Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdfval Structured version   Unicode version

Theorem mapdfval 37455
Description: Projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdval.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
mapdval.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdval.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdval.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdval.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
mapdfval  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  M  =  ( s  e.  S  |->  { f  e.  F  |  ( ( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  s ) } ) )
Distinct variable groups:    f, s, K    f, F    S, s    f, W, s
Allowed substitution hints:    S( f)    U( f, s)    F( s)    H( f, s)    L( f, s)    M( f, s)    O( f, s)    X( f, s)

Proof of Theorem mapdfval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdval.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
2 mapdval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
32mapdffval 37454 . . . 4  |-  ( K  e.  X  ->  (mapd `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) )
43fveq1d 5874 . . 3  |-  ( K  e.  X  ->  (
(mapd `  K ) `  W )  =  ( ( w  e.  H  |->  ( s  e.  (
LSubSp `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) `  W ) )
51, 4syl5eq 2510 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  M  =  ( ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) `  W ) )
6 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )
7 mapdval.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
86, 7syl6eqr 2516 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( DVecH `  K ) `  w )  =  U )
98fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( LSubSp `
 ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  =  (
LSubSp `  U ) )
10 mapdval.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
119, 10syl6eqr 2516 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  ( LSubSp `
 ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  =  S )
128fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  (LFnl `  U ) )
13 mapdval.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  U )
1412, 13syl6eqr 2516 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  F )
15 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  W
) )
16 mapdval.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
1715, 16syl6eqr 2516 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( ocH `  K
) `  w )  =  O )
188fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  (LKer `  U ) )
19 mapdval.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  (LKer `  U )
2018, 19syl6eqr 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  =  L )
2120fveq1d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
(LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  =  ( L `  f ) )
2217, 21fveq12d 5878 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  =  ( O `  ( L `  f )
) )
2317, 22fveq12d 5878 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) ) )
2423, 21eqeq12d 2479 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )  <->  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) ) )
2522sseq1d 3526 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
)  C_  s  <->  ( O `  ( L `  f
) )  C_  s
) )
2624, 25anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s )  <->  ( ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
)  /\  ( O `  ( L `  f
) )  C_  s
) ) )
2714, 26rabeqbidv 3104 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) }  =  { f  e.  F  |  ( ( O `
 ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  s ) } )
2811, 27mpteq12dv 4535 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  (
s  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } )  =  ( s  e.  S  |->  { f  e.  F  |  ( ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  s ) } ) )
29 eqid 2457 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) )
30 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  e.  _V
3110, 30eqeltri 2541 . . . 4  |-  S  e. 
_V
3231mptex 6144 . . 3  |-  ( s  e.  S  |->  { f  e.  F  |  ( ( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  s ) } )  e.  _V
3328, 29, 32fvmpt 5956 . 2  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  ( s  e.  (
LSubSp `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) )  |->  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) `  W )  =  ( s  e.  S  |->  { f  e.  F  |  ( ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  s ) } ) )
345, 33sylan9eq 2518 1  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  M  =  ( s  e.  S  |->  { f  e.  F  |  ( ( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  s ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594   LSubSpclss 17704  LFnlclfn 34883  LKerclk 34911   LHypclh 35809   DVecHcdvh 36906   ocHcoch 37175  mapdcmpd 37452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-mapd 37453
This theorem is referenced by:  mapdval  37456  mapd1o  37476
  Copyright terms: Public domain W3C validator