Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8 Unicode version

Theorem mapdh8 32272
Description: Part (8) in [Baer] p. 48. Given a reference vector  X, the value of function  I at a vector  T is independent of the choice of auxiliary vectors  Y and  Z. Unlike Baer's, our version does not require  X,  Y, and  Z to be independent, and also is defined for all  Y and  Z that are not colinear with  X or  T. We do this to make the definition of Baer's sigma function more straightforward. (This part eliminates  T  =/=  .0..) (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8h.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8h.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8i.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8i.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8i.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8i.xy  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdh8i.xz  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
mapdh8i.yt  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8i.zt  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mapdh8  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ,  T >. )
)
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, J, x    h, M, x   
h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h   
h, X, x    h, Y, x    h, Z, x   
x, I    h, V
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    H( x, h)    K( x, h)    V( x)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh8
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
2 mapdh8a.i . . . . . 6  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3 mapdh8a.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
4 mapdh8i.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
5 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  e.  _V
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  _V )
71, 2, 3, 4, 6mapdhval0 32208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ,  .0.  >.
)  =  Q )
8 mapdh8i.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
9 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( I `
 <. X ,  F ,  Z >. )  e.  _V
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  _V )
111, 2, 3, 8, 10mapdhval0 32208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Z ,  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ,  .0.  >.
)  =  Q )
127, 11eqtr4d 2439 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ,  .0.  >.
)  =  ( I `
 <. Z ,  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ,  .0.  >. )
)
1312adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =  .0.  )  ->  ( I `
 <. Y ,  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ,  .0.  >. )  =  ( I `  <. Z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  Z >. ) ,  .0.  >.
) )
14 oteq3 3955 . . . . 5  |-  ( T  =  .0.  ->  <. Y , 
( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ,  T >.  = 
<. Y ,  ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. ) ,  .0.  >.
)
1514fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( T  =  .0.  ->  (
I `  <. Y , 
( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. Y ,  ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. ) ,  .0.  >.
) )
1615adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =  .0.  )  ->  ( I `
 <. Y ,  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. Y ,  ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. ) ,  .0.  >.
) )
17 oteq3 3955 . . . . 5  |-  ( T  =  .0.  ->  <. Z , 
( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ,  T >.  = 
<. Z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  Z >. ) ,  .0.  >.
)
1817fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( T  =  .0.  ->  (
I `  <. Z , 
( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. Z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  Z >. ) ,  .0.  >.
) )
1918adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =  .0.  )  ->  ( I `
 <. Z ,  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. Z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  Z >. ) ,  .0.  >.
) )
2013, 16, 193eqtr4d 2446 . 2  |-  ( (
ph  /\  T  =  .0.  )  ->  ( I `
 <. Y ,  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. Z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  Z >. ) ,  T >. ) )
21 mapdh8a.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
22 mapdh8a.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
23 mapdh8a.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
24 mapdh8a.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
25 mapdh8a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
26 mapdh8a.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
27 mapdh8a.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
28 mapdh8a.r . . 3  |-  R  =  ( -g `  C
)
29 mapdh8a.j . . 3  |-  J  =  ( LSpan `  C )
30 mapdh8a.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
31 mapdh8a.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3231adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  .0.  )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
33 mapdh8h.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
3433adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  .0.  )  ->  F  e.  D )
35 mapdh8h.mn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
3635adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  .0.  )  ->  ( M `
 ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
37 mapdh8i.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3837adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  .0.  )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
394adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  .0.  )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
408adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  .0.  )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
41 mapdh8i.xy . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
4241adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  .0.  )  ->  ( N `
 { X }
)  =/=  ( N `
 { Y }
) )
43 mapdh8i.xz . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4443adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  .0.  )  ->  ( N `
 { X }
)  =/=  ( N `
 { Z }
) )
45 mapdh8i.yt . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
4645adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  .0.  )  ->  ( N `
 { Y }
)  =/=  ( N `
 { T }
) )
47 mapdh8i.zt . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
4847adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  .0.  )  ->  ( N `
 { Z }
)  =/=  ( N `
 { T }
) )
49 mapdh8.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
5049anim1i 552 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  .0.  )  ->  ( T  e.  V  /\  T  =/=  .0.  ) )
51 eldifsn 3887 . . . 4  |-  ( T  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( T  e.  V  /\  T  =/= 
.0.  ) )
5250, 51sylibr 204 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  .0.  )  ->  T  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
5321, 22, 23, 24, 3, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 30, 2, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 52mapdh8j 32271 . 2  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  .0.  )  ->  ( I `
 <. Y ,  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. Z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  Z >. ) ,  T >. ) )
5420, 53pm2.61dane 2645 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ,  T >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    \ cdif 3277   ifcif 3699   {csn 3774   <.cotp 3778    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   iota_crio 6501   Basecbs 13424   0gc0g 13678   -gcsg 14643   LSpanclspn 16002   HLchlt 29833   LHypclh 30466   DVecHcdvh 31561  LCDualclcd 32069  mapdcmpd 32107
This theorem is referenced by:  mapdh9a  32273  mapdh9aOLDN  32274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130  df-lsatoms 29459  df-lshyp 29460  df-lcv 29502  df-lfl 29541  df-lkr 29569  df-ldual 29607  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tgrp 31225  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-dveca 31485  df-disoa 31512  df-dvech 31562  df-dib 31622  df-dic 31656  df-dih 31712  df-doch 31831  df-djh 31878  df-lcdual 32070  df-mapd 32108
  Copyright terms: Public domain W3C validator