Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcv Structured version   Unicode version

Theorem mapdcv 36332
Description: Covering property of the converse of the map defined by df-mapd 36297. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdcv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdcv.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdcv.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdcv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
mapdcv.c  |-  C  =  (  <oLL  `  U )
mapdcv.d  |-  D  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdcv.e  |-  E  =  (  <oLL  `  D )
mapdcv.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdcv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
mapdcv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
Assertion
Ref Expression
mapdcv  |-  ( ph  ->  ( X C Y  <-> 
( M `  X
) E ( M `
 Y ) ) )

Proof of Theorem mapdcv
Dummy variables  v 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdcv.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdcv.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
3 mapdcv.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 mapdcv.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
5 mapdcv.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 mapdcv.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
7 mapdcv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapdsord 36327 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C.  ( M `  Y )  <->  X 
C.  Y ) )
9 mapdcv.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
10 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  D )  =  (
LSubSp `  D )
115adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  v  e.  S )
131, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12mapdcl2 36328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  ( M `  v )  e.  ( LSubSp `  D )
)
145adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
151, 2, 9, 10, 5mapdrn2 36323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  M  =  (
LSubSp `  D ) )
1615eleq2d 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ran  M  <-> 
f  e.  ( LSubSp `  D ) ) )
1716biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  f  e.  ran  M )
181, 2, 3, 4, 14, 17mapdcnvcl 36324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  ( `' M `  f )  e.  S )
191, 2, 14, 17mapdcnvid2 36329 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  ( M `  ( `' M `  f ) )  =  f )
2019eqcomd 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  f  =  ( M `  ( `' M `  f ) ) )
21 fveq2 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( `' M `  f )  ->  ( M `  v )  =  ( M `  ( `' M `  f ) ) )
2221eqeq2d 2474 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( `' M `  f )  ->  (
f  =  ( M `
 v )  <->  f  =  ( M `  ( `' M `  f ) ) ) )
2322rspcev 3207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' M `  f )  e.  S  /\  f  =  ( M `  ( `' M `  f )
) )  ->  E. v  e.  S  f  =  ( M `  v ) )
2418, 20, 23syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  E. v  e.  S  f  =  ( M `  v ) )
25 psseq2 3585 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( M `  v )  ->  (
( M `  X
)  C.  f  <->  ( M `  X )  C.  ( M `  v )
) )
26 psseq1 3584 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( M `  v )  ->  (
f  C.  ( M `  Y )  <->  ( M `  v )  C.  ( M `  Y )
) )
2725, 26anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( M `  v )  ->  (
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <-> 
( ( M `  X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v
)  C.  ( M `  Y ) ) ) )
2827adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  =  ( M `  v ) )  ->  ( (
( M `  X
)  C.  f  /\  f  C.  ( M `  Y ) )  <->  ( ( M `  X )  C.  ( M `  v
)  /\  ( M `  v )  C.  ( M `  Y )
) ) )
2913, 24, 28rexxfrd 4655 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <->  E. v  e.  S  ( ( M `  X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v
)  C.  ( M `  Y ) ) ) )
306adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  X  e.  S )
311, 2, 3, 4, 11, 30, 12mapdsord 36327 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  (
( M `  X
)  C.  ( M `  v )  <->  X  C.  v
) )
327adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  Y  e.  S )
331, 2, 3, 4, 11, 12, 32mapdsord 36327 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  (
( M `  v
)  C.  ( M `  Y )  <->  v  C.  Y
) )
3431, 33anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  (
( ( M `  X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v
)  C.  ( M `  Y ) )  <->  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
3534rexbidva 2963 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  S  ( ( M `
 X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v )  C.  ( M `  Y )
)  <->  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
3629, 35bitrd 253 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <->  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
3736notbid 294 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <->  -.  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
388, 37anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( M `
 X )  C.  ( M `  Y )  /\  -.  E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) ) )  <->  ( X  C.  Y  /\  -.  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) ) )
39 mapdcv.e . . 3  |-  E  =  (  <oLL  `  D )
401, 9, 5lcdlmod 36264 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  LMod )
411, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 6mapdcl2 36328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  ( LSubSp `  D ) )
421, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 7mapdcl2 36328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  ( LSubSp `  D ) )
4310, 39, 40, 41, 42lcvbr 33693 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X ) E ( M `  Y )  <-> 
( ( M `  X )  C.  ( M `  Y )  /\  -.  E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) ) ) ) )
44 mapdcv.c . . 3  |-  C  =  (  <oLL  `  U )
451, 3, 5dvhlmod 35782 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
464, 44, 45, 6, 7lcvbr 33693 . 2  |-  ( ph  ->  ( X C Y  <-> 
( X  C.  Y  /\  -.  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y
) ) ) )
4738, 43, 463bitr4rd 286 1  |-  ( ph  ->  ( X C Y  <-> 
( M `  X
) E ( M `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2808    C. wpss 3470   class class class wbr 4440   `'ccnv 4991   ran crn 4993   ` cfv 5579   LModclmod 17288   LSubSpclss 17354    <oLL clcv 33690   HLchlt 34022   LHypclh 34655   DVecHcdvh 35750  LCDualclcd 36258  mapdcmpd 36296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-undef 6992  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-oppg 16169  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lvec 17525  df-lsatoms 33648  df-lshyp 33649  df-lcv 33691  df-lfl 33730  df-lkr 33758  df-ldual 33796  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tgrp 35414  df-tendo 35426  df-edring 35428  df-dveca 35674  df-disoa 35701  df-dvech 35751  df-dib 35811  df-dic 35845  df-dih 35901  df-doch 36020  df-djh 36067  df-lcdual 36259  df-mapd 36297
This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  36338  mapdat  36339
  Copyright terms: Public domain W3C validator