Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6aN Structured version   Unicode version

Theorem mapdh6aN 35699
Description: Lemma for mapdh6N 35711. Part (6) in [Baer] p. 47, case 1. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdhc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdhc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdhcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
mapdh.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
mapdhe6.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdhe6.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdhe6.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
mapdh6.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
mapdh6.fg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh6.fe  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
Assertion
Ref Expression
mapdh6aN  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Distinct variable groups:    x, D, h    h, F, x    x, J    x, M    x, N    x,  .0.    x, Q    x, R    x, 
.-    h, X, x    h, Y, x    ph, h    .0. , h    C, h    D, h   
h, J    h, M    h, N    R, h    U, h    .- , h    h, G, x   
h, E    h, Z, x   
.+b , h    h, I    .+ , h, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)   
.+b ( x)    Q( h)    U( x)    E( x)    H( x, h)    I( x)    K( x, h)    V( x, h)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh6aN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
2 mapdh.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D  ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3 mapdh.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 mapdh.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
5 mapdh.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
6 mapdh.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
7 mapdh.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
8 mapdhc.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
9 mapdh.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
10 mapdh.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
11 mapdh.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
12 mapdh.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
13 mapdh.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
14 mapdh.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdhc.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 mapdh.mn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 mapdhcl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
18 mapdh.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  U )
19 mapdh.a . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
20 mapdhe6.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21 mapdhe6.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
22 mapdhe6.xn . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
23 mapdh6.yz . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
24 mapdh6.fg . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
25 mapdh6.fe . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6lem2N 35698 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )  =  ( J `  { ( G  .+b  E ) } ) )
2724, 25oveq12d 6213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  =  ( G 
.+b  E ) )
2827sneqd 3992 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) }  =  {
( G  .+b  E
) } )
2928fveq2d 5798 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J `  {
( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) } )  =  ( J `  {
( G  .+b  E
) } ) )
3026, 29eqtr4d 2496 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )  =  ( J `  { ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) } ) )
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6lem1N 35697 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( G 
.+b  E ) ) } ) )
3227oveq2d 6211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )  =  ( F R ( G  .+b  E
) ) )
3332sneqd 3992 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) }  =  { ( F R ( G  .+b  E
) ) } )
3433fveq2d 5798 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J `  {
( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) } )  =  ( J `  { ( F R ( G 
.+b  E ) ) } ) )
3531, 34eqtr4d 2496 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) 
.+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) } ) )
363, 5, 14dvhlmod 35074 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
3720eldifad 3443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
3821eldifad 3443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
396, 18lmodvacl 17080 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
4036, 37, 38, 39syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
416, 18, 8, 9, 36, 37, 38, 23lmodindp1 17213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =/=  .0.  )
42 eldifsn 4103 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( ( Y  .+  Z )  e.  V  /\  ( Y 
.+  Z )  =/= 
.0.  ) )
4340, 41, 42sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
443, 10, 14lcdlmod 35556 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
453, 5, 14dvhlvec 35073 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4617eldifad 3443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
476, 8, 9, 45, 37, 21, 46, 23, 22lspindp2 17334 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  Y } ) ) )
4847simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 37, 48mapdhcl 35691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D )
506, 8, 9, 45, 20, 38, 46, 23, 22lspindp1 17332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } )  /\  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) ) )
5150simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
521, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 38, 51mapdhcl 35691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )
5311, 19lmodvacl 17080 . . . 4  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D  /\  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )  -> 
( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D )
5444, 49, 52, 53syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  e.  D )
55 eqid 2452 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
566, 55, 9, 36, 37, 38lspprcl 17177 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
576, 18, 9, 36, 37, 38lspprvacl 17198 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
5855, 9, 36, 56, 57lspsnel5a 17195 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )
596, 55, 9, 36, 56, 46lspsnel5 17194 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
6022, 59mtbid 300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )
61 nssne2 3516 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } )  /\  -.  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } ) )  ->  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } )  =/=  ( N `  { X } ) )
6258, 60, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =/=  ( N `  { X } ) )
6362necomd 2720 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
641, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 43, 54, 63mapdheq 35692 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F , 
( Y  .+  Z
) >. )  =  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  <->  ( ( M `  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) 
.+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) } )  /\  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) ) } ) ) ) )
6530, 35, 64mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   _Vcvv 3072    \ cdif 3428    C_ wss 3431   ifcif 3894   {csn 3980   {cpr 3982   <.cotp 3988    |-> cmpt 4453   ` cfv 5521   iota_crio 6155  (class class class)co 6195   1stc1st 6680   2ndc2nd 6681   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   0gc0g 14492   -gcsg 15527   LModclmod 17066   LSubSpclss 17131   LSpanclspn 17170   HLchlt 33314   LHypclh 33947   DVecHcdvh 35042  LCDualclcd 35550  mapdcmpd 35588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-riotaBAD 32923
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-tpos 6850  df-undef 6897  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-0g 14494  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-poset 15230  df-plt 15242  df-lub 15258  df-glb 15259  df-join 15260  df-meet 15261  df-p0 15323  df-p1 15324  df-lat 15330  df-clat 15392  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-subg 15792  df-cntz 15949  df-oppg 15975  df-lsm 16251  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-dvr 16893  df-drng 16952  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lsp 17171  df-lvec 17302  df-lsatoms 32940  df-lshyp 32941  df-lcv 32983  df-lfl 33022  df-lkr 33050  df-ldual 33088  df-oposet 33140  df-ol 33142  df-oml 33143  df-covers 33230  df-ats 33231  df-atl 33262  df-cvlat 33286  df-hlat 33315  df-llines 33461  df-lplanes 33462  df-lvols 33463  df-lines 33464  df-psubsp 33466  df-pmap 33467  df-padd 33759  df-lhyp 33951  df-laut 33952  df-ldil 34067  df-ltrn 34068  df-trl 34122  df-tgrp 34706  df-tendo 34718  df-edring 34720  df-dveca 34966  df-disoa 34993  df-dvech 35043  df-dib 35103  df-dic 35137  df-dih 35193  df-doch 35312  df-djh 35359  df-lcdual 35551  df-mapd 35589
This theorem is referenced by:  mapdh6dN  35703  mapdh6eN  35704  mapdh6fN  35705  mapdh6jN  35709
  Copyright terms: Public domain W3C validator