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Theorem mamuvs2 18675
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamuvs2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mamuvs2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamuvs2.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mamuvs2.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamuvs2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamuvs2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamuvs2.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuvs2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuvs2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
mamuvs2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamuvs2  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  ( X F Z ) ) )

Proof of Theorem mamuvs2
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  Z
) k )  =  ( ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) `  <. j ,  k >. )
2 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
3 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
4 opelxpi 5030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  N  /\  k  e.  O )  -> 
<. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O
) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )
6 mamuvs2.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
7 mamuvs2.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
8 xpfi 7787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
96, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( N  X.  O )  e. 
Fin )
11 mamuvs2.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  B )
13 mamuvs2.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
14 elmapi 7437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
15 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z : ( N  X.  O ) --> B  ->  Z  Fn  ( N  X.  O ) )
1613, 14, 153syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  Fn  ( N  X.  O ) )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z  Fn  ( N  X.  O
) )
18 df-ov 6285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j Z k )  =  ( Z `  <. j ,  k >. )
1918eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z `
 <. j ,  k
>. )  =  (
j Z k )
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )  ->  ( Z `  <. j ,  k
>. )  =  (
j Z k ) )
2110, 12, 17, 20ofc1 6545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )  ->  ( (
( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) `  <. j ,  k >.
)  =  ( Y 
.x.  ( j Z k ) ) )
225, 21mpdan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  Z
) `  <. j ,  k >. )  =  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )
231, 22syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) k )  =  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )
2423oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  Z
) k ) )  =  ( ( i X j )  .x.  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) ) )
25 mamuvs2.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
26 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2726crngmgp 16994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
2825, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
30 mamuvs2.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
31 elmapi 7437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
34 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
3533, 34, 2fovrnd 6429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
3613, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
3837, 2, 3fovrnd 6429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
39 mamuvs2.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  R
)
4026, 39mgpbas 16937 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
41 mamuvs2.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4226, 41mgpplusg 16935 . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
4340, 42cmn12 16614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  /\  ( ( i X j )  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  -> 
( ( i X j )  .x.  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4429, 35, 12, 38, 43syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( Y 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4524, 44eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  Z
) k ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4645mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
4746oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
48 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
49 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
50 crngrng 16996 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
5125, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5251adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
536adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
5411adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  B )
5551ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
5639, 41rngcl 16999 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) )  e.  B )
5755, 35, 38, 56syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) )  e.  B )
58 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) )
59 ovex 6307 . . . . . . . 8  |-  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) )  e. 
_V
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) )  e.  _V )
61 fvex 5874 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
6261a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( 0g `  R
)  e.  _V )
6358, 53, 60, 62fsuppmptdm 7836 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) finSupp  ( 0g
`  R ) )
6439, 48, 49, 41, 52, 53, 54, 57, 63gsummulc2 17037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
6547, 64eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) k ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
66 mamuvs2.f . . . . 5  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
6725adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  CRing )
68 mamuvs2.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
6968adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
707adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
7130adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
72 fconst6g 5772 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( N  X.  O
)  X.  { Y } ) : ( N  X.  O ) --> B )
7311, 72syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  X.  O )  X.  { Y } ) : ( N  X.  O ) --> B )
74 fvex 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
7539, 74eqeltri 2551 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
76 elmapg 7430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( N  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  <->  ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( N  X.  O ) --> B ) )
7775, 9, 76sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  <->  ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( N  X.  O ) --> B ) )
7873, 77mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
7939, 41rngvcl 18667 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( N  X.  O
)  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) )  /\  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )  ->  ( (
( N  X.  O
)  X.  { Y } )  oF  .x.  Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
8051, 78, 13, 79syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  Z
)  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
8180adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  Z
)  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
82 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
83 simprr 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
8466, 39, 41, 67, 69, 53, 70, 71, 81, 82, 83mamufv 18656 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) k ) ) ) ) )
85 df-ov 6285 . . . . 5  |-  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) k )  =  ( ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )
86 opelxpi 5030 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
8786adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
88 xpfi 7787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8968, 7, 88syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
9089adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
9139, 51, 66, 68, 6, 7, 30, 13mamucl 18670 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
92 elmapi 7437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
93 ffn 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9491, 92, 933syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9594adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
96 df-ov 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( i ( X F Z ) k )  =  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
9713adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
9866, 39, 41, 67, 69, 53, 70, 71, 97, 82, 83mamufv 18656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
9996, 98syl5eqr 2522 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
10099adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
10190, 54, 95, 100ofc1 6545 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( ( M  X.  O
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
10287, 101mpdan 668 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  ( X F Z ) ) `  <. i ,  k >. )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
10385, 102syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) k )  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
10465, 84, 1033eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) k ) )
105104ralrimivva 2885 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) k ) )
10639, 51, 66, 68, 6, 7, 30, 80mamucl 18670 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
107 elmapi 7437 . . . 4  |-  ( ( X F ( ( ( N  X.  O
)  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B )
108 ffn 5729 . . . 4  |-  ( ( X F ( ( ( N  X.  O
)  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
109106, 107, 1083syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
110 fconst6g 5772 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( M  X.  O
)  X.  { Y } ) : ( M  X.  O ) --> B )
11111, 110syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { Y } ) : ( M  X.  O ) --> B )
112 elmapg 7430 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
11375, 89, 112sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
114111, 113mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
11539, 41rngvcl 18667 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  O
)  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  /\  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( (
( M  X.  O
)  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
11651, 114, 91, 115syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
117 elmapi 7437 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B )
118 ffn 5729 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B  ->  (
( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
119116, 117, 1183syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
120 eqfnov2 6391 . . 3  |-  ( ( ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O )  /\  (
( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )  ->  (
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) ) k ) ) )
121109, 119, 120syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X F ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  oF  .x.  Z
) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  ( X F Z ) ) k ) ) )
122105, 121mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  oF  .x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  oF  .x.  ( X F Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   {csn 4027   <.cop 4033   <.cotp 4035    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oFcof 6520    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   .rcmulr 14552   0gc0g 14691    gsumg cgsu 14692  CMndccmn 16594  mulGrpcmgp 16931   Ringcrg 16986   CRingccrg 16987   maMul cmmul 18652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-mamu 18653
This theorem is referenced by:  matassa  18713
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