Theorem mapd0 36818

Description: Projectivity map of the zero subspace. Part of property (f) in [Baer] p. 40. TODO: does proof need to be this long for this simple fact? (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapd0.h	|- H = ( LHyp ` K )
mapd0.m	|- M = ( (mapd ` K ) ` W )
mapd0.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
mapd0.o	|- O = ( 0g ` U )
mapd0.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
mapd0.z	|- .0. = ( 0g ` C )
mapd0.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
mapd0	|- ( ph -> ( M ` { O } ) = { .0. } )

Proof of Theorem mapd0

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapd0.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
2		mapd0.u	. . 3 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		eqid 2467	. . 3 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
4		eqid 2467	. . 3 |- (LFnl ` U ) = (LFnl ` U )
5		eqid 2467	. . 3 |- (LKer ` U ) = (LKer ` U )
6		eqid 2467	. . 3 |- ( ( ocH ` K ) ` W ) = ( ( ocH ` K ) ` W )
7		mapd0.m	. . 3 |- M = ( (mapd ` K ) ` W )
8		mapd0.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9	1, 2, 8	dvhlmod 36263	. . . 4 |- ( ph -> U e. LMod )
10		mapd0.o	. . . . 5 |- O = ( 0g ` U )
11	10, 3	lsssn0 17465	. . . 4 |- ( U e. LMod -> { O } e. ( LSubSp ` U ) )
12	9, 11	syl 16	. . 3 |- ( ph -> { O } e. ( LSubSp ` U ) )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12	mapdval 36781	. 2 |- ( ph -> ( M ` { O } ) = { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) C_ { O } ) } )
14		simprrr 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } )
15	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> U e. LMod )
16	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
17		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
18		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> g e. (LFnl ` U ) )
19	17, 4, 5, 15, 18	lkrssv 34249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> ( (LKer ` U ) ` g ) C_ ( Base ` U ) )
20	1, 2, 17, 3, 6	dochlss 36507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( (LKer ` U ) ` g ) C_ ( Base ` U ) ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
21	16, 19, 20	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
22	10, 3	lssle0 17467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. LMod /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) -> ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } <-> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) = { O } ) )
23	15, 21, 22	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } <-> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) = { O } ) )
24	14, 23	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) = { O } )
25	24	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` { O } ) )
26		simprrl 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) )
27	1, 2, 6, 17, 10	doch0 36511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` { O } ) = ( Base ` U ) )
28	8, 27	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` { O } ) = ( Base ` U ) )
29	28	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` { O } ) = ( Base ` U ) )
30	25, 26, 29	3eqtr3d 2516	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> ( (LKer ` U ) ` g ) = ( Base ` U ) )
31		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- (Scalar ` U ) = (Scalar ` U )
32		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` (Scalar ` U ) ) = ( 0g ` (Scalar ` U ) )
33	31, 32, 17, 4, 5	lkr0f 34247	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. LMod /\ g e. (LFnl ` U ) ) -> ( ( (LKer ` U ) ` g ) = ( Base ` U ) <-> g = ( ( Base ` U ) X. { ( 0g ` (Scalar ` U ) ) } ) ) )
34	15, 18, 33	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> ( ( (LKer ` U ) ` g ) = ( Base ` U ) <-> g = ( ( Base ` U ) X. { ( 0g ` (Scalar ` U ) ) } ) ) )
35	30, 34	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> g = ( ( Base ` U ) X. { ( 0g ` (Scalar ` U ) ) } ) )
36		mapd0.c	. . . . . . . . 9 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
37		mapd0.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` C )
38	1, 2, 17, 31, 32, 36, 37, 8	lcd0v 36764	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .0. = ( ( Base ` U ) X. { ( 0g ` (Scalar ` U ) ) } ) )
39	38	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> .0. = ( ( Base ` U ) X. { ( 0g ` (Scalar ` U ) ) } ) )
40	35, 39	eqtr4d 2511	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) -> g = .0. )
41	40	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) -> g = .0. ) )
42		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
43	1, 36, 42, 37, 8	lcd0vcl 36767	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` C ) )
44	1, 36, 42, 2, 4, 8, 43	lcdvbaselfl 36748	. . . . . . 7 |- ( ph -> .0. e. (LFnl ` U ) )
45	31, 32, 17, 4, 5	lkr0f 34247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. LMod /\ .0. e. (LFnl ` U ) ) -> ( ( (LKer ` U ) ` .0. ) = ( Base ` U ) <-> .0. = ( ( Base ` U ) X. { ( 0g ` (Scalar ` U ) ) } ) ) )
46	9, 44, 45	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( (LKer ` U ) ` .0. ) = ( Base ` U ) <-> .0. = ( ( Base ` U ) X. { ( 0g ` (Scalar ` U ) ) } ) ) )
47	38, 46	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (LKer ` U ) ` .0. ) = ( Base ` U ) )
48	47	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) = ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( Base ` U ) ) )
49	48	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) ) = ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( Base ` U ) ) ) )
50	1, 2, 6, 17, 8	dochoc1 36514	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( Base ` U ) ) ) = ( Base ` U ) )
51	49, 50	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) ) = ( Base ` U ) )
52	51, 47	eqtr4d 2511	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` .0. ) )
53	1, 2, 6, 17, 10	doch1 36512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( Base ` U ) ) = { O } )
54	8, 53	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( Base ` U ) ) = { O } )
55	48, 54	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) = { O } )
56		eqimss 3561	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) = { O } -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) C_ { O } )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) C_ { O } )
58	44, 52, 57	jca32 535	. . . . . 6 |- ( ph -> ( .0. e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` .0. ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) C_ { O } ) ) )
59		eleq1 2539	. . . . . . 7 |- ( g = .0. -> ( g e. (LFnl ` U ) <-> .0. e. (LFnl ` U ) ) )
60		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = .0. -> ( (LKer ` U ) ` g ) = ( (LKer ` U ) ` .0. ) )
61	60	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( g = .0. -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) = ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) )
62	61	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( g = .0. -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) ) )
63	62, 60	eqeq12d 2489	. . . . . . . 8 |- ( g = .0. -> ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) <-> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) )
64	61	sseq1d 3536	. . . . . . . 8 |- ( g = .0. -> ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } <-> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) C_ { O } ) )
65	63, 64	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( g = .0. -> ( ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) <-> ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` .0. ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) C_ { O } ) ) )
66	59, 65	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( g = .0. -> ( ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) <-> ( .0. e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` .0. ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` .0. ) ) C_ { O } ) ) ) )
67	58, 66	syl5ibrcom 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( g = .0. -> ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) ) )
68	41, 67	impbid 191	. . . 4 |- ( ph -> ( ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) <-> g = .0. ) )
69		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( (LKer ` U ) ` f ) = ( (LKer ` U ) ` g ) )
70	69	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) = ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) )
71	70	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) )
72	71, 69	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) <-> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) ) )
73	70	sseq1d 3536	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) C_ { O } <-> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) )
74	72, 73	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( f = g -> ( ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) C_ { O } ) <-> ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) )
75	74	elrab 3266	. . . 4 |- ( g e. { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) C_ { O } ) } <-> ( g e. (LFnl ` U ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` g ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` g ) ) C_ { O } ) ) )
76		elsn 4047	. . . 4 |- ( g e. { .0. } <-> g = .0. )
77	68, 75, 76	3bitr4g 288	. . 3 |- ( ph -> ( g e. { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) C_ { O } ) } <-> g e. { .0. } ) )
78	77	eqrdv 2464	. 2 |- ( ph -> { f e. (LFnl ` U ) | ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` U ) ` f ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( (LKer ` U ) ` f ) ) C_ { O } ) } = { .0. } )
79	13, 78	eqtrd 2508	1 |- ( ph -> ( M ` { O } ) = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {crab 2821   C_ wss 3481   {csn 4033   X. cxp 5003   ` cfv 5594   Basecbs 14507  Scalarcsca 14575   0gc0g 14712   LModclmod 17383   LSubSpclss 17449  LFnlclfn 34210  LKerclk 34238   HLchlt 34503   LHypclh 35136   DVecHcdvh 36231   ocHcoch 36500  LCDualclcd 36739  mapdcmpd 36777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-riotaBAD 34112

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-undef 7014  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-0g 14714  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-oppg 16253  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lvec 17620  df-lsatoms 34129  df-lshyp 34130  df-lcv 34172  df-lfl 34211  df-lkr 34239  df-ldual 34277  df-oposet 34329  df-ol 34331  df-oml 34332  df-covers 34419  df-ats 34420  df-atl 34451  df-cvlat 34475  df-hlat 34504  df-llines 34650  df-lplanes 34651  df-lvols 34652  df-lines 34653  df-psubsp 34655  df-pmap 34656  df-padd 34948  df-lhyp 35140  df-laut 35141  df-ldil 35256  df-ltrn 35257  df-trl 35311  df-tgrp 35895  df-tendo 35907  df-edring 35909  df-dveca 36155  df-disoa 36182  df-dvech 36232  df-dib 36292  df-dic 36326  df-dih 36382  df-doch 36501  df-djh 36548  df-lcdual 36740  df-mapd 36778

This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  36819  mapdat  36820  mapdspex  36821  mapdn0  36822  hdmap10  36996  hdmapeq0  37000