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Theorem mamuvs2 19417
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamuvs2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mamuvs2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamuvs2.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mamuvs2.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamuvs2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamuvs2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamuvs2.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuvs2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuvs2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
mamuvs2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamuvs2  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  ( X F Z ) ) )

Proof of Theorem mamuvs2
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  Z
) k )  =  ( ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) `  <. j ,  k >. )
2 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
3 simplrr 769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
4 opelxpi 4881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  N  /\  k  e.  O )  -> 
<. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O
) )
52, 3, 4syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )
6 mamuvs2.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
7 mamuvs2.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
8 xpfi 7844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
96, 7, 8syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
109ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( N  X.  O )  e. 
Fin )
11 mamuvs2.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1211ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  B )
13 mamuvs2.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
14 elmapi 7497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
15 ffn 5742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z : ( N  X.  O ) --> B  ->  Z  Fn  ( N  X.  O ) )
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  Fn  ( N  X.  O ) )
1716ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z  Fn  ( N  X.  O
) )
18 df-ov 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j Z k )  =  ( Z `  <. j ,  k >. )
1918eqcomi 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z `
 <. j ,  k
>. )  =  (
j Z k )
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )  ->  ( Z `  <. j ,  k
>. )  =  (
j Z k ) )
2110, 12, 17, 20ofc1 6564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )  ->  ( (
( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) `  <. j ,  k >.
)  =  ( Y 
.x.  ( j Z k ) ) )
225, 21mpdan 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  Z
) `  <. j ,  k >. )  =  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )
231, 22syl5eq 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) k )  =  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )
2423oveq2d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  Z
) k ) )  =  ( ( i X j )  .x.  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) ) )
25 mamuvs2.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
26 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2726crngmgp 17775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
2825, 27syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
2928ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
30 mamuvs2.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
31 elmapi 7497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
3332ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
34 simplrl 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
3533, 34, 2fovrnd 6451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
3613, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
3736ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
3837, 2, 3fovrnd 6451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
39 mamuvs2.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  R
)
4026, 39mgpbas 17716 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
41 mamuvs2.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4226, 41mgpplusg 17714 . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
4340, 42cmn12 17437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  /\  ( ( i X j )  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  -> 
( ( i X j )  .x.  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4429, 35, 12, 38, 43syl13anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( Y 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4524, 44eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  Z
) k ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4645mpteq2dva 4507 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
4746oveq2d 6317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
48 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
49 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
50 crngring 17778 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
5125, 50syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5251adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
536adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
5411adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  B )
5551ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
5639, 41ringcl 17781 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) )  e.  B )
5755, 35, 38, 56syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) )  e.  B )
58 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) )
59 ovex 6329 . . . . . . . 8  |-  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) )  e. 
_V
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) )  e.  _V )
61 fvex 5887 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
6261a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( 0g `  R
)  e.  _V )
6358, 53, 60, 62fsuppmptdm 7896 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) finSupp  ( 0g
`  R ) )
6439, 48, 49, 41, 52, 53, 54, 57, 63gsummulc2 17822 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
6547, 64eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) k ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
66 mamuvs2.f . . . . 5  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
6725adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  CRing )
68 mamuvs2.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
6968adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
707adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
7130adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
72 fconst6g 5785 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( N  X.  O
)  X.  { Y } ) : ( N  X.  O ) --> B )
7311, 72syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  X.  O )  X.  { Y } ) : ( N  X.  O ) --> B )
74 fvex 5887 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
7539, 74eqeltri 2506 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
76 elmapg 7489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( N  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  <->  ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( N  X.  O ) --> B ) )
7775, 9, 76sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  <->  ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( N  X.  O ) --> B ) )
7873, 77mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
7939, 41ringvcl 19409 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( N  X.  O
)  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) )  /\  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )  ->  ( (
( N  X.  O
)  X.  { Y } )  oF  .x.  Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
8051, 78, 13, 79syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  Z
)  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
8180adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  Z
)  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
82 simprl 762 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
83 simprr 764 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
8466, 39, 41, 67, 69, 53, 70, 71, 81, 82, 83mamufv 19398 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) k ) ) ) ) )
85 df-ov 6304 . . . . 5  |-  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) k )  =  ( ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )
86 opelxpi 4881 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
8786adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
88 xpfi 7844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8968, 7, 88syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
9089adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
9139, 51, 66, 68, 6, 7, 30, 13mamucl 19412 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
92 elmapi 7497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
93 ffn 5742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9594adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
96 df-ov 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( i ( X F Z ) k )  =  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
9713adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
9866, 39, 41, 67, 69, 53, 70, 71, 97, 82, 83mamufv 19398 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
9996, 98syl5eqr 2477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
10099adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
10190, 54, 95, 100ofc1 6564 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( ( M  X.  O
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
10287, 101mpdan 672 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  ( X F Z ) ) `  <. i ,  k >. )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
10385, 102syl5eq 2475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) k )  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
10465, 84, 1033eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) k ) )
105104ralrimivva 2846 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) k ) )
10639, 51, 66, 68, 6, 7, 30, 80mamucl 19412 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
107 elmapi 7497 . . . 4  |-  ( ( X F ( ( ( N  X.  O
)  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B )
108 ffn 5742 . . . 4  |-  ( ( X F ( ( ( N  X.  O
)  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
109106, 107, 1083syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
110 fconst6g 5785 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( M  X.  O
)  X.  { Y } ) : ( M  X.  O ) --> B )
11111, 110syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { Y } ) : ( M  X.  O ) --> B )
112 elmapg 7489 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
11375, 89, 112sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
114111, 113mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
11539, 41ringvcl 19409 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  O
)  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  /\  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( (
( M  X.  O
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
11651, 114, 91, 115syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
117 elmapi 7497 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B )
118 ffn 5742 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B  ->  (
( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
119116, 117, 1183syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
120 eqfnov2 6413 . . 3  |-  ( ( ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O )  /\  (
( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )  ->  (
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) k ) ) )
121109, 119, 120syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X F ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  Z
) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  ( X F Z ) ) k ) ) )
122105, 121mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  ( X F Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081   {csn 3996   <.cop 4002   <.cotp 4004    |-> cmpt 4479    X. cxp 4847    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    oFcof 6539    ^m cmap 7476   Fincfn 7573   Basecbs 15108   +g cplusg 15177   .rcmulr 15178   0gc0g 15325    gsumg cgsu 15326  CMndccmn 17417  mulGrpcmgp 17710   Ringcrg 17767   CRingccrg 17768   maMul cmmul 19394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-ot 4005  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-oi 8027  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-hash 12515  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-plusg 15190  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-mhm 16569  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-ghm 16868  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-abl 17420  df-mgp 17711  df-ur 17723  df-ring 17769  df-cring 17770  df-mamu 19395
This theorem is referenced by:  matassa  19455
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