Theorem mapdh6aN 35015

Description: Lemma for mapdh6N 35027. Part (6) in [Baer] p. 47, case 1. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	|- Q = ( 0g ` C )
mapdh.i	|- I = ( x e. _V |-> if ( ( 2nd ` x ) = .0. , Q , ( iota_ h e. D ( ( M ` ( N ` { ( 2nd ` x ) } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( ( 1st ` ( 1st ` x ) ) .- ( 2nd ` x ) ) } ) ) = ( J ` { ( ( 2nd ` ( 1st ` x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h	|- H = ( LHyp ` K )
mapdh.m	|- M = ( (mapd ` K ) ` W )
mapdh.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
mapdh.v	|- V = ( Base ` U )
mapdh.s	|- .- = ( -g ` U )
mapdhc.o	|- .0. = ( 0g ` U )
mapdh.n	|- N = ( LSpan ` U )
mapdh.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
mapdh.d	|- D = ( Base ` C )
mapdh.r	|- R = ( -g ` C )
mapdh.j	|- J = ( LSpan ` C )
mapdh.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
mapdhc.f	|- ( ph -> F e. D )
mapdh.mn	|- ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { F } ) )
mapdhcl.x	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
mapdh.p	|- .+ = ( +g ` U )
mapdh.a	|- .+b = ( +g ` C )
mapdhe6.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
mapdhe6.z	|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
mapdhe6.xn	|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
mapdh6.yz	|- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
mapdh6.fg	|- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) = G )
mapdh6.fe	|- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) = E )

Assertion

Ref	Expression
mapdh6aN	|- ( ph -> ( I ` <. X , F , ( Y .+ Z ) >. ) = ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) )

Distinct variable groups:   x, D, h   h, F, x   x, J   x, M   x, N   x, .0.   x, Q   x, R   x, .-   h, X, x   h, Y, x   ph, h   .0. , h   C, h   D, h   h, J   h, M   h, N   R, h   U, h   .- , h   h, G, x   h, E   h, Z, x   .+b , h   h, I   .+ , h, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   C( x)   .+b ( x)   Q( h)   U( x)   E( x)   H( x, h)   I( x)   K( x, h)   V( x, h)   W( x, h)

Proof of Theorem mapdh6aN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.q	. . . 4 |- Q = ( 0g ` C )
2		mapdh.i	. . . 4 |- I = ( x e. _V |-> if ( ( 2nd ` x ) = .0. , Q , ( iota_ h e. D ( ( M ` ( N ` { ( 2nd ` x ) } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( ( 1st ` ( 1st ` x ) ) .- ( 2nd ` x ) ) } ) ) = ( J ` { ( ( 2nd ` ( 1st ` x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3		mapdh.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
4		mapdh.m	. . . 4 |- M = ( (mapd ` K ) ` W )
5		mapdh.u	. . . 4 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
6		mapdh.v	. . . 4 |- V = ( Base ` U )
7		mapdh.s	. . . 4 |- .- = ( -g ` U )
8		mapdhc.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` U )
9		mapdh.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` U )
10		mapdh.c	. . . 4 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
11		mapdh.d	. . . 4 |- D = ( Base ` C )
12		mapdh.r	. . . 4 |- R = ( -g ` C )
13		mapdh.j	. . . 4 |- J = ( LSpan ` C )
14		mapdh.k	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
15		mapdhc.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. D )
16		mapdh.mn	. . . 4 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { F } ) )
17		mapdhcl.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
18		mapdh.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` U )
19		mapdh.a	. . . 4 |- .+b = ( +g ` C )
20		mapdhe6.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
21		mapdhe6.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
22		mapdhe6.xn	. . . 4 |- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
23		mapdh6.yz	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
24		mapdh6.fg	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) = G )
25		mapdh6.fe	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) = E )
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	mapdh6lem2N 35014	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) = ( J ` { ( G .+b E ) } ) )
27	24, 25	oveq12d 6323	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) = ( G .+b E ) )
28	27	sneqd 4014	. . . 4 |- ( ph -> { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } = { ( G .+b E ) } )
29	28	fveq2d 5885	. . 3 |- ( ph -> ( J ` { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } ) = ( J ` { ( G .+b E ) } ) )
30	26, 29	eqtr4d 2473	. 2 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) = ( J ` { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	mapdh6lem1N 35013	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) ) = ( J ` { ( F R ( G .+b E ) ) } ) )
32	27	oveq2d 6321	. . . . 5 |- ( ph -> ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) = ( F R ( G .+b E ) ) )
33	32	sneqd 4014	. . . 4 |- ( ph -> { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } = { ( F R ( G .+b E ) ) } )
34	33	fveq2d 5885	. . 3 |- ( ph -> ( J ` { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } ) = ( J ` { ( F R ( G .+b E ) ) } ) )
35	31, 34	eqtr4d 2473	. 2 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) ) = ( J ` { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } ) )
36	3, 5, 14	dvhlmod 34390	. . . . 5 |- ( ph -> U e. LMod )
37	20	eldifad 3454	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
38	21	eldifad 3454	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. V )
39	6, 18	lmodvacl 18040	. . . . 5 |- ( ( U e. LMod /\ Y e. V /\ Z e. V ) -> ( Y .+ Z ) e. V )
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1264	. . . 4 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. V )
41	6, 18, 8, 9, 36, 37, 38, 23	lmodindp1 18172	. . . 4 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) =/= .0. )
42		eldifsn 4128	. . . 4 |- ( ( Y .+ Z ) e. ( V \ { .0. } ) <-> ( ( Y .+ Z ) e. V /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) )
43	40, 41, 42	sylanbrc 668	. . 3 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. ( V \ { .0. } ) )
44	3, 10, 14	lcdlmod 34872	. . . 4 |- ( ph -> C e. LMod )
45	3, 5, 14	dvhlvec 34389	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. LVec )
46	17	eldifad 3454	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
47	6, 8, 9, 45, 37, 21, 46, 23, 22	lspindp2 18293	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) /\ -. Z e. ( N ` { X , Y } ) ) )
48	47	simpld 460	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 37, 48	mapdhcl 35007	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) e. D )
50	6, 8, 9, 45, 20, 38, 46, 23, 22	lspindp1 18291	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Z } ) /\ -. Y e. ( N ` { X , Z } ) ) )
51	50	simpld 460	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Z } ) )
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 38, 51	mapdhcl 35007	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) e. D )
53	11, 19	lmodvacl 18040	. . . 4 |- ( ( C e. LMod /\ ( I ` <. X , F , Y >. ) e. D /\ ( I ` <. X , F , Z >. ) e. D ) -> ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) e. D )
54	44, 49, 52, 53	syl3anc 1264	. . 3 |- ( ph -> ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) e. D )
55		eqid 2429	. . . . . 6 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
56	6, 55, 9, 36, 37, 38	lspprcl 18136	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { Y , Z } ) e. ( LSubSp ` U ) )
57	6, 18, 9, 36, 37, 38	lspprvacl 18157	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. ( N ` { Y , Z } ) )
58	55, 9, 36, 56, 57	lspsnel5a 18154	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) )
59	6, 55, 9, 36, 56, 46	lspsnel5 18153	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. ( N ` { Y , Z } ) <-> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) ) )
60	22, 59	mtbid 301	. . . . 5 |- ( ph -> -. ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) )
61		nssne2 3527	. . . . 5 |- ( ( ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) /\ -. ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) ) -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) =/= ( N ` { X } ) )
62	58, 60, 61	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) =/= ( N ` { X } ) )
63	62	necomd 2702	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
64	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 43, 54, 63	mapdheq 35008	. 2 |- ( ph -> ( ( I ` <. X , F , ( Y .+ Z ) >. ) = ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) <-> ( ( M ` ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) = ( J ` { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) ) = ( J ` { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } ) ) ) )
65	30, 35, 64	mpbir2and 930	1 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , ( Y .+ Z ) >. ) = ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   _Vcvv 3087   \ cdif 3439   C_ wss 3442   ifcif 3915   {csn 4002   {cpr 4004   <.cotp 4010   |-> cmpt 4484   ` cfv 5601   iota_crio 6266  (class class class)co 6305   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   0gc0g 15297   -gcsg 16622   LModclmod 18026   LSubSpclss 18090   LSpanclspn 18129   HLchlt 32628   LHypclh 33261   DVecHcdvh 34358  LCDualclcd 34866  mapdcmpd 34904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-riotaBAD 32237

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-undef 7028  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-0g 15299  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-p1 16237  df-lat 16243  df-clat 16305  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-oppg 16948  df-lsm 17223  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-lvec 18261  df-lsatoms 32254  df-lshyp 32255  df-lcv 32297  df-lfl 32336  df-lkr 32364  df-ldual 32402  df-oposet 32454  df-ol 32456  df-oml 32457  df-covers 32544  df-ats 32545  df-atl 32576  df-cvlat 32600  df-hlat 32629  df-llines 32775  df-lplanes 32776  df-lvols 32777  df-lines 32778  df-psubsp 32780  df-pmap 32781  df-padd 33073  df-lhyp 33265  df-laut 33266  df-ldil 33381  df-ltrn 33382  df-trl 33437  df-tgrp 34022  df-tendo 34034  df-edring 34036  df-dveca 34282  df-disoa 34309  df-dvech 34359  df-dib 34419  df-dic 34453  df-dih 34509  df-doch 34628  df-djh 34675  df-lcdual 34867  df-mapd 34905

This theorem is referenced by:  mapdh6dN  35019  mapdh6eN  35020  mapdh6fN  35021  mapdh6jN  35025