Theorem mapdh6aN 35374

Description: Lemma for mapdh6N 35386. Part (6) in [Baer] p. 47, case 1. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	|- Q = ( 0g ` C )
mapdh.i	|- I = ( x e. _V |-> if ( ( 2nd ` x ) = .0. , Q , ( iota_ h e. D ( ( M ` ( N ` { ( 2nd ` x ) } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( ( 1st ` ( 1st ` x ) ) .- ( 2nd ` x ) ) } ) ) = ( J ` { ( ( 2nd ` ( 1st ` x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h	|- H = ( LHyp ` K )
mapdh.m	|- M = ( (mapd ` K ) ` W )
mapdh.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
mapdh.v	|- V = ( Base ` U )
mapdh.s	|- .- = ( -g ` U )
mapdhc.o	|- .0. = ( 0g ` U )
mapdh.n	|- N = ( LSpan ` U )
mapdh.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
mapdh.d	|- D = ( Base ` C )
mapdh.r	|- R = ( -g ` C )
mapdh.j	|- J = ( LSpan ` C )
mapdh.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
mapdhc.f	|- ( ph -> F e. D )
mapdh.mn	|- ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { F } ) )
mapdhcl.x	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
mapdh.p	|- .+ = ( +g ` U )
mapdh.a	|- .+b = ( +g ` C )
mapdhe6.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
mapdhe6.z	|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
mapdhe6.xn	|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
mapdh6.yz	|- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
mapdh6.fg	|- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) = G )
mapdh6.fe	|- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) = E )

Assertion

Ref	Expression
mapdh6aN	|- ( ph -> ( I ` <. X , F , ( Y .+ Z ) >. ) = ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) )

Distinct variable groups:   x, D, h   h, F, x   x, J   x, M   x, N   x, .0.   x, Q   x, R   x, .-   h, X, x   h, Y, x   ph, h   .0. , h   C, h   D, h   h, J   h, M   h, N   R, h   U, h   .- , h   h, G, x   h, E   h, Z, x   .+b , h   h, I   .+ , h, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   C( x)   .+b ( x)   Q( h)   U( x)   E( x)   H( x, h)   I( x)   K( x, h)   V( x, h)   W( x, h)

Proof of Theorem mapdh6aN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.q	. . . 4 |- Q = ( 0g ` C )
2		mapdh.i	. . . 4 |- I = ( x e. _V |-> if ( ( 2nd ` x ) = .0. , Q , ( iota_ h e. D ( ( M ` ( N ` { ( 2nd ` x ) } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( ( 1st ` ( 1st ` x ) ) .- ( 2nd ` x ) ) } ) ) = ( J ` { ( ( 2nd ` ( 1st ` x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3		mapdh.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
4		mapdh.m	. . . 4 |- M = ( (mapd ` K ) ` W )
5		mapdh.u	. . . 4 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
6		mapdh.v	. . . 4 |- V = ( Base ` U )
7		mapdh.s	. . . 4 |- .- = ( -g ` U )
8		mapdhc.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` U )
9		mapdh.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` U )
10		mapdh.c	. . . 4 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
11		mapdh.d	. . . 4 |- D = ( Base ` C )
12		mapdh.r	. . . 4 |- R = ( -g ` C )
13		mapdh.j	. . . 4 |- J = ( LSpan ` C )
14		mapdh.k	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
15		mapdhc.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. D )
16		mapdh.mn	. . . 4 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { F } ) )
17		mapdhcl.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
18		mapdh.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` U )
19		mapdh.a	. . . 4 |- .+b = ( +g ` C )
20		mapdhe6.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
21		mapdhe6.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
22		mapdhe6.xn	. . . 4 |- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
23		mapdh6.yz	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
24		mapdh6.fg	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) = G )
25		mapdh6.fe	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) = E )
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	mapdh6lem2N 35373	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) = ( J ` { ( G .+b E ) } ) )
27	24, 25	oveq12d 6326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) = ( G .+b E ) )
28	27	sneqd 3971	. . . 4 |- ( ph -> { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } = { ( G .+b E ) } )
29	28	fveq2d 5883	. . 3 |- ( ph -> ( J ` { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } ) = ( J ` { ( G .+b E ) } ) )
30	26, 29	eqtr4d 2508	. 2 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) = ( J ` { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	mapdh6lem1N 35372	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) ) = ( J ` { ( F R ( G .+b E ) ) } ) )
32	27	oveq2d 6324	. . . . 5 |- ( ph -> ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) = ( F R ( G .+b E ) ) )
33	32	sneqd 3971	. . . 4 |- ( ph -> { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } = { ( F R ( G .+b E ) ) } )
34	33	fveq2d 5883	. . 3 |- ( ph -> ( J ` { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } ) = ( J ` { ( F R ( G .+b E ) ) } ) )
35	31, 34	eqtr4d 2508	. 2 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) ) = ( J ` { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } ) )
36	3, 5, 14	dvhlmod 34749	. . . . 5 |- ( ph -> U e. LMod )
37	20	eldifad 3402	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
38	21	eldifad 3402	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. V )
39	6, 18	lmodvacl 18183	. . . . 5 |- ( ( U e. LMod /\ Y e. V /\ Z e. V ) -> ( Y .+ Z ) e. V )
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. V )
41	6, 18, 8, 9, 36, 37, 38, 23	lmodindp1 18315	. . . 4 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) =/= .0. )
42		eldifsn 4088	. . . 4 |- ( ( Y .+ Z ) e. ( V \ { .0. } ) <-> ( ( Y .+ Z ) e. V /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) )
43	40, 41, 42	sylanbrc 677	. . 3 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. ( V \ { .0. } ) )
44	3, 10, 14	lcdlmod 35231	. . . 4 |- ( ph -> C e. LMod )
45	3, 5, 14	dvhlvec 34748	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. LVec )
46	17	eldifad 3402	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
47	6, 8, 9, 45, 37, 21, 46, 23, 22	lspindp2 18436	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) /\ -. Z e. ( N ` { X , Y } ) ) )
48	47	simpld 466	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 37, 48	mapdhcl 35366	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) e. D )
50	6, 8, 9, 45, 20, 38, 46, 23, 22	lspindp1 18434	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Z } ) /\ -. Y e. ( N ` { X , Z } ) ) )
51	50	simpld 466	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Z } ) )
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 38, 51	mapdhcl 35366	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) e. D )
53	11, 19	lmodvacl 18183	. . . 4 |- ( ( C e. LMod /\ ( I ` <. X , F , Y >. ) e. D /\ ( I ` <. X , F , Z >. ) e. D ) -> ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) e. D )
54	44, 49, 52, 53	syl3anc 1292	. . 3 |- ( ph -> ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) e. D )
55		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
56	6, 55, 9, 36, 37, 38	lspprcl 18279	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { Y , Z } ) e. ( LSubSp ` U ) )
57	6, 18, 9, 36, 37, 38	lspprvacl 18300	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. ( N ` { Y , Z } ) )
58	55, 9, 36, 56, 57	lspsnel5a 18297	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) )
59	6, 55, 9, 36, 56, 46	lspsnel5 18296	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. ( N ` { Y , Z } ) <-> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) ) )
60	22, 59	mtbid 307	. . . . 5 |- ( ph -> -. ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) )
61		nssne2 3475	. . . . 5 |- ( ( ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) /\ -. ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) ) -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) =/= ( N ` { X } ) )
62	58, 60, 61	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) =/= ( N ` { X } ) )
63	62	necomd 2698	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
64	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 43, 54, 63	mapdheq 35367	. 2 |- ( ph -> ( ( I ` <. X , F , ( Y .+ Z ) >. ) = ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) <-> ( ( M ` ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) = ( J ` { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) ) = ( J ` { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } ) ) ) )
65	30, 35, 64	mpbir2and 936	1 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , ( Y .+ Z ) >. ) = ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   {cpr 3961   <.cotp 3967   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589   iota_crio 6269  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   0gc0g 15416   -gcsg 16749   LModclmod 18169   LSubSpclss 18233   LSpanclspn 18272   HLchlt 32987   LHypclh 33620   DVecHcdvh 34717  LCDualclcd 35225  mapdcmpd 35263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-riotaBAD 32589

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-undef 7038  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-0g 15418  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404  df-lsatoms 32613  df-lshyp 32614  df-lcv 32656  df-lfl 32695  df-lkr 32723  df-ldual 32761  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796  df-tgrp 34381  df-tendo 34393  df-edring 34395  df-dveca 34641  df-disoa 34668  df-dvech 34718  df-dib 34778  df-dic 34812  df-dih 34868  df-doch 34987  df-djh 35034  df-lcdual 35226  df-mapd 35264

This theorem is referenced by:  mapdh6dN  35378  mapdh6eN  35379  mapdh6fN  35380  mapdh6jN  35384