Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6hN Structured version   Unicode version

Theorem mapdh6hN 35670
Description: Lemmma for mapdh6N 35674. Part (6) of [Baer] p. 48 line 2. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdhc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdhc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdhcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
mapdh.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
mapdh6d.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
mapdh6d.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdh6d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh6d.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh6d.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh6d.wn  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh6hN  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Distinct variable groups:    x, D, h    h, F, x    x, J    x, M    x, N    x,  .0.    x, Q    x, R    x, 
.-    h, X, x    h, Y, x    ph, h    .0. , h    C, h    D, h   
h, J    h, M    h, N    R, h    U, h    .- , h    w, h    h, Z, x    .+b , h    h, I, x    .+ , h, x   
x, w
Allowed substitution hints:    ph( x, w)    C( x, w)    D( w)    .+ ( w)    .+b ( x, w)    Q( w, h)    R( w)    U( x, w)    F( w)    H( x, w, h)    I( w)    J( w)    K( x, w, h)    M( w)    .- ( w)    N( w)    V( x, w, h)    W( x, w, h)    X( w)    Y( w)    .0. ( w)    Z( w)

Proof of Theorem mapdh6hN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
2 mapdh.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3 mapdh.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 mapdh.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
5 mapdh.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 mapdh.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 mapdh.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 mapdhc.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
9 mapdh.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
10 mapdh.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
11 mapdh.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
12 mapdh.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
13 mapdh.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
14 mapdh.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdhc.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 mapdh.mn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 mapdhcl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
18 mapdh.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  U )
19 mapdh.a . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
20 mapdh6d.xn . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
21 mapdh6d.yz . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
22 mapdh6d.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
23 mapdh6d.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
24 mapdh6d.w . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
25 mapdh6d.wn . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6gN 35669 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
)  =  ( ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
273, 10, 14lcdlmod 35519 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
2824eldifad 3424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
293, 5, 14dvhlvec 35036 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
3017eldifad 3424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3122eldifad 3424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
326, 9, 29, 28, 30, 31, 25lspindpi 17305 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
3332simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { X } ) )
3433necomd 2716 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) )
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 28, 34mapdhcl 35654 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  e.  D )
3623eldifad 3424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
376, 9, 29, 30, 31, 36, 20lspindpi 17305 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
3837simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
391, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 31, 38mapdhcl 35654 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D )
4037simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
411, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 36, 40mapdhcl 35654 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )
4211, 19lmodass 17055 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  e.  D  /\  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D  /\  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D ) )  ->  ( (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( (
I `  <. X ,  F ,  Y >. ) 
.+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
4327, 35, 39, 41, 42syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. ) )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
4426, 43eqtrd 2490 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
)  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) 
.+b  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
453, 5, 14dvhlmod 35037 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
466, 18lmodvacl 17054 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
4745, 31, 36, 46syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
486, 18, 8, 9, 29, 17, 22, 23, 24, 21, 38, 25mapdindp1 35647 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 47, 48mapdhcl 35654 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  e.  D
)
5011, 19lmodvacl 17054 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D  /\  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )  -> 
( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D )
5127, 39, 41, 50syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D )
5211, 19lmodlcan 17056 . . 3  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  e.  D  /\  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D  /\  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  e.  D ) )  ->  ( (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
)  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) 
.+b  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )  <->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
5327, 49, 51, 35, 52syl13anc 1221 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 <. X ,  F ,  w >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )
)  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) 
.+b  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )  <->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) )
5444, 53mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757    =/= wne 2641   _Vcvv 3054    \ cdif 3409   ifcif 3875   {csn 3961   {cpr 3963   <.cotp 3969    |-> cmpt 4434   ` cfv 5502   iota_crio 6136  (class class class)co 6176   1stc1st 6661   2ndc2nd 6662   Basecbs 14262   +g cplusg 14326   0gc0g 14466   -gcsg 15501   LModclmod 17040   LSpanclspn 17144   HLchlt 33277   LHypclh 33910   DVecHcdvh 35005  LCDualclcd 35513  mapdcmpd 35551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-riotaBAD 32886
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-ot 3970  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-tpos 6831  df-undef 6878  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-0g 14468  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-poset 15204  df-plt 15216  df-lub 15232  df-glb 15233  df-join 15234  df-meet 15235  df-p0 15297  df-p1 15298  df-lat 15304  df-clat 15366  df-mnd 15503  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-sbg 15635  df-subg 15766  df-cntz 15923  df-oppg 15949  df-lsm 16225  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-oppr 16807  df-dvdsr 16825  df-unit 16826  df-invr 16856  df-dvr 16867  df-drng 16926  df-lmod 17042  df-lss 17106  df-lsp 17145  df-lvec 17276  df-lsatoms 32903  df-lshyp 32904  df-lcv 32946  df-lfl 32985  df-lkr 33013  df-ldual 33051  df-oposet 33103  df-ol 33105  df-oml 33106  df-covers 33193  df-ats 33194  df-atl 33225  df-cvlat 33249  df-hlat 33278  df-llines 33424  df-lplanes 33425  df-lvols 33426  df-lines 33427  df-psubsp 33429  df-pmap 33430  df-padd 33722  df-lhyp 33914  df-laut 33915  df-ldil 34030  df-ltrn 34031  df-trl 34085  df-tgrp 34669  df-tendo 34681  df-edring 34683  df-dveca 34929  df-disoa 34956  df-dvech 35006  df-dib 35066  df-dic 35100  df-dih 35156  df-doch 35275  df-djh 35322  df-lcdual 35514  df-mapd 35552
This theorem is referenced by:  mapdh6iN  35671
  Copyright terms: Public domain W3C validator