Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamutpos Structured version   Unicode version

Theorem mamutpos 19407
 Description: Behavior of transposes in matrix products, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mamutpos.f maMul
mamutpos.g maMul
mamutpos.b
mamutpos.r
mamutpos.m
mamutpos.n
mamutpos.p
mamutpos.x
mamutpos.y
Assertion
Ref Expression
mamutpos tpos tpos tpos

Proof of Theorem mamutpos
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2420 . . . 4 g g
21tposmpt2 7009 . . 3 tpos g g
3 simpl1 1008 . . . . . . . . 9
4 mamutpos.r . . . . . . . . 9
53, 4syl 17 . . . . . . . 8
6 mamutpos.x . . . . . . . . . 10
7 elmapi 7492 . . . . . . . . . 10
83, 6, 73syl 18 . . . . . . . . 9
9 simpl3 1010 . . . . . . . . 9
10 simpr 462 . . . . . . . . 9
118, 9, 10fovrnd 6446 . . . . . . . 8
12 mamutpos.y . . . . . . . . . 10
13 elmapi 7492 . . . . . . . . . 10
143, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9
15 simpl2 1009 . . . . . . . . 9
1614, 10, 15fovrnd 6446 . . . . . . . 8
17 mamutpos.b . . . . . . . . 9
18 eqid 2420 . . . . . . . . 9
1917, 18crngcom 17723 . . . . . . . 8
205, 11, 16, 19syl3anc 1264 . . . . . . 7
21 ovtpos 6987 . . . . . . . 8 tpos
22 ovtpos 6987 . . . . . . . 8 tpos
2321, 22oveq12i 6308 . . . . . . 7 tpos tpos
2420, 23syl6eqr 2479 . . . . . 6 tpos tpos
2524mpteq2dva 4503 . . . . 5 tpos tpos
2625oveq2d 6312 . . . 4 g g tpos tpos
2726mpt2eq3dva 6360 . . 3 g g tpos tpos
282, 27syl5eq 2473 . 2 tpos g g tpos tpos
29 mamutpos.f . . . 4 maMul
30 mamutpos.m . . . 4
31 mamutpos.n . . . 4
32 mamutpos.p . . . 4
3329, 17, 18, 4, 30, 31, 32, 6, 12mamuval 19335 . . 3 g
3433tposeqd 6975 . 2 tpos tpos g
35 mamutpos.g . . 3 maMul
36 tposmap 19406 . . . 4 tpos
3712, 36syl 17 . . 3 tpos
38 tposmap 19406 . . . 4 tpos
396, 38syl 17 . . 3 tpos
4035, 17, 18, 4, 32, 31, 30, 37, 39mamuval 19335 . 2 tpos tpos g tpos tpos
4128, 34, 403eqtr4d 2471 1 tpos tpos tpos
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1867  cotp 4001   cmpt 4475   cxp 4843  wf 5588  cfv 5592  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  tpos ctpos 6971   cmap 7471  cfn 7568  cbs 15073  cmulr 15143   g cgsu 15291  ccrg 17709   maMul cmmul 19332 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-ot 4002  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6972  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-plusg 15155  df-cmn 17360  df-mgp 17652  df-cring 17711  df-mamu 19333 This theorem is referenced by:  mattposm  19408
 Copyright terms: Public domain W3C validator