Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6eN Structured version   Unicode version

Theorem mapdh6eN 35724
Description: Lemmma for mapdh6N 35731. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdhc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdhc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdhcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
mapdh.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
mapdh6d.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
mapdh6d.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdh6d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh6d.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh6d.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh6d.wn  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh6eN  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( ( w  .+  Y
)  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y ) >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Distinct variable groups:    x, D, h    h, F, x    x, J    x, M    x, N    x,  .0.    x, Q    x, R    x, 
.-    h, X, x    h, Y, x    ph, h    .0. , h    C, h    D, h   
h, J    h, M    h, N    R, h    U, h    .- , h    w, h    h, Z, x    .+b , h    h, I, x    .+ , h, x   
x, w
Allowed substitution hints:    ph( x, w)    C( x, w)    D( w)    .+ ( w)    .+b ( x, w)    Q( w, h)    R( w)    U( x, w)    F( w)    H( x, w, h)    I( w)    J( w)    K( x, w, h)    M( w)    .- ( w)    N( w)    V( x, w, h)    W( x, w, h)    X( w)    Y( w)    .0. ( w)    Z( w)

Proof of Theorem mapdh6eN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
2 mapdh.i . 2  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3 mapdh.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 mapdh.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
5 mapdh.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 mapdh.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 mapdh.s . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 mapdhc.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
9 mapdh.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  U )
10 mapdh.c . 2  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
11 mapdh.d . 2  |-  D  =  ( Base `  C
)
12 mapdh.r . 2  |-  R  =  ( -g `  C
)
13 mapdh.j . 2  |-  J  =  ( LSpan `  C )
14 mapdh.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdhc.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 mapdh.mn . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 mapdhcl.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
18 mapdh.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  U )
19 mapdh.a . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
203, 5, 14dvhlmod 35094 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
21 mapdh6d.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2221eldifad 3449 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
23 mapdh6d.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2423eldifad 3449 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
256, 18lmodvacl 17086 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w  .+  Y )  e.  V )
2620, 22, 24, 25syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  e.  V )
273, 5, 14dvhlvec 35093 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
2817eldifad 3449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
29 mapdh6d.wn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
306, 9, 27, 22, 28, 24, 29lspindpi 17337 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
3130simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
326, 18, 8, 9, 20, 22, 24, 31lmodindp1 17219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  =/=  .0.  )
33 eldifsn 4109 . . 3  |-  ( ( w  .+  Y )  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( (
w  .+  Y )  e.  V  /\  (
w  .+  Y )  =/=  .0.  ) )
3426, 32, 33sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
35 mapdh6d.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3635eldifad 3449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
37 mapdh6d.yz . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
38 mapdh6d.xn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
396, 9, 27, 28, 24, 36, 38lspindpi 17337 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
4039simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
416, 18, 8, 9, 27, 17, 23, 35, 21, 37, 40, 29mapdindp3 35706 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
426, 18, 8, 9, 27, 17, 23, 35, 21, 37, 40, 29mapdindp4 35707 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) )
436, 8, 9, 27, 17, 26, 36, 41, 42lspindp1 17338 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) ) )
4443simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) )
45 prcom 4062 . . . . 5  |-  { ( w  .+  Y ) ,  Z }  =  { Z ,  ( w 
.+  Y ) }
4645fveq2i 5803 . . . 4  |-  ( N `
 { ( w 
.+  Y ) ,  Z } )  =  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } )
4746eleq2i 2532 . . 3  |-  ( X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) ,  Z } )  <->  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) )
4844, 47sylnibr 305 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) ,  Z } ) )
496, 9, 27, 36, 28, 26, 42lspindpi 17337 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) ) )
5049simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
5150necomd 2723 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
52 eqidd 2455 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y )
>. )  =  (
I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y ) >. )
)
53 eqidd 2455 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  Z >. ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 34, 35, 48, 51, 52, 53mapdh6aN 35719 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( ( w  .+  Y
)  .+  Z ) >. )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y ) >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   _Vcvv 3078    \ cdif 3434   ifcif 3900   {csn 3986   {cpr 3988   <.cotp 3994    |-> cmpt 4459   ` cfv 5527   iota_crio 6161  (class class class)co 6201   1stc1st 6686   2ndc2nd 6687   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   0gc0g 14498   -gcsg 15533   LModclmod 17072   LSpanclspn 17176   HLchlt 33334   LHypclh 33967   DVecHcdvh 35062  LCDualclcd 35570  mapdcmpd 35608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-riotaBAD 32943
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-ot 3995  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-tpos 6856  df-undef 6903  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-0g 14500  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-poset 15236  df-plt 15248  df-lub 15264  df-glb 15265  df-join 15266  df-meet 15267  df-p0 15329  df-p1 15330  df-lat 15336  df-clat 15398  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-subg 15798  df-cntz 15955  df-oppg 15981  df-lsm 16257  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-invr 16888  df-dvr 16899  df-drng 16958  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-lsp 17177  df-lvec 17308  df-lsatoms 32960  df-lshyp 32961  df-lcv 33003  df-lfl 33042  df-lkr 33070  df-ldual 33108  df-oposet 33160  df-ol 33162  df-oml 33163  df-covers 33250  df-ats 33251  df-atl 33282  df-cvlat 33306  df-hlat 33335  df-llines 33481  df-lplanes 33482  df-lvols 33483  df-lines 33484  df-psubsp 33486  df-pmap 33487  df-padd 33779  df-lhyp 33971  df-laut 33972  df-ldil 34087  df-ltrn 34088  df-trl 34142  df-tgrp 34726  df-tendo 34738  df-edring 34740  df-dveca 34986  df-disoa 35013  df-dvech 35063  df-dib 35123  df-dic 35157  df-dih 35213  df-doch 35332  df-djh 35379  df-lcdual 35571  df-mapd 35609
This theorem is referenced by:  mapdh6gN  35726
  Copyright terms: Public domain W3C validator