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Theorem mapdh9a 35008
Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. TODO: why is this 50% larger than mapdh9aOLDN 35009? (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8h.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8h.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh9a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh9a.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mapdh9a  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, J, x    h, M, x   
h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h   
h, X, x    x, I    h, V    y, z, D    y, F, z    y, I, z    y, N, z   
y,  .0. , z    y, T, z    z, U    y, V, z    y, X, z    ph, y, z    z, h, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x, y, z)    Q( y, z, h)    R( y,
z)    U( x, y)    H( x, y, z, h)    J( y, z)    K( x, y, z, h)    M( y,
z)    .- ( y, z)    V( x)    W( x, y, z, h)

Proof of Theorem mapdh9a
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15143ad2ant1 1002 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 mapdh8h.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
17163ad2ant1 1002 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  F  e.  D )
18 mapdh8h.mn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
19183ad2ant1 1002 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `
 { F }
) )
20 mapdh9a.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21203ad2ant1 1002 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
22 simp3ll 1052 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
23 simp3rl 1054 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
24 simplrl 752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
25243ad2ant3 1004 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
2625necomd 2685 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
27 simprrl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } ) )
28273ad2ant3 1004 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } ) )
2928necomd 2685 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) )
30 simplrr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
31303ad2ant3 1004 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
32 simprrr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
33323ad2ant3 1004 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
34 mapdh9a.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
35343ad2ant1 1002 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  T  e.  V )
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 31, 33, 35mapdh8 35007 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )
37363exp 1179 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  ->  (
( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) ) ) )
3837ralrimivv 2797 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) ) )
3920eldifad 3328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
401, 2, 3, 6, 14, 39, 34dvh3dim 34664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )
41 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
421, 2, 14dvhlmod 34328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
4342ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  U  e.  LMod )
443, 41, 6, 42, 39, 34lspprcl 16981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
4544ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  { X ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
46 simplr 747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
z  e.  V )
47 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )
483, 5, 41, 43, 45, 46, 47lssneln0 16955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
491, 2, 14dvhlvec 34327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
5049ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  U  e.  LVec )
5139ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  X  e.  V )
5234ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  T  e.  V )
533, 6, 50, 46, 51, 52, 47lspindpi 17135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
5448, 53jca 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )
5554ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )
5655reximdva 2818 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  E. z  e.  V  ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )
5740, 56mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )
5814ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5916ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  F  e.  D )
6018ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
6120ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
62 simplr 747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  z  e.  V )
63 simprrl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
6463necomd 2685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
6510, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 59, 60, 61, 62, 64mapdhcl 34945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( I `  <. X ,  F ,  z >. )  e.  D )
66 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) )
67 simprl 748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
6810, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 59, 60, 61, 67, 65, 64mapdheq 34946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( (
I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( I `  <. X ,  F , 
z >. )  <->  ( ( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `
 { ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  z ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ) } ) ) ) )
6966, 68mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( ( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `
 { ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  z ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ) } ) ) )
7069simpld 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( M `  ( N `  {
z } ) )  =  ( J `  { ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) } ) )
7134ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  T  e.  V )
72 simprrr 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
7310, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 65, 70, 67, 71, 72mapdhcl 34945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D )
7473ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D
) )
7574ancld 548 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D
) ) )
7675reximdva 2818 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  V  ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  E. z  e.  V  ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D
) ) )
7757, 76mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D
) )
78 eleq1 2493 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  <->  w  e.  ( V  \  {  .0.  }
) ) )
79 sneq 3875 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  { z }  =  { w } )
8079fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  ( N `  { z } )  =  ( N `  { w } ) )
8180neeq1d 2611 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  <->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } ) ) )
8280neeq1d 2611 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { T } )  <->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
8381, 82anbi12d 703 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )  <->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )
8478, 83anbi12d 703 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  <-> 
( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )
85 oteq1 4056 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
86 oteq3 4058 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  <. X ,  F ,  z >.  = 
<. X ,  F ,  w >. )
8786fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) )
8887oteq2d 4060 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  <. w ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8985, 88eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
9089fveq2d 5683 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )
9184, 90reusv3 4488 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  V  ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D
)  ->  ( A. z  e.  V  A. w  e.  V  (
( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) ) ) )
9277, 91syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  /\  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( (
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
)  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) ) ) )
9338, 92mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) ) )
94 ioran 487 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( z  e.  ( N `  { X } )  \/  z  e.  ( N `  { T } ) )  <->  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) ) )
95 elun 3485 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( N `
 { X }
)  u.  ( N `
 { T }
) )  <->  ( z  e.  ( N `  { X } )  \/  z  e.  ( N `  { T } ) ) )
9694, 95xchnxbir 309 . . . . . . 7  |-  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  <->  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) ) )
9742ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) ) )  ->  U  e.  LMod )
983, 41, 6lspsncl 16980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
9942, 39, 98syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
10099ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
101 simplr 747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) ) )  ->  z  e.  V )
102 simprl 748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
1033, 5, 41, 97, 100, 101, 102lssneln0 16955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
104103ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) ) )
10542ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  U  e.  LMod )
106 simplr 747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  z  e.  V )
10739ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  X  e.  V )
108 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
1093, 6, 105, 106, 107, 108lspsnne2 17121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
110109ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X } )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) ) )
11142ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  U  e.  LMod )
112 simplr 747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  z  e.  V )
11334ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  T  e.  V )
114 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )
1153, 6, 111, 112, 113, 114lspsnne2 17121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
116115ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { T } )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
117110, 116anim12d 558 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) )
118104, 117jcad 530 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X } )  /\  -.  z  e.  ( N `  { T } ) )  ->  ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )
11996, 118syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) ) ) )
120119imim1d 75 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  (
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )  ->  ( -.  z  e.  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
121120ralimdva 2784 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  V  ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )  ->  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
122121reximdv 2817 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( ( z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  /\  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )  ->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
12393, 122mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
1243, 6, 42, 39, 34lspprid1 17000 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X ,  T } ) )
12541, 6, 42, 44, 124lspsnel5a 16999 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { X ,  T } ) )
1263, 6, 42, 39, 34lspprid2 17001 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( N `
 { X ,  T } ) )
12741, 6, 42, 44, 126lspsnel5a 16999 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  T } ) )
128125, 127unssd 3520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  C_  ( N `  { X ,  T } ) )
129128ssneld 3346 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) ) )
130129reximdv 2817 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) ) )
13140, 130mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
132 reusv1 4480 . . 3  |-  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
133131, 132syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
134123, 133mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    u. cun 3314   ifcif 3779   {csn 3865   {cpr 3867   <.cotp 3873    e. cmpt 4338   ` cfv 5406   iota_crio 6038  (class class class)co 6080   1stc1st 6564   2ndc2nd 6565   Basecbs 14157   0gc0g 14361   -gcsg 15396   LModclmod 16872   LSubSpclss 16935   LSpanclspn 16974   LVecclvec 17105   HLchlt 32568   LHypclh 33201   DVecHcdvh 34296  LCDualclcd 34804  mapdcmpd 34842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-riotaBAD 32177
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-ot 3874  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-tpos 6734  df-undef 6778  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-0g 14363  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-poset 15099  df-plt 15111  df-lub 15127  df-glb 15128  df-join 15129  df-meet 15130  df-p0 15192  df-p1 15193  df-lat 15199  df-clat 15261  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-subg 15658  df-cntz 15815  df-oppg 15841  df-lsm 16115  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582  df-oppr 16649  df-dvdsr 16667  df-unit 16668  df-invr 16698  df-dvr 16709  df-drng 16758  df-lmod 16874  df-lss 16936  df-lsp 16975  df-lvec 17106  df-lsatoms 32194  df-lshyp 32195  df-lcv 32237  df-lfl 32276  df-lkr 32304  df-ldual 32342  df-oposet 32394  df-ol 32396  df-oml 32397  df-covers 32484  df-ats 32485  df-atl 32516  df-cvlat 32540  df-hlat 32569  df-llines 32715  df-lplanes 32716  df-lvols 32717  df-lines 32718  df-psubsp 32720  df-pmap 32721  df-padd 33013  df-lhyp 33205  df-laut 33206  df-ldil 33321  df-ltrn 33322  df-trl 33376  df-tgrp 33960  df-tendo 33972  df-edring 33974  df-dveca 34220  df-disoa 34247  df-dvech 34297  df-dib 34357  df-dic 34391  df-dih 34447  df-doch 34566  df-djh 34613  df-lcdual 34805  df-mapd 34843
This theorem is referenced by:  hdmap1eulem  35042
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