Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdffval Structured version   Unicode version

Theorem mapdffval 35271
Description: Projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 25-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapdval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
mapdffval  |-  ( K  e.  X  ->  (mapd `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) )
Distinct variable groups:    w, H    f, s, w, K
Allowed substitution hints:    H( f, s)    X( w, f, s)

Proof of Theorem mapdffval
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2981 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5691 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 mapdval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2493 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( DVecH `  k )  =  ( DVecH `  K )
)
65fveq1d 5693 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( DVecH `  k ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )
76fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LSubSp `
 ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  (
LSubSp `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) )
86fveq2d 5695 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (LFnl `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
9 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( ocH `  k )  =  ( ocH `  K
) )
109fveq1d 5693 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( ocH `  k
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  w
) )
116fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
1211fveq1d 5693 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
(LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )
1310, 12fveq12d 5697 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )
1410, 13fveq12d 5697 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) ) )
1514, 12eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (
( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )  <->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )
1613sseq1d 3383 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
)  C_  s  <->  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) )
1715, 16anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s )  <->  ( (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) ) )
188, 17rabeqbidv 2967 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) }  =  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } )
197, 18mpteq12dv 4370 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
s  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } )  =  ( s  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) )
204, 19mpteq12dv 4370 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) )
21 df-mapd 35270 . . 3  |- mapd  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) )
22 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
233, 22eqeltri 2513 . . . 4  |-  H  e. 
_V
2423mptex 5948 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) )  e.  _V
2520, 21, 24fvmpt 5774 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  (mapd `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) )
261, 25syl 16 1  |-  ( K  e.  X  ->  (mapd `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719   _Vcvv 2972    C_ wss 3328    e. cmpt 4350   ` cfv 5418   LSubSpclss 17013  LFnlclfn 32702  LKerclk 32730   LHypclh 33628   DVecHcdvh 34723   ocHcoch 34992  mapdcmpd 35269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-mapd 35270
This theorem is referenced by:  mapdfval  35272
  Copyright terms: Public domain W3C validator