Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6aN Structured version   Unicode version

Theorem mapdh6aN 36550
Description: Lemma for mapdh6N 36562. Part (6) in [Baer] p. 47, case 1. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdhc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdhc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdhcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
mapdh.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
mapdhe6.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdhe6.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdhe6.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
mapdh6.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
mapdh6.fg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh6.fe  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
Assertion
Ref Expression
mapdh6aN  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Distinct variable groups:    x, D, h    h, F, x    x, J    x, M    x, N    x,  .0.    x, Q    x, R    x, 
.-    h, X, x    h, Y, x    ph, h    .0. , h    C, h    D, h   
h, J    h, M    h, N    R, h    U, h    .- , h    h, G, x   
h, E    h, Z, x   
.+b , h    h, I    .+ , h, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)   
.+b ( x)    Q( h)    U( x)    E( x)    H( x, h)    I( x)    K( x, h)    V( x, h)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh6aN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
2 mapdh.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3 mapdh.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 mapdh.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
5 mapdh.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 mapdh.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 mapdh.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 mapdhc.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
9 mapdh.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
10 mapdh.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
11 mapdh.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
12 mapdh.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
13 mapdh.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
14 mapdh.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdhc.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 mapdh.mn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 mapdhcl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
18 mapdh.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  U )
19 mapdh.a . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
20 mapdhe6.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21 mapdhe6.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
22 mapdhe6.xn . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
23 mapdh6.yz . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
24 mapdh6.fg . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
25 mapdh6.fe . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6lem2N 36549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )  =  ( J `  { ( G  .+b  E ) } ) )
2724, 25oveq12d 6302 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  =  ( G 
.+b  E ) )
2827sneqd 4039 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) }  =  {
( G  .+b  E
) } )
2928fveq2d 5870 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J `  {
( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) } )  =  ( J `  {
( G  .+b  E
) } ) )
3026, 29eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )  =  ( J `  { ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) } ) )
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6lem1N 36548 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( G 
.+b  E ) ) } ) )
3227oveq2d 6300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )  =  ( F R ( G  .+b  E
) ) )
3332sneqd 4039 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) }  =  { ( F R ( G  .+b  E
) ) } )
3433fveq2d 5870 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J `  {
( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) } )  =  ( J `  { ( F R ( G 
.+b  E ) ) } ) )
3531, 34eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) 
.+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) } ) )
363, 5, 14dvhlmod 35925 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
3720eldifad 3488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
3821eldifad 3488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
396, 18lmodvacl 17326 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
4036, 37, 38, 39syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
416, 18, 8, 9, 36, 37, 38, 23lmodindp1 17460 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =/=  .0.  )
42 eldifsn 4152 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( ( Y  .+  Z )  e.  V  /\  ( Y 
.+  Z )  =/= 
.0.  ) )
4340, 41, 42sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
443, 10, 14lcdlmod 36407 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
453, 5, 14dvhlvec 35924 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4617eldifad 3488 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
476, 8, 9, 45, 37, 21, 46, 23, 22lspindp2 17581 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
4847simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 37, 48mapdhcl 36542 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D )
506, 8, 9, 45, 20, 38, 46, 23, 22lspindp1 17579 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } )  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
5150simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
521, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 38, 51mapdhcl 36542 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )
5311, 19lmodvacl 17326 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D  /\  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )  -> 
( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D )
5444, 49, 52, 53syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D )
55 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
566, 55, 9, 36, 37, 38lspprcl 17424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
576, 18, 9, 36, 37, 38lspprvacl 17445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
5855, 9, 36, 56, 57lspsnel5a 17442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )
596, 55, 9, 36, 56, 46lspsnel5 17441 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
6022, 59mtbid 300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )
61 nssne2 3561 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } )  /\  -.  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )  ->  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } )  =/=  ( N `  { X } ) )
6258, 60, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =/=  ( N `  { X } ) )
6362necomd 2738 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
641, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 43, 54, 63mapdheq 36543 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F , 
( Y  .+  Z
) >. )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  <->  ( ( M `  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) 
.+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) } )  /\  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) } ) ) ) )
6530, 35, 64mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   {cpr 4029   <.cotp 4035    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588   iota_crio 6244  (class class class)co 6284   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   0gc0g 14695   -gcsg 15730   LModclmod 17312   LSubSpclss 17378   LSpanclspn 17417   HLchlt 34165   LHypclh 34798   DVecHcdvh 35893  LCDualclcd 36401  mapdcmpd 36439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-riotaBAD 33774
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-undef 7002  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-0g 14697  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-oppg 16186  df-lsm 16462  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lvec 17549  df-lsatoms 33791  df-lshyp 33792  df-lcv 33834  df-lfl 33873  df-lkr 33901  df-ldual 33939  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802  df-laut 34803  df-ldil 34918  df-ltrn 34919  df-trl 34973  df-tgrp 35557  df-tendo 35569  df-edring 35571  df-dveca 35817  df-disoa 35844  df-dvech 35894  df-dib 35954  df-dic 35988  df-dih 36044  df-doch 36163  df-djh 36210  df-lcdual 36402  df-mapd 36440
This theorem is referenced by:  mapdh6dN  36554  mapdh6eN  36555  mapdh6fN  36556  mapdh6jN  36560
  Copyright terms: Public domain W3C validator