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Theorem mamuvs1 18437
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudi.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamudi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamudi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamudi.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuvs1.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mamuvs1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mamuvs1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuvs1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamuvs1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) )

Proof of Theorem mamuvs1
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 mamuvs1.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 mamucl.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
7 mamudi.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
9 mamuvs1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  B )
115ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
12 mamuvs1.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
13 elmapi 7347 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
16 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
17 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
1815, 16, 17fovrnd 6348 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i Y j )  e.  B )
19 mamuvs1.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
20 elmapi 7347 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
23 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
2422, 17, 23fovrnd 6348 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
251, 4rngcl 16784 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) )  e.  B )
2611, 18, 24, 25syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) )  e.  B )
27 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) )
28 ovex 6228 . . . . . . . 8  |-  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) )  e. 
_V
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) )  e.  _V )
30 fvex 5812 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( 0g `  R
)  e.  _V )
3227, 8, 29, 31fsuppmptdm 7745 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) finSupp  ( 0g
`  R ) )
331, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 26, 32gsummulc2 16822 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( X  .x.  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
34 df-ov 6206 . . . . . . . . . 10  |-  ( i ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .x.  Y
) j )  =  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) `  <. i ,  j >. )
35 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
36 opelxpi 4982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  M  /\  j  e.  N )  -> 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) )
3735, 36sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
38 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
39 xpfi 7697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
4038, 7, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( M  X.  N )  e. 
Fin )
429ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  B )
43 ffn 5670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y : ( M  X.  N ) --> B  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4412, 13, 433syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  Fn  ( M  X.  N
) )
46 df-ov 6206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i Y j )  =  ( Y `  <. i ,  j >. )
4746eqcomi 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y `
 <. i ,  j
>. )  =  (
i Y j )
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )  ->  ( Y `  <. i ,  j
>. )  =  (
i Y j ) )
4941, 42, 45, 48ofc1 6456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )  ->  ( (
( ( M  X.  N )  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( X 
.x.  ( i Y j ) ) )
5037, 49mpdan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .x.  Y
) `  <. i ,  j >. )  =  ( X  .x.  ( i Y j ) ) )
5134, 50syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) j )  =  ( X  .x.  ( i Y j ) ) )
5251oveq1d 6218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( ( X 
.x.  ( i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) ) )
531, 4rngass 16787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  ( i Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( ( X  .x.  ( i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) )
5411, 42, 18, 24, 53syl13anc 1221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( X  .x.  (
i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
5552, 54eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
5655mpteq2dva 4489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( X 
.x.  ( ( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )
5756oveq2d 6219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( X  .x.  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
58 mamudi.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
5938adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
60 mamudi.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
6160adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
6212adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
6319adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
64 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
6558, 1, 4, 6, 59, 8, 61, 62, 63, 35, 64mamufv 18413 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( Y F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
6665oveq2d 6219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X  .x.  (
i ( Y F Z ) k ) )  =  ( X 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
6733, 57, 663eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) ) )  =  ( X  .x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
68 fconst6g 5710 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  (
( M  X.  N
)  X.  { X } ) : ( M  X.  N ) --> B )
699, 68syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  N )  X.  { X } ) : ( M  X.  N ) --> B )
70 fvex 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
711, 70eqeltri 2538 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
72 elmapg 7340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  N
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  <->  ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  N ) --> B ) )
7371, 40, 72sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  <->  ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  N ) --> B ) )
7469, 73mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
751, 4rngvcl 18426 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  N
)  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) )  /\  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )  ->  ( (
( M  X.  N
)  X.  { X } )  oF  .x.  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
765, 74, 12, 75syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .x.  Y
)  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
7776adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .x.  Y
)  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
7858, 1, 4, 6, 59, 8, 61, 77, 63, 35, 64mamufv 18413 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
79 df-ov 6206 . . . . 5  |-  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )
80 opelxpi 4982 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
8180adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
82 xpfi 7697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8338, 60, 82syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8483adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
851, 5, 58, 38, 7, 60, 12, 19mamucl 18429 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
86 elmapi 7347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( Y F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
87 ffn 5670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
8885, 86, 873syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
8988adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
90 df-ov 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( i ( Y F Z ) k )  =  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
9190eqcomi 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
i ( Y F Z ) k )
9291a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( i ( Y F Z ) k ) )
9384, 10, 89, 92ofc1 6456 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( X 
.x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9481, 93mpdan 668 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X }
)  oF  .x.  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >. )  =  ( X  .x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9579, 94syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) k )  =  ( X 
.x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9667, 78, 953eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) k ) )
9796ralrimivva 2914 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) k ) )
981, 5, 58, 38, 7, 60, 76, 19mamucl 18429 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
99 elmapi 7347 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .x.  Y
) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  (
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .x.  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B )
100 ffn 5670 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .x.  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
10198, 99, 1003syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
102 fconst6g 5710 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  (
( M  X.  O
)  X.  { X } ) : ( M  X.  O ) --> B )
1039, 102syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { X } ) : ( M  X.  O ) --> B )
104 elmapg 7340 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
10571, 83, 104sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
106103, 105mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
1071, 4rngvcl 18426 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  O
)  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  /\  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( (
( M  X.  O
)  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
1085, 106, 85, 107syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
109 elmapi 7347 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X }
)  oF  .x.  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B )
110 ffn 5670 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B  ->  (
( ( M  X.  O )  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
111108, 109, 1103syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
112 eqfnov2 6310 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) k ) ) )
113101, 111, 112syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  oF  .x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) k ) ) )
11497, 113mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  oF  .x.  ( Y F Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   {csn 3988   <.cop 3994   <.cotp 3996    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oFcof 6431    ^m cmap 7327   Fincfn 7423   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   .rcmulr 14361   0gc0g 14500    gsumg cgsu 14501   Ringcrg 16771   maMul cmmul 18407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-ghm 15867  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-mamu 18409
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