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Theorem mamufacex 18976
Description: Every solution of the equation  A * X  =  B for matrices  A and  B is a matrix. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamudm.e  |-  E  =  ( R freeLMod  ( M  X.  N ) )
mamudm.b  |-  B  =  ( Base `  E
)
mamudm.f  |-  F  =  ( R freeLMod  ( N  X.  P ) )
mamudm.c  |-  C  =  ( Base `  F
)
mamudm.m  |-  .X.  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
mamufacex.g  |-  G  =  ( R freeLMod  ( M  X.  P ) )
mamufacex.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
mamufacex  |-  ( ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D )  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( ( X  .X.  Z )  =  Y  ->  Z  e.  C ) )

Proof of Theorem mamufacex
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3  |-  ( Z  e.  C  ->  (
( X  .X.  Z
)  =  Y  ->  Z  e.  C )
)
21a1d 25 . 2  |-  ( Z  e.  C  ->  (
( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) )  ->  (
( X  .X.  Z
)  =  Y  ->  Z  e.  C )
) )
3 mamudm.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( R freeLMod  ( M  X.  N ) )
4 mamudm.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  E
)
5 mamudm.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( R freeLMod  ( N  X.  P ) )
6 mamudm.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( Base `  F
)
7 mamudm.m . . . . . . . . 9  |-  .X.  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
83, 4, 5, 6, 7mamudm 18975 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  dom  .X.  =  ( B  X.  C
) )
98adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) )  ->  dom  .X.  =  ( B  X.  C ) )
1093adant1 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D )  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  dom  .X.  =  ( B  X.  C
) )
1110adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  ->  dom  .X.  =  ( B  X.  C ) )
12 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  ->  -.  Z  e.  C
)
1312intnand 914 . . . . 5  |-  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  ->  -.  ( X  e.  B  /\  Z  e.  C
) )
14 ndmovg 6357 . . . . 5  |-  ( ( dom  .X.  =  ( B  X.  C )  /\  -.  ( X  e.  B  /\  Z  e.  C
) )  ->  ( X  .X.  Z )  =  (/) )
1511, 13, 14syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  -> 
( X  .X.  Z
)  =  (/) )
16 eqeq1 2386 . . . . . 6  |-  ( ( X  .X.  Z )  =  (/)  ->  ( ( X  .X.  Z )  =  Y  <->  (/)  =  Y ) )
17 xpfi 7706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( M  X.  P
)  e.  Fin )
18173adant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( M  X.  P )  e. 
Fin )
19 xpnz 5336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  <->  ( M  X.  P )  =/=  (/) )
2019biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  ->  ( M  X.  P )  =/=  (/) )
21 mamufacex.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  G  =  ( R freeLMod  ( M  X.  P ) )
22 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
23 mamufacex.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  =  ( Base `  G
)
2421, 22, 23elfrlmbasn0 18885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  X.  P
)  e.  Fin  /\  ( M  X.  P
)  =/=  (/) )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  =/=  (/) ) )
2518, 20, 24syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  /\  ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) ) )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  =/=  (/) ) )
2625ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  (
( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  ->  ( Y  e.  D  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
2726com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  D  ->  (
( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  ->  (
( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
2827adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  V  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  -> 
( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
2928com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  ->  (
( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  ->  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e. 
Fin )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
30293imp 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D )  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  Y  =/=  (/) )
31 eqneqall 2589 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  Z  e.  C ) )
3230, 31syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D )  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( Y  =  (/)  ->  Z  e.  C ) )
3332adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  -> 
( Y  =  (/)  ->  Z  e.  C ) )
3433com12 31 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  ->  Z  e.  C )
)
3534eqcoms 2394 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  Y  ->  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  ->  Z  e.  C )
)
3616, 35syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( ( X  .X.  Z )  =  (/)  ->  ( ( X  .X.  Z )  =  Y  ->  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  ->  Z  e.  C )
) )
3736com23 78 . . . 4  |-  ( ( X  .X.  Z )  =  (/)  ->  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  -> 
( ( X  .X.  Z )  =  Y  ->  Z  e.  C
) ) )
3815, 37mpcom 36 . . 3  |-  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  -> 
( ( X  .X.  Z )  =  Y  ->  Z  e.  C
) )
3938ex 432 . 2  |-  ( -.  Z  e.  C  -> 
( ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D )  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( ( X  .X.  Z )  =  Y  ->  Z  e.  C ) ) )
402, 39pm2.61i 164 1  |-  ( ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D )  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( ( X  .X.  Z )  =  Y  ->  Z  e.  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   (/)c0 3711   <.cotp 3952    X. cxp 4911   dom cdm 4913   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   Basecbs 14634   freeLMod cfrlm 18868   maMul cmmul 18970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-0g 14849  df-prds 14855  df-pws 14857  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-dsmm 18854  df-frlm 18869  df-mamu 18971
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