Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh7dN Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mapdh7dN 35389
Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (4 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh7.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh7.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh7.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh7.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh7.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh7.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh7.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh7.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh7.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh7.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh7.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh7.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh7.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh7.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh7.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh7.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { u } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh7.x  |-  ( ph  ->  u  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh7.y  |-  ( ph  ->  v  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh7.z  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh7.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  {
u } )  =/=  ( N `  {
v } ) )
mapdh7.wn  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { u ,  v } ) )
mapdh7a  |-  ( ph  ->  ( I `  <. u ,  F ,  v
>. )  =  G
)
mapdh7.b  |-  ( ph  ->  ( I `  <. u ,  F ,  w >. )  =  E )
Assertion
Ref Expression
mapdh7dN  |-  ( ph  ->  ( I `  <. v ,  G ,  w >. )  =  E )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    C, h    D, h, x   
h, E, x    h, F, x    h, G, x    .0. , h, x    h, J, x    h, M, x   
h, N, x    ph, h    x, Q    u, h, v, w, x    R, h, x    U, h
Allowed substitution hints:    ph( x, w, v, u)    C( x, w, v, u)    D( w, v, u)    Q( w, v, u, h)    R( w, v, u)    U( x, w, v, u)    E( w, v, u)    F( w, v, u)    G( w, v, u)    H( x, w, v, u, h)    I( x, w, v, u, h)    J( w, v, u)    K( x, w, v, u, h)    M( w, v, u)    .- ( w, v, u)    N( w, v, u)    V( x, w, v, u, h)    W( x, w, v, u, h)    .0. ( w, v, u)

Proof of Theorem mapdh7dN
StepHypRef Expression
1 mapdh7.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
2 mapdh7.i . 2  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3 mapdh7.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 mapdh7.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
5 mapdh7.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 mapdh7.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 mapdh7.s . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 mapdh7.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
9 mapdh7.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  U )
10 mapdh7.c . 2  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
11 mapdh7.d . 2  |-  D  =  ( Base `  C
)
12 mapdh7.r . 2  |-  R  =  ( -g `  C
)
13 mapdh7.j . 2  |-  J  =  ( LSpan `  C )
14 mapdh7.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdh7.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 mapdh7.mn . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { u } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 mapdh7.x . 2  |-  ( ph  ->  u  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
18 mapdh7.y . 2  |-  ( ph  ->  v  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 mapdh7.z . 2  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
203, 5, 14dvhlvec 34748 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
2118eldifad 3402 . . . . 5  |-  ( ph  ->  v  e.  V )
2219eldifad 3402 . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
23 mapdh7.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
u } )  =/=  ( N `  {
v } ) )
24 mapdh7.wn . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { u ,  v } ) )
256, 8, 9, 20, 17, 21, 22, 23, 24lspindp1 18434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { v } )  /\  -.  u  e.  ( N `  {
w ,  v } ) ) )
2625simprd 470 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  u  e.  ( N `  { w ,  v } ) )
27 prcom 4041 . . . . 5  |-  { v ,  w }  =  { w ,  v }
2827fveq2i 5882 . . . 4  |-  ( N `
 { v ,  w } )  =  ( N `  {
w ,  v } )
2928eleq2i 2541 . . 3  |-  ( u  e.  ( N `  { v ,  w } )  <->  u  e.  ( N `  { w ,  v } ) )
3026, 29sylnibr 312 . 2  |-  ( ph  ->  -.  u  e.  ( N `  { v ,  w } ) )
3117eldifad 3402 . . . . 5  |-  ( ph  ->  u  e.  V )
326, 9, 20, 22, 31, 21, 24lspindpi 18433 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { u } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { v } ) ) )
3332simprd 470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  {
v } ) )
3433necomd 2698 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
v } )  =/=  ( N `  {
w } ) )
35 mapdh7a . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. u ,  F ,  v
>. )  =  G
)
36 mapdh7.b . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. u ,  F ,  w >. )  =  E )
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 30, 34, 35, 36mapdheq4 35371 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. v ,  G ,  w >. )  =  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    \ cdif 3387   ifcif 3872   {csn 3959   {cpr 3961   <.cotp 3967    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589   iota_crio 6269  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   Basecbs 15199   0gc0g 15416   -gcsg 16749   LSpanclspn 18272   HLchlt 32987   LHypclh 33620   DVecHcdvh 34717  LCDualclcd 35225  mapdcmpd 35263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-riotaBAD 32589
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-undef 7038  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-0g 15418  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404  df-lsatoms 32613  df-lshyp 32614  df-lcv 32656  df-lfl 32695  df-lkr 32723  df-ldual 32761  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796  df-tgrp 34381  df-tendo 34393  df-edring 34395  df-dveca 34641  df-disoa 34668  df-dvech 34718  df-dib 34778  df-dic 34812  df-dih 34868  df-doch 34987  df-djh 35034  df-lcdual 35226  df-mapd 35264
This theorem is referenced by:  mapdh7fN  35390
  Copyright terms: Public domain W3C validator