Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8e Structured version   Unicode version

Theorem mapdh8e 37654
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. Eliminate  w. (Contributed by NM, 10-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8e.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8e.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8e.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh8e.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8e.xy  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdh8e.xt  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8e.yt  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8e.e  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y ,  T } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8e  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, G, x    h, J, x   
h, M, x    h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h    h, X, x    h, Y, x   
x, I    h, V
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    H( x, h)    K( x, h)    V( x)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh8e
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
5 mapdh8a.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 mapdh8e.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3483 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8 mapdh8e.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3483 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9dvh3dim 37316 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  V  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
11 mapdh8a.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
12 mapdh8a.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
13 mapdh8a.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
14 mapdh8a.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
15 mapdh8a.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
16 mapdh8a.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
17 mapdh8a.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
18 mapdh8a.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
19 mapdh8a.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
2053ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
21 mapdh8e.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
22213ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  F  e.  D )
23 mapdh8e.mn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
24233ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `
 { F }
) )
25 mapdh8e.eg . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
26253ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
2763ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
2883ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
29 mapdh8e.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
30293ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  T  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
31 mapdh8e.yt . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
32313ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
33 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
341, 2, 5dvhlmod 36980 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
35343ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  U  e.  LMod )
363, 33, 4, 34, 7, 9lspprcl 17751 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
37363ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
38 simp2 997 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  w  e.  V )
39 simp3 998 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
403, 12, 33, 35, 37, 38, 39lssneln0 17725 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
411, 2, 5dvhlvec 36979 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4229eldifad 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
43 mapdh8e.xy . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
44 mapdh8e.e . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y ,  T } ) )
45 prcom 4110 . . . . . . . . . . 11  |-  { Y ,  T }  =  { T ,  Y }
4645fveq2i 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 { Y ,  T } )  =  ( N `  { T ,  Y } )
4744, 46syl6eleq 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { T ,  Y } ) )
483, 12, 4, 41, 6, 42, 9, 43, 47lspexch 17902 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
4933, 4, 34, 36, 48lspsnel5a 17769 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
50493ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
5134adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  U  e.  LMod )
5236adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  ( N `  { X ,  Y } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
53 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  w  e.  V )
543, 33, 4, 51, 52, 53lspsnel5 17768 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  (
w  e.  ( N `
 { X ,  Y } )  <->  ( N `  { w } ) 
C_  ( N `  { X ,  Y }
) ) )
5554biimprd 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  (
( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  ->  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
5655con3d 133 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V )  ->  ( -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } )  ->  -.  ( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
57563impia 1193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  ( N `  { w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
58 nssne2 3556 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  { T } )  C_  ( N `  { X ,  Y } )  /\  -.  ( N `  {
w } )  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  {
w } ) )
5950, 57, 58syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { w } ) )
6059necomd 2728 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
61 mapdh8e.xt . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
62613ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
63413ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  U  e.  LVec )
6473ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  X  e.  V )
6593ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  Y  e.  V )
663, 4, 63, 38, 64, 65, 39lspindpi 17905 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
6766simprd 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
6867necomd 2728 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
69433ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
703, 12, 4, 63, 27, 65, 38, 69, 39lspindp2l 17907 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) ) )
7170simprd 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
721, 2, 3, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 40, 60, 62, 68, 71mapdh8d 37653 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  V  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
) )  ->  (
I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) )
7372rexlimdv3a 2951 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  V  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y }
)  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) ) )
7410, 73mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   {cpr 4034   <.cotp 4040    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   Basecbs 14644   0gc0g 14857   -gcsg 16182   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   LSpanclspn 17744   LVecclvec 17875   HLchlt 35218   LHypclh 35851   DVecHcdvh 36948  LCDualclcd 37456  mapdcmpd 37494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34827
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-0g 14859  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-oppg 16508  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876  df-lsatoms 34844  df-lshyp 34845  df-lcv 34887  df-lfl 34926  df-lkr 34954  df-ldual 34992  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-llines 35365  df-lplanes 35366  df-lvols 35367  df-lines 35368  df-psubsp 35370  df-pmap 35371  df-padd 35663  df-lhyp 35855  df-laut 35856  df-ldil 35971  df-ltrn 35972  df-trl 36027  df-tgrp 36612  df-tendo 36624  df-edring 36626  df-dveca 36872  df-disoa 36899  df-dvech 36949  df-dib 37009  df-dic 37043  df-dih 37099  df-doch 37218  df-djh 37265  df-lcdual 37457  df-mapd 37495
This theorem is referenced by:  mapdh8g  37656
  Copyright terms: Public domain W3C validator