Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8ab Structured version   Unicode version

Theorem mapdh8ab 35054
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8ab.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8ab.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8ab.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh8ab.ee  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
mapdh8ab.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ab.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ab.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ab.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ab.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
mapdh8ab.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
mapdh8ab.yn  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { T } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8ab  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  E ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, G, x    h, J, x   
h, M, x    h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h    h, X, x    h, Y, x   
h, E, x    h, Z, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    H( x, h)    I( x)    K( x, h)    V( x, h)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh8ab
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . 2  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . 2  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . 2  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . 2  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . 2  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdh8ab.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 mapdh8ab.mn . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 mapdh8ab.eg . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
18 mapdh8ab.ee . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
19 mapdh8ab.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
20 mapdh8ab.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21 mapdh8ab.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
221, 2, 14dvhlvec 34386 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
2319eldifad 3454 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2420eldifad 3454 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
2521eldifad 3454 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
26 mapdh8ab.xn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
273, 6, 22, 23, 24, 25, 26lspindpi 18290 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
2827simprd 464 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
2928necomd 2702 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
30 mapdh8ab.yn . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { T } ) )
3129, 30neeqtrd 2726 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
32 mapdh8ab.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3330sseq1d 3497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { T } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
34 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
351, 2, 14dvhlmod 34387 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
363, 34, 6, 35, 24, 25lspprcl 18136 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
373, 34, 6, 35, 36, 23lspsnel5 18153 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
3832eldifad 3454 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
393, 34, 6, 35, 36, 38lspsnel5 18153 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { T } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
4033, 37, 393bitr4d 288 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  T  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )
4126, 40mtbid 301 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  T  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
4222adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  U  e.  LVec )
4320adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4438adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  T  e.  V
)
4525adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Z  e.  V
)
46 mapdh8ab.yz . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4746adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
48 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
49 prcom 4081 . . . . . 6  |-  { Z ,  T }  =  { T ,  Z }
5049fveq2i 5884 . . . . 5  |-  ( N `
 { Z ,  T } )  =  ( N `  { T ,  Z } )
5148, 50syl6eleq 2527 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { T ,  Z } ) )
523, 5, 6, 42, 43, 44, 45, 47, 51lspexch 18287 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  T  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
5341, 52mtand 663 . 2  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 31, 32, 53, 26mapdh8aa 35053 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  E ,  T >. ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    C_ wss 3442   ifcif 3915   {csn 4002   {cpr 4004   <.cotp 4010    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601   iota_crio 6266  (class class class)co 6305   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806   Basecbs 15084   0gc0g 15297   -gcsg 16622   LSubSpclss 18090   LSpanclspn 18129   LVecclvec 18260   HLchlt 32625   LHypclh 33258   DVecHcdvh 34355  LCDualclcd 34863  mapdcmpd 34901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-riotaBAD 32234
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-undef 7028  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-0g 15299  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-p1 16237  df-lat 16243  df-clat 16305  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-oppg 16948  df-lsm 17223  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-lvec 18261  df-lsatoms 32251  df-lshyp 32252  df-lcv 32294  df-lfl 32333  df-lkr 32361  df-ldual 32399  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772  df-lplanes 32773  df-lvols 32774  df-lines 32775  df-psubsp 32777  df-pmap 32778  df-padd 33070  df-lhyp 33262  df-laut 33263  df-ldil 33378  df-ltrn 33379  df-trl 33434  df-tgrp 34019  df-tendo 34031  df-edring 34033  df-dveca 34279  df-disoa 34306  df-dvech 34356  df-dib 34416  df-dic 34450  df-dih 34506  df-doch 34625  df-djh 34672  df-lcdual 34864  df-mapd 34902
This theorem is referenced by:  mapdh8ac  35055
  Copyright terms: Public domain W3C validator