Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapco2g Structured version   Unicode version

Theorem mapco2g 30812
Description: Renaming indexes in a tuple, with sethood as antecedents. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapco2g  |-  ( ( E  e.  _V  /\  A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D : E --> C )  -> 
( A  o.  D
)  e.  ( B  ^m  E ) )

Proof of Theorem mapco2g
StepHypRef Expression
1 elmapi 7359 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  A : C --> B )
2 fco 5649 . . . 4  |-  ( ( A : C --> B  /\  D : E --> C )  ->  ( A  o.  D ) : E --> B )
31, 2sylan 469 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D : E --> C )  ->  ( A  o.  D ) : E --> B )
433adant1 1012 . 2  |-  ( ( E  e.  _V  /\  A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D : E --> C )  -> 
( A  o.  D
) : E --> B )
5 n0i 3716 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  -.  ( B  ^m  C )  =  (/) )
6 reldmmap 7347 . . . . . 6  |-  Rel  dom  ^m
76ovprc1 6227 . . . . 5  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  ( B  ^m  C )  =  (/) )
85, 7nsyl2 127 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  ^m  C )  ->  B  e.  _V )
983ad2ant2 1016 . . 3  |-  ( ( E  e.  _V  /\  A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D : E --> C )  ->  B  e.  _V )
10 simp1 994 . . 3  |-  ( ( E  e.  _V  /\  A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D : E --> C )  ->  E  e.  _V )
119, 10elmapd 7352 . 2  |-  ( ( E  e.  _V  /\  A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D : E --> C )  -> 
( ( A  o.  D )  e.  ( B  ^m  E )  <-> 
( A  o.  D
) : E --> B ) )
124, 11mpbird 232 1  |-  ( ( E  e.  _V  /\  A  e.  ( B  ^m  C )  /\  D : E --> C )  -> 
( A  o.  D
)  e.  ( B  ^m  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034   (/)c0 3711    o. ccom 4917   -->wf 5492  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-map 7340
This theorem is referenced by:  mapco2  30813  eldioph2  30860
  Copyright terms: Public domain W3C validator