Theorem mapdh6aN 32218

Description: Lemma for mapdh6N 32230. Part (6) in [Baer] p. 47, case 1. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	|- Q = ( 0g ` C )
mapdh.i	|- I = ( x e. _V |-> if ( ( 2nd ` x ) = .0. , Q , ( iota_ h e. D ( ( M ` ( N ` { ( 2nd ` x ) } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( ( 1st ` ( 1st ` x ) ) .- ( 2nd ` x ) ) } ) ) = ( J ` { ( ( 2nd ` ( 1st ` x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h	|- H = ( LHyp ` K )
mapdh.m	|- M = ( (mapd ` K ) ` W )
mapdh.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
mapdh.v	|- V = ( Base ` U )
mapdh.s	|- .- = ( -g ` U )
mapdhc.o	|- .0. = ( 0g ` U )
mapdh.n	|- N = ( LSpan ` U )
mapdh.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
mapdh.d	|- D = ( Base ` C )
mapdh.r	|- R = ( -g ` C )
mapdh.j	|- J = ( LSpan ` C )
mapdh.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
mapdhc.f	|- ( ph -> F e. D )
mapdh.mn	|- ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { F } ) )
mapdhcl.x	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
mapdh.p	|- .+ = ( +g ` U )
mapdh.a	|- .+b = ( +g ` C )
mapdhe6.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
mapdhe6.z	|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
mapdhe6.xn	|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
mapdh6.yz	|- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
mapdh6.fg	|- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) = G )
mapdh6.fe	|- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) = E )

Assertion

Ref	Expression
mapdh6aN	|- ( ph -> ( I ` <. X , F , ( Y .+ Z ) >. ) = ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) )

Distinct variable groups:   x, D, h   h, F, x   x, J   x, M   x, N   x, .0.   x, Q   x, R   x, .-   h, X, x   h, Y, x   ph, h   .0. , h   C, h   D, h   h, J   h, M   h, N   R, h   U, h   .- , h   h, G, x   h, E   h, Z, x   .+b , h   h, I   .+ , h, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   C( x)   .+b ( x)   Q( h)   U( x)   E( x)   H( x, h)   I( x)   K( x, h)   V( x, h)   W( x, h)

Proof of Theorem mapdh6aN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.q	. . . 4 |- Q = ( 0g ` C )
2		mapdh.i	. . . 4 |- I = ( x e. _V |-> if ( ( 2nd ` x ) = .0. , Q , ( iota_ h e. D ( ( M ` ( N ` { ( 2nd ` x ) } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( ( 1st ` ( 1st ` x ) ) .- ( 2nd ` x ) ) } ) ) = ( J ` { ( ( 2nd ` ( 1st ` x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3		mapdh.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
4		mapdh.m	. . . 4 |- M = ( (mapd ` K ) ` W )
5		mapdh.u	. . . 4 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
6		mapdh.v	. . . 4 |- V = ( Base ` U )
7		mapdh.s	. . . 4 |- .- = ( -g ` U )
8		mapdhc.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` U )
9		mapdh.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` U )
10		mapdh.c	. . . 4 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
11		mapdh.d	. . . 4 |- D = ( Base ` C )
12		mapdh.r	. . . 4 |- R = ( -g ` C )
13		mapdh.j	. . . 4 |- J = ( LSpan ` C )
14		mapdh.k	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
15		mapdhc.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. D )
16		mapdh.mn	. . . 4 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { F } ) )
17		mapdhcl.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
18		mapdh.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` U )
19		mapdh.a	. . . 4 |- .+b = ( +g ` C )
20		mapdhe6.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
21		mapdhe6.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
22		mapdhe6.xn	. . . 4 |- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
23		mapdh6.yz	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
24		mapdh6.fg	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) = G )
25		mapdh6.fe	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) = E )
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	mapdh6lem2N 32217	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) = ( J ` { ( G .+b E ) } ) )
27	24, 25	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) = ( G .+b E ) )
28	27	sneqd 3787	. . . 4 |- ( ph -> { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } = { ( G .+b E ) } )
29	28	fveq2d 5691	. . 3 |- ( ph -> ( J ` { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } ) = ( J ` { ( G .+b E ) } ) )
30	26, 29	eqtr4d 2439	. 2 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) = ( J ` { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	mapdh6lem1N 32216	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) ) = ( J ` { ( F R ( G .+b E ) ) } ) )
32	27	oveq2d 6056	. . . . 5 |- ( ph -> ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) = ( F R ( G .+b E ) ) )
33	32	sneqd 3787	. . . 4 |- ( ph -> { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } = { ( F R ( G .+b E ) ) } )
34	33	fveq2d 5691	. . 3 |- ( ph -> ( J ` { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } ) = ( J ` { ( F R ( G .+b E ) ) } ) )
35	31, 34	eqtr4d 2439	. 2 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) ) = ( J ` { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } ) )
36	3, 5, 14	dvhlmod 31593	. . . . 5 |- ( ph -> U e. LMod )
37	20	eldifad 3292	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
38	21	eldifad 3292	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. V )
39	6, 18	lmodvacl 15919	. . . . 5 |- ( ( U e. LMod /\ Y e. V /\ Z e. V ) -> ( Y .+ Z ) e. V )
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. V )
41	6, 18, 8, 9, 36, 37, 38, 23	lmodindp1 16045	. . . 4 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) =/= .0. )
42		eldifsn 3887	. . . 4 |- ( ( Y .+ Z ) e. ( V \ { .0. } ) <-> ( ( Y .+ Z ) e. V /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) )
43	40, 41, 42	sylanbrc 646	. . 3 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. ( V \ { .0. } ) )
44	3, 10, 14	lcdlmod 32075	. . . 4 |- ( ph -> C e. LMod )
45	3, 5, 14	dvhlvec 31592	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. LVec )
46	17	eldifad 3292	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
47	6, 8, 9, 45, 37, 21, 46, 23, 22	lspindp2 16162	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) /\ -. Z e. ( N ` { X , Y } ) ) )
48	47	simpld 446	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 37, 48	mapdhcl 32210	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) e. D )
50	6, 8, 9, 45, 20, 38, 46, 23, 22	lspindp1 16160	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Z } ) /\ -. Y e. ( N ` { X , Z } ) ) )
51	50	simpld 446	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Z } ) )
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 38, 51	mapdhcl 32210	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) e. D )
53	11, 19	lmodvacl 15919	. . . 4 |- ( ( C e. LMod /\ ( I ` <. X , F , Y >. ) e. D /\ ( I ` <. X , F , Z >. ) e. D ) -> ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) e. D )
54	44, 49, 52, 53	syl3anc 1184	. . 3 |- ( ph -> ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) e. D )
55		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
56	6, 55, 9, 36, 37, 38	lspprcl 16009	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { Y , Z } ) e. ( LSubSp ` U ) )
57	6, 18, 9, 36, 37, 38	lspprvacl 16030	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. ( N ` { Y , Z } ) )
58	55, 9, 36, 56, 57	lspsnel5a 16027	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) )
59	6, 55, 9, 36, 56, 46	lspsnel5 16026	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. ( N ` { Y , Z } ) <-> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) ) )
60	22, 59	mtbid 292	. . . . 5 |- ( ph -> -. ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) )
61		nssne2 3365	. . . . 5 |- ( ( ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) /\ -. ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) ) -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) =/= ( N ` { X } ) )
62	58, 60, 61	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) =/= ( N ` { X } ) )
63	62	necomd 2650	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
64	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 43, 54, 63	mapdheq 32211	. 2 |- ( ph -> ( ( I ` <. X , F , ( Y .+ Z ) >. ) = ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) <-> ( ( M ` ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) = ( J ` { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) ) = ( J ` { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } ) ) ) )
65	30, 35, 64	mpbir2and 889	1 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , ( Y .+ Z ) >. ) = ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   ifcif 3699   {csn 3774   {cpr 3775   <.cotp 3778   e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   iota_crio 6501   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   -gcsg 14643   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963   LSpanclspn 16002   HLchlt 29833   LHypclh 30466   DVecHcdvh 31561  LCDualclcd 32069  mapdcmpd 32107

This theorem is referenced by:  mapdh6dN  32222  mapdh6eN  32223  mapdh6fN  32224  mapdh6jN  32228

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130  df-lsatoms 29459  df-lshyp 29460  df-lcv 29502  df-lfl 29541  df-lkr 29569  df-ldual 29607  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tgrp 31225  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-dveca 31485  df-disoa 31512  df-dvech 31562  df-dib 31622  df-dic 31656  df-dih 31712  df-doch 31831  df-djh 31878  df-lcdual 32070  df-mapd 32108