Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6eN Structured version   Unicode version

Theorem mapdh6eN 36537
Description: Lemmma for mapdh6N 36544. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdhc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdhc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdhcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
mapdh.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
mapdh6d.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
mapdh6d.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdh6d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh6d.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh6d.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh6d.wn  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh6eN  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( ( w  .+  Y
)  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y ) >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Distinct variable groups:    x, D, h    h, F, x    x, J    x, M    x, N    x,  .0.    x, Q    x, R    x, 
.-    h, X, x    h, Y, x    ph, h    .0. , h    C, h    D, h   
h, J    h, M    h, N    R, h    U, h    .- , h    w, h    h, Z, x    .+b , h    h, I, x    .+ , h, x   
x, w
Allowed substitution hints:    ph( x, w)    C( x, w)    D( w)    .+ ( w)    .+b ( x, w)    Q( w, h)    R( w)    U( x, w)    F( w)    H( x, w, h)    I( w)    J( w)    K( x, w, h)    M( w)    .- ( w)    N( w)    V( x, w, h)    W( x, w, h)    X( w)    Y( w)    .0. ( w)    Z( w)

Proof of Theorem mapdh6eN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
2 mapdh.i . 2  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3 mapdh.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 mapdh.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
5 mapdh.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 mapdh.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 mapdh.s . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 mapdhc.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
9 mapdh.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  U )
10 mapdh.c . 2  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
11 mapdh.d . 2  |-  D  =  ( Base `  C
)
12 mapdh.r . 2  |-  R  =  ( -g `  C
)
13 mapdh.j . 2  |-  J  =  ( LSpan `  C )
14 mapdh.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdhc.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 mapdh.mn . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 mapdhcl.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
18 mapdh.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  U )
19 mapdh.a . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
203, 5, 14dvhlmod 35907 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
21 mapdh6d.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2221eldifad 3488 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
23 mapdh6d.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2423eldifad 3488 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
256, 18lmodvacl 17306 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w  .+  Y )  e.  V )
2620, 22, 24, 25syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  e.  V )
273, 5, 14dvhlvec 35906 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
2817eldifad 3488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
29 mapdh6d.wn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
306, 9, 27, 22, 28, 24, 29lspindpi 17558 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
3130simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
326, 18, 8, 9, 20, 22, 24, 31lmodindp1 17440 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  =/=  .0.  )
33 eldifsn 4152 . . 3  |-  ( ( w  .+  Y )  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( (
w  .+  Y )  e.  V  /\  (
w  .+  Y )  =/=  .0.  ) )
3426, 32, 33sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
35 mapdh6d.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3635eldifad 3488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
37 mapdh6d.yz . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
38 mapdh6d.xn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
396, 9, 27, 28, 24, 36, 38lspindpi 17558 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
4039simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
416, 18, 8, 9, 27, 17, 23, 35, 21, 37, 40, 29mapdindp3 36519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
426, 18, 8, 9, 27, 17, 23, 35, 21, 37, 40, 29mapdindp4 36520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) )
436, 8, 9, 27, 17, 26, 36, 41, 42lspindp1 17559 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) ) )
4443simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) )
45 prcom 4105 . . . . 5  |-  { ( w  .+  Y ) ,  Z }  =  { Z ,  ( w 
.+  Y ) }
4645fveq2i 5867 . . . 4  |-  ( N `
 { ( w 
.+  Y ) ,  Z } )  =  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } )
4746eleq2i 2545 . . 3  |-  ( X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) ,  Z } )  <->  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) )
4844, 47sylnibr 305 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) ,  Z } ) )
496, 9, 27, 36, 28, 26, 42lspindpi 17558 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) ) )
5049simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
5150necomd 2738 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
52 eqidd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y )
>. )  =  (
I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y ) >. )
)
53 eqidd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  Z >. ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 34, 35, 48, 51, 52, 53mapdh6aN 36532 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( ( w  .+  Y
)  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y ) >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   ifcif 3939   {csn 4027   {cpr 4029   <.cotp 4035    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586   iota_crio 6242  (class class class)co 6282   1stc1st 6779   2ndc2nd 6780   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   0gc0g 14688   -gcsg 15723   LModclmod 17292   LSpanclspn 17397   HLchlt 34147   LHypclh 34780   DVecHcdvh 35875  LCDualclcd 36383  mapdcmpd 36421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-undef 6999  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-0g 14690  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-p1 15520  df-lat 15526  df-clat 15588  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-subg 15990  df-cntz 16147  df-oppg 16173  df-lsm 16449  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-dvr 17113  df-drng 17178  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-lvec 17529  df-lsatoms 33773  df-lshyp 33774  df-lcv 33816  df-lfl 33855  df-lkr 33883  df-ldual 33921  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-tgrp 35539  df-tendo 35551  df-edring 35553  df-dveca 35799  df-disoa 35826  df-dvech 35876  df-dib 35936  df-dic 35970  df-dih 36026  df-doch 36145  df-djh 36192  df-lcdual 36384  df-mapd 36422
This theorem is referenced by:  mapdh6gN  36539
  Copyright terms: Public domain W3C validator