Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdfval Structured version   Unicode version

Theorem mapdfval 35272
Description: Projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
mapdval.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdval.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdval.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdval.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
mapdfval  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  M  =  ( s  e.  S  |->  { f  e.  F  |  ( ( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  s ) } ) )
Distinct variable groups:    f, s, K    f, F    S, s    f, W, s
Allowed substitution hints:    S( f)    U( f, s)    F( s)    H( f, s)    L( f, s)    M( f, s)    O( f, s)    X( f, s)

Proof of Theorem mapdfval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdval.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
2 mapdval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
32mapdffval 35271 . . . 4  |-  ( K  e.  X  ->  (mapd `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) )
43fveq1d 5693 . . 3  |-  ( K  e.  X  ->  (
(mapd `  K ) `  W )  =  ( ( w  e.  H  |->  ( s  e.  (
LSubSp `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) `  W ) )
51, 4syl5eq 2487 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  M  =  ( ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) `  W ) )
6 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )
7 mapdval.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
86, 7syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  U )
98fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( LSubSp `
 ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  =  (
LSubSp `  U ) )
10 mapdval.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
119, 10syl6eqr 2493 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  ( LSubSp `
 ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  =  S )
128fveq2d 5695 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  (LFnl `  U ) )
13 mapdval.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  U )
1412, 13syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  F )
15 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  W
) )
16 mapdval.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
1715, 16syl6eqr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  O )
188fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  (LKer `  U ) )
19 mapdval.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  (LKer `  U )
2018, 19syl6eqr 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  L )
2120fveq1d 5693 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
(LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  =  ( L `  f ) )
2217, 21fveq12d 5697 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  =  ( O `  ( L `  f )
) )
2317, 22fveq12d 5697 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) ) )
2423, 21eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )  <->  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) ) )
2522sseq1d 3383 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
)  C_  s  <->  ( O `  ( L `  f
) )  C_  s
) )
2624, 25anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s )  <->  ( ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
)  /\  ( O `  ( L `  f
) )  C_  s
) ) )
2714, 26rabeqbidv 2967 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) }  =  { f  e.  F  |  ( ( O `
 ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  s ) } )
2811, 27mpteq12dv 4370 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  (
s  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } )  =  ( s  e.  S  |->  { f  e.  F  |  ( ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  s ) } ) )
29 eqid 2443 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) )
30 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  e.  _V
3110, 30eqeltri 2513 . . . 4  |-  S  e. 
_V
3231mptex 5948 . . 3  |-  ( s  e.  S  |->  { f  e.  F  |  ( ( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  s ) } )  e.  _V
3328, 29, 32fvmpt 5774 . 2  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  ( s  e.  (
LSubSp `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) `  W )  =  ( s  e.  S  |->  { f  e.  F  |  ( ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  s ) } ) )
345, 33sylan9eq 2495 1  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  M  =  ( s  e.  S  |->  { f  e.  F  |  ( ( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  s ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719   _Vcvv 2972    C_ wss 3328    e. cmpt 4350   ` cfv 5418   LSubSpclss 17013  LFnlclfn 32702  LKerclk 32730   LHypclh 33628   DVecHcdvh 34723   ocHcoch 34992  mapdcmpd 35269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-mapd 35270
This theorem is referenced by:  mapdval  35273  mapd1o  35293
  Copyright terms: Public domain W3C validator