Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh7dN Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mapdh7dN 35312
Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (4 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh7.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh7.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh7.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh7.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh7.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh7.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh7.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh7.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh7.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh7.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh7.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh7.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh7.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh7.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh7.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh7.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { u } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh7.x  |-  ( ph  ->  u  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh7.y  |-  ( ph  ->  v  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh7.z  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh7.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  {
u } )  =/=  ( N `  {
v } ) )
mapdh7.wn  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { u ,  v } ) )
mapdh7a  |-  ( ph  ->  ( I `  <. u ,  F ,  v
>. )  =  G
)
mapdh7.b  |-  ( ph  ->  ( I `  <. u ,  F ,  w >. )  =  E )
Assertion
Ref Expression
mapdh7dN  |-  ( ph  ->  ( I `  <. v ,  G ,  w >. )  =  E )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    C, h    D, h, x   
h, E, x    h, F, x    h, G, x    .0. , h, x    h, J, x    h, M, x   
h, N, x    ph, h    x, Q    u, h, v, w, x    R, h, x    U, h
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, u)    C( x, w, v, u)    D( w, v, u)    Q( w, v, u, h)    R( w, v, u)    U( x, w, v, u)    E( w, v, u)    F( w, v, u)    G( w, v, u)    H( x, w, v, u, h)    I( x, w, v, u, h)    J( w, v, u)    K( x, w, v, u, h)    M( w, v, u)    .- ( w, v, u)    N( w, v, u)    V( x, w, v, u, h)    W( x, w, v, u, h)    .0. ( w, v, u)

Proof of Theorem mapdh7dN
StepHypRef Expression
1 mapdh7.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
2 mapdh7.i . 2  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3 mapdh7.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 mapdh7.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
5 mapdh7.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 mapdh7.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 mapdh7.s . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 mapdh7.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
9 mapdh7.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  U )
10 mapdh7.c . 2  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
11 mapdh7.d . 2  |-  D  =  ( Base `  C
)
12 mapdh7.r . 2  |-  R  =  ( -g `  C
)
13 mapdh7.j . 2  |-  J  =  ( LSpan `  C )
14 mapdh7.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdh7.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 mapdh7.mn . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { u } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 mapdh7.x . 2  |-  ( ph  ->  u  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
18 mapdh7.y . 2  |-  ( ph  ->  v  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 mapdh7.z . 2  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
203, 5, 14dvhlvec 34671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
2118eldifad 3415 . . . . 5  |-  ( ph  ->  v  e.  V )
2219eldifad 3415 . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
23 mapdh7.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
u } )  =/=  ( N `  {
v } ) )
24 mapdh7.wn . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { u ,  v } ) )
256, 8, 9, 20, 17, 21, 22, 23, 24lspindp1 18349 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { v } )  /\  -.  u  e.  ( N `  {
w ,  v } ) ) )
2625simprd 465 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  u  e.  ( N `  { w ,  v } ) )
27 prcom 4049 . . . . 5  |-  { v ,  w }  =  { w ,  v }
2827fveq2i 5866 . . . 4  |-  ( N `
 { v ,  w } )  =  ( N `  {
w ,  v } )
2928eleq2i 2520 . . 3  |-  ( u  e.  ( N `  { v ,  w } )  <->  u  e.  ( N `  { w ,  v } ) )
3026, 29sylnibr 307 . 2  |-  ( ph  ->  -.  u  e.  ( N `  { v ,  w } ) )
3117eldifad 3415 . . . . 5  |-  ( ph  ->  u  e.  V )
326, 9, 20, 22, 31, 21, 24lspindpi 18348 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { u } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { v } ) ) )
3332simprd 465 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  {
v } ) )
3433necomd 2678 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
v } )  =/=  ( N `  {
w } ) )
35 mapdh7a . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. u ,  F ,  v
>. )  =  G
)
36 mapdh7.b . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. u ,  F ,  w >. )  =  E )
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 30, 34, 35, 36mapdheq4 35294 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. v ,  G ,  w >. )  =  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   _Vcvv 3044    \ cdif 3400   ifcif 3880   {csn 3967   {cpr 3969   <.cotp 3975    |-> cmpt 4460   ` cfv 5581   iota_crio 6249  (class class class)co 6288   1stc1st 6788   2ndc2nd 6789   Basecbs 15114   0gc0g 15331   -gcsg 16664   LSpanclspn 18187   HLchlt 32910   LHypclh 33543   DVecHcdvh 34640  LCDualclcd 35148  mapdcmpd 35186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-riotaBAD 32519
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-ot 3976  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-undef 7017  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-0g 15333  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-preset 16166  df-poset 16184  df-plt 16197  df-lub 16213  df-glb 16214  df-join 16215  df-meet 16216  df-p0 16278  df-p1 16279  df-lat 16285  df-clat 16347  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-oppg 16990  df-lsm 17281  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-drng 17970  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-lvec 18319  df-lsatoms 32536  df-lshyp 32537  df-lcv 32579  df-lfl 32618  df-lkr 32646  df-ldual 32684  df-oposet 32736  df-ol 32738  df-oml 32739  df-covers 32826  df-ats 32827  df-atl 32858  df-cvlat 32882  df-hlat 32911  df-llines 33057  df-lplanes 33058  df-lvols 33059  df-lines 33060  df-psubsp 33062  df-pmap 33063  df-padd 33355  df-lhyp 33547  df-laut 33548  df-ldil 33663  df-ltrn 33664  df-trl 33719  df-tgrp 34304  df-tendo 34316  df-edring 34318  df-dveca 34564  df-disoa 34591  df-dvech 34641  df-dib 34701  df-dic 34735  df-dih 34791  df-doch 34910  df-djh 34957  df-lcdual 35149  df-mapd 35187
This theorem is referenced by:  mapdh7fN  35313
  Copyright terms: Public domain W3C validator