Theorem mapdh6aN 36550

Description: Lemma for mapdh6N 36562. Part (6) in [Baer] p. 47, case 1. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	|- Q = ( 0g ` C )
mapdh.i	|- I = ( x e. _V |-> if ( ( 2nd ` x ) = .0. , Q , ( iota_ h e. D ( ( M ` ( N ` { ( 2nd ` x ) } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( ( 1st ` ( 1st ` x ) ) .- ( 2nd ` x ) ) } ) ) = ( J ` { ( ( 2nd ` ( 1st ` x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h	|- H = ( LHyp ` K )
mapdh.m	|- M = ( (mapd ` K ) ` W )
mapdh.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
mapdh.v	|- V = ( Base ` U )
mapdh.s	|- .- = ( -g ` U )
mapdhc.o	|- .0. = ( 0g ` U )
mapdh.n	|- N = ( LSpan ` U )
mapdh.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
mapdh.d	|- D = ( Base ` C )
mapdh.r	|- R = ( -g ` C )
mapdh.j	|- J = ( LSpan ` C )
mapdh.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
mapdhc.f	|- ( ph -> F e. D )
mapdh.mn	|- ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { F } ) )
mapdhcl.x	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
mapdh.p	|- .+ = ( +g ` U )
mapdh.a	|- .+b = ( +g ` C )
mapdhe6.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
mapdhe6.z	|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
mapdhe6.xn	|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
mapdh6.yz	|- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
mapdh6.fg	|- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) = G )
mapdh6.fe	|- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) = E )

Assertion

Ref	Expression
mapdh6aN	|- ( ph -> ( I ` <. X , F , ( Y .+ Z ) >. ) = ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) )

Distinct variable groups:   x, D, h   h, F, x   x, J   x, M   x, N   x, .0.   x, Q   x, R   x, .-   h, X, x   h, Y, x   ph, h   .0. , h   C, h   D, h   h, J   h, M   h, N   R, h   U, h   .- , h   h, G, x   h, E   h, Z, x   .+b , h   h, I   .+ , h, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   C( x)   .+b ( x)   Q( h)   U( x)   E( x)   H( x, h)   I( x)   K( x, h)   V( x, h)   W( x, h)

Proof of Theorem mapdh6aN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.q	. . . 4 |- Q = ( 0g ` C )
2		mapdh.i	. . . 4 |- I = ( x e. _V |-> if ( ( 2nd ` x ) = .0. , Q , ( iota_ h e. D ( ( M ` ( N ` { ( 2nd ` x ) } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( ( 1st ` ( 1st ` x ) ) .- ( 2nd ` x ) ) } ) ) = ( J ` { ( ( 2nd ` ( 1st ` x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
3		mapdh.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
4		mapdh.m	. . . 4 |- M = ( (mapd ` K ) ` W )
5		mapdh.u	. . . 4 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
6		mapdh.v	. . . 4 |- V = ( Base ` U )
7		mapdh.s	. . . 4 |- .- = ( -g ` U )
8		mapdhc.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` U )
9		mapdh.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` U )
10		mapdh.c	. . . 4 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
11		mapdh.d	. . . 4 |- D = ( Base ` C )
12		mapdh.r	. . . 4 |- R = ( -g ` C )
13		mapdh.j	. . . 4 |- J = ( LSpan ` C )
14		mapdh.k	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
15		mapdhc.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. D )
16		mapdh.mn	. . . 4 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { F } ) )
17		mapdhcl.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
18		mapdh.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` U )
19		mapdh.a	. . . 4 |- .+b = ( +g ` C )
20		mapdhe6.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
21		mapdhe6.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
22		mapdhe6.xn	. . . 4 |- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
23		mapdh6.yz	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
24		mapdh6.fg	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) = G )
25		mapdh6.fe	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) = E )
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	mapdh6lem2N 36549	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) = ( J ` { ( G .+b E ) } ) )
27	24, 25	oveq12d 6302	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) = ( G .+b E ) )
28	27	sneqd 4039	. . . 4 |- ( ph -> { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } = { ( G .+b E ) } )
29	28	fveq2d 5870	. . 3 |- ( ph -> ( J ` { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } ) = ( J ` { ( G .+b E ) } ) )
30	26, 29	eqtr4d 2511	. 2 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) = ( J ` { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	mapdh6lem1N 36548	. . 3 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) ) = ( J ` { ( F R ( G .+b E ) ) } ) )
32	27	oveq2d 6300	. . . . 5 |- ( ph -> ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) = ( F R ( G .+b E ) ) )
33	32	sneqd 4039	. . . 4 |- ( ph -> { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } = { ( F R ( G .+b E ) ) } )
34	33	fveq2d 5870	. . 3 |- ( ph -> ( J ` { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } ) = ( J ` { ( F R ( G .+b E ) ) } ) )
35	31, 34	eqtr4d 2511	. 2 |- ( ph -> ( M ` ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) ) = ( J ` { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } ) )
36	3, 5, 14	dvhlmod 35925	. . . . 5 |- ( ph -> U e. LMod )
37	20	eldifad 3488	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
38	21	eldifad 3488	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. V )
39	6, 18	lmodvacl 17326	. . . . 5 |- ( ( U e. LMod /\ Y e. V /\ Z e. V ) -> ( Y .+ Z ) e. V )
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. V )
41	6, 18, 8, 9, 36, 37, 38, 23	lmodindp1 17460	. . . 4 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) =/= .0. )
42		eldifsn 4152	. . . 4 |- ( ( Y .+ Z ) e. ( V \ { .0. } ) <-> ( ( Y .+ Z ) e. V /\ ( Y .+ Z ) =/= .0. ) )
43	40, 41, 42	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. ( V \ { .0. } ) )
44	3, 10, 14	lcdlmod 36407	. . . 4 |- ( ph -> C e. LMod )
45	3, 5, 14	dvhlvec 35924	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. LVec )
46	17	eldifad 3488	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
47	6, 8, 9, 45, 37, 21, 46, 23, 22	lspindp2 17581	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) /\ -. Z e. ( N ` { X , Y } ) ) )
48	47	simpld 459	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 37, 48	mapdhcl 36542	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) e. D )
50	6, 8, 9, 45, 20, 38, 46, 23, 22	lspindp1 17579	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Z } ) /\ -. Y e. ( N ` { X , Z } ) ) )
51	50	simpld 459	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Z } ) )
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 38, 51	mapdhcl 36542	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) e. D )
53	11, 19	lmodvacl 17326	. . . 4 |- ( ( C e. LMod /\ ( I ` <. X , F , Y >. ) e. D /\ ( I ` <. X , F , Z >. ) e. D ) -> ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) e. D )
54	44, 49, 52, 53	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ph -> ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) e. D )
55		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
56	6, 55, 9, 36, 37, 38	lspprcl 17424	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { Y , Z } ) e. ( LSubSp ` U ) )
57	6, 18, 9, 36, 37, 38	lspprvacl 17445	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. ( N ` { Y , Z } ) )
58	55, 9, 36, 56, 57	lspsnel5a 17442	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) )
59	6, 55, 9, 36, 56, 46	lspsnel5 17441	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. ( N ` { Y , Z } ) <-> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) ) )
60	22, 59	mtbid 300	. . . . 5 |- ( ph -> -. ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) )
61		nssne2 3561	. . . . 5 |- ( ( ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) /\ -. ( N ` { X } ) C_ ( N ` { Y , Z } ) ) -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) =/= ( N ` { X } ) )
62	58, 60, 61	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) =/= ( N ` { X } ) )
63	62	necomd 2738	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
64	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 43, 54, 63	mapdheq 36543	. 2 |- ( ph -> ( ( I ` <. X , F , ( Y .+ Z ) >. ) = ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) <-> ( ( M ` ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) = ( J ` { ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) ) = ( J ` { ( F R ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) ) } ) ) ) )
65	30, 35, 64	mpbir2and 920	1 |- ( ph -> ( I ` <. X , F , ( Y .+ Z ) >. ) = ( ( I ` <. X , F , Y >. ) .+b ( I ` <. X , F , Z >. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   {cpr 4029   <.cotp 4035   |-> cmpt 4505   ` cfv 5588   iota_crio 6244  (class class class)co 6284   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   0gc0g 14695   -gcsg 15730   LModclmod 17312   LSubSpclss 17378   LSpanclspn 17417   HLchlt 34165   LHypclh 34798   DVecHcdvh 35893  LCDualclcd 36401  mapdcmpd 36439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-riotaBAD 33774

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-undef 7002  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-0g 14697  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-oppg 16186  df-lsm 16462  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lvec 17549  df-lsatoms 33791  df-lshyp 33792  df-lcv 33834  df-lfl 33873  df-lkr 33901  df-ldual 33939  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802  df-laut 34803  df-ldil 34918  df-ltrn 34919  df-trl 34973  df-tgrp 35557  df-tendo 35569  df-edring 35571  df-dveca 35817  df-disoa 35844  df-dvech 35894  df-dib 35954  df-dic 35988  df-dih 36044  df-doch 36163  df-djh 36210  df-lcdual 36402  df-mapd 36440

This theorem is referenced by:  mapdh6dN  36554  mapdh6eN  36555  mapdh6fN  36556  mapdh6jN  36560