Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh7dN Structured version   Unicode version

Theorem mapdh7dN 35071
Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (4 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh7.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh7.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh7.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh7.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh7.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh7.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh7.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh7.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh7.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh7.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh7.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh7.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh7.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh7.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh7.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh7.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { u } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh7.x  |-  ( ph  ->  u  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh7.y  |-  ( ph  ->  v  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh7.z  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh7.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  {
u } )  =/=  ( N `  {
v } ) )
mapdh7.wn  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { u ,  v } ) )
mapdh7a  |-  ( ph  ->  ( I `  <. u ,  F ,  v
>. )  =  G
)
mapdh7.b  |-  ( ph  ->  ( I `  <. u ,  F ,  w >. )  =  E )
Assertion
Ref Expression
mapdh7dN  |-  ( ph  ->  ( I `  <. v ,  G ,  w >. )  =  E )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    C, h    D, h, x   
h, E, x    h, F, x    h, G, x    .0. , h, x    h, J, x    h, M, x   
h, N, x    ph, h    x, Q    u, h, v, w, x    R, h, x    U, h
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, u)    C( x, w, v, u)    D( w, v, u)    Q( w, v, u, h)    R( w, v, u)    U( x, w, v, u)    E( w, v, u)    F( w, v, u)    G( w, v, u)    H( x, w, v, u, h)    I( x, w, v, u, h)    J( w, v, u)    K( x, w, v, u, h)    M( w, v, u)    .- ( w, v, u)    N( w, v, u)    V( x, w, v, u, h)    W( x, w, v, u, h)    .0. ( w, v, u)

Proof of Theorem mapdh7dN
StepHypRef Expression
1 mapdh7.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
2 mapdh7.i . 2  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3 mapdh7.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 mapdh7.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
5 mapdh7.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 mapdh7.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 mapdh7.s . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 mapdh7.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
9 mapdh7.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  U )
10 mapdh7.c . 2  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
11 mapdh7.d . 2  |-  D  =  ( Base `  C
)
12 mapdh7.r . 2  |-  R  =  ( -g `  C
)
13 mapdh7.j . 2  |-  J  =  ( LSpan `  C )
14 mapdh7.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdh7.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 mapdh7.mn . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { u } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 mapdh7.x . 2  |-  ( ph  ->  u  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
18 mapdh7.y . 2  |-  ( ph  ->  v  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 mapdh7.z . 2  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
203, 5, 14dvhlvec 34430 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
2118eldifad 3445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  v  e.  V )
2219eldifad 3445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
23 mapdh7.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
u } )  =/=  ( N `  {
v } ) )
24 mapdh7.wn . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { u ,  v } ) )
256, 8, 9, 20, 17, 21, 22, 23, 24lspindp1 18297 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { v } )  /\  -.  u  e.  ( N `  {
w ,  v } ) ) )
2625simprd 464 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  u  e.  ( N `  { w ,  v } ) )
27 prcom 4072 . . . . 5  |-  { v ,  w }  =  { w ,  v }
2827fveq2i 5875 . . . 4  |-  ( N `
 { v ,  w } )  =  ( N `  {
w ,  v } )
2928eleq2i 2498 . . 3  |-  ( u  e.  ( N `  { v ,  w } )  <->  u  e.  ( N `  { w ,  v } ) )
3026, 29sylnibr 306 . 2  |-  ( ph  ->  -.  u  e.  ( N `  { v ,  w } ) )
3117eldifad 3445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  u  e.  V )
326, 9, 20, 22, 31, 21, 24lspindpi 18296 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { u } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { v } ) ) )
3332simprd 464 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  {
v } ) )
3433necomd 2693 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
v } )  =/=  ( N `  {
w } ) )
35 mapdh7a . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. u ,  F ,  v
>. )  =  G
)
36 mapdh7.b . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. u ,  F ,  w >. )  =  E )
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 30, 34, 35, 36mapdheq4 35053 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. v ,  G ,  w >. )  =  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   _Vcvv 3078    \ cdif 3430   ifcif 3906   {csn 3993   {cpr 3995   <.cotp 4001    |-> cmpt 4475   ` cfv 5592   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   1stc1st 6796   2ndc2nd 6797   Basecbs 15081   0gc0g 15298   -gcsg 16623   LSpanclspn 18135   HLchlt 32669   LHypclh 33302   DVecHcdvh 34399  LCDualclcd 34907  mapdcmpd 34945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-riotaBAD 32278
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-ot 4002  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6972  df-undef 7019  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-0g 15300  df-mre 15444  df-mrc 15445  df-acs 15447  df-preset 16125  df-poset 16143  df-plt 16156  df-lub 16172  df-glb 16173  df-join 16174  df-meet 16175  df-p0 16237  df-p1 16238  df-lat 16244  df-clat 16306  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-submnd 16535  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-sbg 16627  df-subg 16766  df-cntz 16923  df-oppg 16949  df-lsm 17229  df-cmn 17373  df-abl 17374  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-ring 17723  df-oppr 17792  df-dvdsr 17810  df-unit 17811  df-invr 17841  df-dvr 17852  df-drng 17918  df-lmod 18034  df-lss 18097  df-lsp 18136  df-lvec 18267  df-lsatoms 32295  df-lshyp 32296  df-lcv 32338  df-lfl 32377  df-lkr 32405  df-ldual 32443  df-oposet 32495  df-ol 32497  df-oml 32498  df-covers 32585  df-ats 32586  df-atl 32617  df-cvlat 32641  df-hlat 32670  df-llines 32816  df-lplanes 32817  df-lvols 32818  df-lines 32819  df-psubsp 32821  df-pmap 32822  df-padd 33114  df-lhyp 33306  df-laut 33307  df-ldil 33422  df-ltrn 33423  df-trl 33478  df-tgrp 34063  df-tendo 34075  df-edring 34077  df-dveca 34323  df-disoa 34350  df-dvech 34400  df-dib 34460  df-dic 34494  df-dih 34550  df-doch 34669  df-djh 34716  df-lcdual 34908  df-mapd 34946
This theorem is referenced by:  mapdh7fN  35072
  Copyright terms: Public domain W3C validator