Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcv Structured version   Unicode version

Theorem mapdcv 35302
Description: Covering property of the converse of the map defined by df-mapd 35267. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdcv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdcv.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdcv.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdcv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
mapdcv.c  |-  C  =  (  <oLL  `  U )
mapdcv.d  |-  D  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdcv.e  |-  E  =  (  <oLL  `  D )
mapdcv.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdcv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
mapdcv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
Assertion
Ref Expression
mapdcv  |-  ( ph  ->  ( X C Y  <-> 
( M `  X
) E ( M `
 Y ) ) )

Proof of Theorem mapdcv
Dummy variables  v 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdcv.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdcv.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
3 mapdcv.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 mapdcv.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
5 mapdcv.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 mapdcv.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
7 mapdcv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapdsord 35297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C.  ( M `  Y )  <->  X 
C.  Y ) )
9 mapdcv.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
10 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  D )  =  (
LSubSp `  D )
115adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  v  e.  S )
131, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12mapdcl2 35298 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  ( M `  v )  e.  ( LSubSp `  D )
)
145adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
151, 2, 9, 10, 5mapdrn2 35293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  M  =  (
LSubSp `  D ) )
1615eleq2d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ran  M  <-> 
f  e.  ( LSubSp `  D ) ) )
1716biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  f  e.  ran  M )
181, 2, 3, 4, 14, 17mapdcnvcl 35294 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  ( `' M `  f )  e.  S )
191, 2, 14, 17mapdcnvid2 35299 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  ( M `  ( `' M `  f ) )  =  f )
2019eqcomd 2446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  f  =  ( M `  ( `' M `  f ) ) )
21 fveq2 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( `' M `  f )  ->  ( M `  v )  =  ( M `  ( `' M `  f ) ) )
2221eqeq2d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( `' M `  f )  ->  (
f  =  ( M `
 v )  <->  f  =  ( M `  ( `' M `  f ) ) ) )
2322rspcev 3071 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' M `  f )  e.  S  /\  f  =  ( M `  ( `' M `  f )
) )  ->  E. v  e.  S  f  =  ( M `  v ) )
2418, 20, 23syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  E. v  e.  S  f  =  ( M `  v ) )
25 psseq2 3442 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( M `  v )  ->  (
( M `  X
)  C.  f  <->  ( M `  X )  C.  ( M `  v )
) )
26 psseq1 3441 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( M `  v )  ->  (
f  C.  ( M `  Y )  <->  ( M `  v )  C.  ( M `  Y )
) )
2725, 26anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( M `  v )  ->  (
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <-> 
( ( M `  X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v
)  C.  ( M `  Y ) ) ) )
2827adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  =  ( M `  v ) )  ->  ( (
( M `  X
)  C.  f  /\  f  C.  ( M `  Y ) )  <->  ( ( M `  X )  C.  ( M `  v
)  /\  ( M `  v )  C.  ( M `  Y )
) ) )
2913, 24, 28rexxfrd 4505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <->  E. v  e.  S  ( ( M `  X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v
)  C.  ( M `  Y ) ) ) )
306adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  X  e.  S )
311, 2, 3, 4, 11, 30, 12mapdsord 35297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  (
( M `  X
)  C.  ( M `  v )  <->  X  C.  v
) )
327adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  Y  e.  S )
331, 2, 3, 4, 11, 12, 32mapdsord 35297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  (
( M `  v
)  C.  ( M `  Y )  <->  v  C.  Y
) )
3431, 33anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  (
( ( M `  X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v
)  C.  ( M `  Y ) )  <->  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
3534rexbidva 2730 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  S  ( ( M `
 X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v )  C.  ( M `  Y )
)  <->  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
3629, 35bitrd 253 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <->  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
3736notbid 294 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <->  -.  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
388, 37anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( M `
 X )  C.  ( M `  Y )  /\  -.  E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) ) )  <->  ( X  C.  Y  /\  -.  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) ) )
39 mapdcv.e . . 3  |-  E  =  (  <oLL  `  D )
401, 9, 5lcdlmod 35234 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  LMod )
411, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 6mapdcl2 35298 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  ( LSubSp `  D ) )
421, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 7mapdcl2 35298 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  ( LSubSp `  D ) )
4310, 39, 40, 41, 42lcvbr 32663 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X ) E ( M `  Y )  <-> 
( ( M `  X )  C.  ( M `  Y )  /\  -.  E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) ) ) ) )
44 mapdcv.c . . 3  |-  C  =  (  <oLL  `  U )
451, 3, 5dvhlmod 34752 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
464, 44, 45, 6, 7lcvbr 32663 . 2  |-  ( ph  ->  ( X C Y  <-> 
( X  C.  Y  /\  -.  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y
) ) ) )
4738, 43, 463bitr4rd 286 1  |-  ( ph  ->  ( X C Y  <-> 
( M `  X
) E ( M `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2714    C. wpss 3327   class class class wbr 4290   `'ccnv 4837   ran crn 4839   ` cfv 5416   LModclmod 16946   LSubSpclss 17011    <oLL clcv 32660   HLchlt 32992   LHypclh 33625   DVecHcdvh 34720  LCDualclcd 35228  mapdcmpd 35266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-riotaBAD 32601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-tpos 6743  df-undef 6790  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-0g 14378  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-poset 15114  df-plt 15126  df-lub 15142  df-glb 15143  df-join 15144  df-meet 15145  df-p0 15207  df-p1 15208  df-lat 15214  df-clat 15276  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-subg 15676  df-cntz 15833  df-oppg 15859  df-lsm 16133  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-dvr 16773  df-drng 16832  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-lsp 17051  df-lvec 17182  df-lsatoms 32618  df-lshyp 32619  df-lcv 32661  df-lfl 32700  df-lkr 32728  df-ldual 32766  df-oposet 32818  df-ol 32820  df-oml 32821  df-covers 32908  df-ats 32909  df-atl 32940  df-cvlat 32964  df-hlat 32993  df-llines 33139  df-lplanes 33140  df-lvols 33141  df-lines 33142  df-psubsp 33144  df-pmap 33145  df-padd 33437  df-lhyp 33629  df-laut 33630  df-ldil 33745  df-ltrn 33746  df-trl 33800  df-tgrp 34384  df-tendo 34396  df-edring 34398  df-dveca 34644  df-disoa 34671  df-dvech 34721  df-dib 34781  df-dic 34815  df-dih 34871  df-doch 34990  df-djh 35037  df-lcdual 35229  df-mapd 35267
This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  35308  mapdat  35309
  Copyright terms: Public domain W3C validator