Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamures Structured version   Unicode version

Theorem mamures 19339
 Description: Rows in a matrix product are functions only of the corresponding rows in the left argument. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mamures.f maMul
mamures.g maMul
mamures.b
mamures.r
mamures.m
mamures.n
mamures.p
mamures.i
mamures.x
mamures.y
Assertion
Ref Expression
mamures

Proof of Theorem mamures
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamures.i . . . 4
2 ssid 3480 . . . . 5
32a1i 11 . . . 4
4 resmpt2 6399 . . . 4 g g
51, 3, 4syl2anc 665 . . 3 g g
6 ovres 6441 . . . . . . . . 9
763ad2antl2 1168 . . . . . . . 8
87eqcomd 2428 . . . . . . 7
98oveq1d 6311 . . . . . 6
109mpteq2dva 4503 . . . . 5
1110oveq2d 6312 . . . 4 g g
1211mpt2eq3dva 6360 . . 3 g g
135, 12eqtrd 2461 . 2 g g
14 mamures.f . . . 4 maMul
15 mamures.b . . . 4
16 eqid 2420 . . . 4
17 mamures.r . . . 4
18 mamures.m . . . 4
19 mamures.n . . . 4
20 mamures.p . . . 4
21 mamures.x . . . 4
22 mamures.y . . . 4
2314, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22mamuval 19335 . . 3 g
2423reseq1d 5115 . 2 g
25 mamures.g . . 3 maMul
26 ssfi 7789 . . . 4
2718, 1, 26syl2anc 665 . . 3
28 elmapi 7492 . . . . . 6
2921, 28syl 17 . . . . 5
30 xpss1 4954 . . . . . 6
311, 30syl 17 . . . . 5
3229, 31fssresd 5758 . . . 4
33 fvex 5882 . . . . . . 7
3415, 33eqeltri 2504 . . . . . 6
3534a1i 11 . . . . 5
36 xpfi 7839 . . . . . 6
3727, 19, 36syl2anc 665 . . . . 5
3835, 37elmapd 7485 . . . 4
3932, 38mpbird 235 . . 3
4025, 15, 16, 17, 27, 19, 20, 39, 22mamuval 19335 . 2 g
4113, 24, 403eqtr4d 2471 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1867  cvv 3078   wss 3433  cotp 4001   cmpt 4475   cxp 4843   cres 4847  wf 5588  cfv 5592  (class class class)co 6296   cmpt2 6298   cmap 7471  cfn 7568  cbs 15073  cmulr 15143   g cgsu 15291   maMul cmmul 19332 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-ot 4002  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-fin 7572  df-mamu 19333 This theorem is referenced by:  mdetmul  19572
 Copyright terms: Public domain W3C validator