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Theorem mamuvs1 19361
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudi.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamudi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamudi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamudi.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuvs1.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mamuvs1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mamuvs1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuvs1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamuvs1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) )

Proof of Theorem mamuvs1
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 mamuvs1.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 mamucl.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
65adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
7 mamudi.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
87adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
9 mamuvs1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
109adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  B )
115ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
12 mamuvs1.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
13 elmapi 7501 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
1514ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
16 simplrl 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
17 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
1815, 16, 17fovrnd 6455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i Y j )  e.  B )
19 mamuvs1.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
20 elmapi 7501 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2221ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
23 simplrr 769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
2422, 17, 23fovrnd 6455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
251, 4ringcl 17729 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) )  e.  B )
2611, 18, 24, 25syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) )  e.  B )
27 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) )
28 ovex 6333 . . . . . . . 8  |-  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) )  e. 
_V
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) )  e.  _V )
30 fvex 5891 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( 0g `  R
)  e.  _V )
3227, 8, 29, 31fsuppmptdm 7900 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) finSupp  ( 0g
`  R ) )
331, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 26, 32gsummulc2 17770 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( X  .x.  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
34 df-ov 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( i ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .x.  Y
) j )  =  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) `  <. i ,  j >. )
35 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
36 opelxpi 4886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  M  /\  j  e.  N )  -> 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) )
3735, 36sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
38 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
39 xpfi 7848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
4038, 7, 39syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
4140ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( M  X.  N )  e. 
Fin )
429ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  B )
43 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y : ( M  X.  N ) --> B  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4412, 13, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4544ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  Fn  ( M  X.  N
) )
46 df-ov 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i Y j )  =  ( Y `  <. i ,  j >. )
4746eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y `
 <. i ,  j
>. )  =  (
i Y j )
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )  ->  ( Y `  <. i ,  j
>. )  =  (
i Y j ) )
4941, 42, 45, 48ofc1 6568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )  ->  ( (
( ( M  X.  N )  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( X 
.x.  ( i Y j ) ) )
5037, 49mpdan 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .x.  Y
) `  <. i ,  j >. )  =  ( X  .x.  ( i Y j ) ) )
5134, 50syl5eq 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) j )  =  ( X  .x.  ( i Y j ) ) )
5251oveq1d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( ( X 
.x.  ( i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) ) )
531, 4ringass 17732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  ( i Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( ( X  .x.  ( i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) )
5411, 42, 18, 24, 53syl13anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( X  .x.  (
i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
5552, 54eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
5655mpteq2dva 4512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( X 
.x.  ( ( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )
5756oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( X  .x.  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
58 mamudi.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
5938adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
60 mamudi.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
6160adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
6212adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
6319adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
64 simprr 764 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
6558, 1, 4, 6, 59, 8, 61, 62, 63, 35, 64mamufv 19343 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( Y F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
6665oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X  .x.  (
i ( Y F Z ) k ) )  =  ( X 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
6733, 57, 663eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) ) )  =  ( X  .x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
68 fconst6g 5789 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  (
( M  X.  N
)  X.  { X } ) : ( M  X.  N ) --> B )
699, 68syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  N )  X.  { X } ) : ( M  X.  N ) --> B )
70 fvex 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
711, 70eqeltri 2513 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
72 elmapg 7493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  N
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  <->  ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  N ) --> B ) )
7371, 40, 72sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  <->  ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  N ) --> B ) )
7469, 73mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
751, 4ringvcl 19354 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  N
)  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) )  /\  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )  ->  ( (
( M  X.  N
)  X.  { X } )  oF  .x.  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
765, 74, 12, 75syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .x.  Y
)  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
7776adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .x.  Y
)  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
7858, 1, 4, 6, 59, 8, 61, 77, 63, 35, 64mamufv 19343 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
79 df-ov 6308 . . . . 5  |-  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )
80 opelxpi 4886 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
8180adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
82 xpfi 7848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8338, 60, 82syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8483adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
851, 5, 58, 38, 7, 60, 12, 19mamucl 19357 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
86 elmapi 7501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( Y F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
87 ffn 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
8885, 86, 873syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
8988adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
90 df-ov 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( i ( Y F Z ) k )  =  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
9190eqcomi 2442 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
i ( Y F Z ) k )
9291a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( i ( Y F Z ) k ) )
9384, 10, 89, 92ofc1 6568 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( X 
.x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9481, 93mpdan 672 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X }
)  oF  .x.  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >. )  =  ( X  .x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9579, 94syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) k )  =  ( X 
.x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9667, 78, 953eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) k ) )
9796ralrimivva 2853 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) k ) )
981, 5, 58, 38, 7, 60, 76, 19mamucl 19357 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
99 elmapi 7501 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .x.  Y
) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  (
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .x.  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B )
100 ffn 5746 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .x.  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
10198, 99, 1003syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
102 fconst6g 5789 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  (
( M  X.  O
)  X.  { X } ) : ( M  X.  O ) --> B )
1039, 102syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { X } ) : ( M  X.  O ) --> B )
104 elmapg 7493 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
10571, 83, 104sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
106103, 105mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
1071, 4ringvcl 19354 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  O
)  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  /\  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( (
( M  X.  O
)  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
1085, 106, 85, 107syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
109 elmapi 7501 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X }
)  oF  .x.  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B )
110 ffn 5746 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B  ->  (
( ( M  X.  O )  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
111108, 109, 1103syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
112 eqfnov2 6417 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) k ) ) )
113101, 111, 112syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) k ) ) )
11497, 113mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087   {csn 4002   <.cop 4008   <.cotp 4010    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153   0gc0g 15297    gsumg cgsu 15298   Ringcrg 17715   maMul cmmul 19339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-mamu 19340
This theorem is referenced by:  matassa  19400  mdetmul  19579
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