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D
) )
7574ancld 551 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D
) ) )
7675reximdva 2857 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  V  ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  E. z  e.  V  ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D
) ) )
7757, 76mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D
) )
78 eleq1 2454 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  <->  w  e.  ( V  \  {  .0.  }
) ) )
79 sneq 3954 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  { z }  =  { w } )
8079fveq2d 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  ( N `  { z } )  =  ( N `  { w } ) )
8180neeq1d 2659 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  <->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } ) ) )
8280neeq1d 2659 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { T } )  <->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
8381, 82anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )  <->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )
8478, 83anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  <-> 
( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )
85 oteq1 4140 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
86 oteq3 4142 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  <. X ,  F ,  z >.  = 
<. X ,  F ,  w >. )
8786fveq2d 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) )
8887oteq2d 4144 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  <. w ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8985, 88eqtrd 2423 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
9089fveq2d 5778 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )
9184, 90reusv3 4573 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  V  ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D
)  ->  ( A. z  e.  V  A. w  e.  V  (
( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) ) ) )
9277, 91syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) ) ) )
9338, 92mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) ) )
94 ioran 488 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( z  e.  ( N `  { X } )  \/  z  e.  ( N `  { T } ) )  <->  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) ) )
95 elun 3559 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( N `
 { X }
)  u.  ( N `
 { T }
) )  <->  ( z  e.  ( N `  { X } )  \/  z  e.  ( N `  { T } ) ) )
9694, 95xchnxbir 307 . . . . . . 7  |-  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  <->  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) ) )
9742ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) ) )  ->  U  e.  LMod )
983, 41, 6lspsncl 17736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
9942, 39, 98syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
10099ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
101 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) ) )  ->  z  e.  V )
102 simprl 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
1033, 5, 41, 97, 100, 101, 102lssneln0 17711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
104103ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )
10542ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  U  e.  LMod )
106 simplr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  z  e.  V )
10739ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  X  e.  V )
108 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
1093, 6, 105, 106, 107, 108lspsnne2 17877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
110109ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) ) )
11142ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  U  e.  LMod )
112 simplr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  z  e.  V )
11334ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  T  e.  V )
114 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )
1153, 6, 111, 112, 113, 114lspsnne2 17877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
116115ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { T } )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
117110, 116anim12d 561 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )
118104, 117jcad 531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )
11996, 118syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )
120119imim1d 75 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )  ->  ( -.  z  e.  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
121120ralimdva 2790 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  V  ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )  ->  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
122121reximdv 2856 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )  ->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
12393, 122mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
1243, 6, 42, 39, 34lspprid1 17756 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X ,  T } ) )
12541, 6, 42, 44, 124lspsnel5a 17755 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  T } ) )
1263, 6, 42, 39, 34lspprid2 17757 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( N `
 { X ,  T } ) )
12741, 6, 42, 44, 126lspsnel5a 17755 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  T } ) )
128125, 127unssd 3594 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  C_  ( N `  { X ,  T } ) )
129128ssneld 3419 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) ) )
130129reximdv 2856 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) ) )
13140, 130mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
132 reusv1 4565 . . 3  |-  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
133131, 132syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
134123, 133mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   E!wreu 2734   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    u. cun 3387   ifcif 3857   {csn 3944   {cpr 3946   <.cotp 3952    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496   iota_crio 6157  (class class class)co 6196   1stc1st 6697   2ndc2nd 6698   Basecbs 14634   0gc0g 14847   -gcsg 16172   LModclmod 17625   LSubSpclss 17691   LSpanclspn 17730   LVecclvec 17861   HLchlt 35488   LHypclh 36121   DVecHcdvh 37218  LCDualclcd 37726  mapdcmpd 37764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-riotaBAD 35097
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-undef 6920  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-0g 14849  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-preset 15674  df-poset 15692  df-plt 15705  df-lub 15721  df-glb 15722  df-join 15723  df-meet 15724  df-p0 15786  df-p1 15787  df-lat 15793  df-clat 15855  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-subg 16315  df-cntz 16472  df-oppg 16498  df-lsm 16773  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-dvr 17445  df-drng 17511  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-lsp 17731  df-lvec 17862  df-lsatoms 35114  df-lshyp 35115  df-lcv 35157  df-lfl 35196  df-lkr 35224  df-ldual 35262  df-oposet 35314  df-ol 35316  df-oml 35317  df-covers 35404  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489  df-llines 35635  df-lplanes 35636  df-lvols 35637  df-lines 35638  df-psubsp 35640  df-pmap 35641  df-padd 35933  df-lhyp 36125  df-laut 36126  df-ldil 36241  df-ltrn 36242  df-trl 36297  df-tgrp 36882  df-tendo 36894  df-edring 36896  df-dveca 37142  df-disoa 37169  df-dvech 37219  df-dib 37279  df-dic 37313  df-dih 37369  df-doch 37488  df-djh 37535  df-lcdual 37727  df-mapd 37765
This theorem is referenced by:  hdmap1eulem  37964
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