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Theorem mamufacex 18398
Description: Every solution of the equation  A * X  =  B for matrices  A and  B is a matrix. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamudm.e  |-  E  =  ( R freeLMod  ( M  X.  N ) )
mamudm.b  |-  B  =  ( Base `  E
)
mamudm.f  |-  F  =  ( R freeLMod  ( N  X.  P ) )
mamudm.c  |-  C  =  ( Base `  F
)
mamudm.m  |-  .X.  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
mamufacex.g  |-  G  =  ( R freeLMod  ( M  X.  P ) )
mamufacex.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
mamufacex  |-  ( ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D )  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( ( X  .X.  Z )  =  Y  ->  Z  e.  C ) )

Proof of Theorem mamufacex
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3  |-  ( Z  e.  C  ->  (
( X  .X.  Z
)  =  Y  ->  Z  e.  C )
)
21a1d 25 . 2  |-  ( Z  e.  C  ->  (
( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) )  ->  (
( X  .X.  Z
)  =  Y  ->  Z  e.  C )
) )
3 mamudm.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( R freeLMod  ( M  X.  N ) )
4 mamudm.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  E
)
5 mamudm.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( R freeLMod  ( N  X.  P ) )
6 mamudm.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( Base `  F
)
7 mamudm.m . . . . . . . . 9  |-  .X.  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
83, 4, 5, 6, 7mamudm 18397 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  dom  .X.  =  ( B  X.  C
) )
98adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) )  ->  dom  .X.  =  ( B  X.  C ) )
1093adant1 1006 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D )  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  dom  .X.  =  ( B  X.  C
) )
1110adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  ->  dom  .X.  =  ( B  X.  C ) )
12 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  ->  -.  Z  e.  C
)
1312intnand 907 . . . . 5  |-  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  ->  -.  ( X  e.  B  /\  Z  e.  C
) )
14 ndmovg 6346 . . . . 5  |-  ( ( dom  .X.  =  ( B  X.  C )  /\  -.  ( X  e.  B  /\  Z  e.  C
) )  ->  ( X  .X.  Z )  =  (/) )
1511, 13, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  -> 
( X  .X.  Z
)  =  (/) )
16 eqeq1 2455 . . . . . 6  |-  ( ( X  .X.  Z )  =  (/)  ->  ( ( X  .X.  Z )  =  Y  <->  (/)  =  Y ) )
17 xpfi 7684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( M  X.  P
)  e.  Fin )
18173adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( M  X.  P )  e. 
Fin )
19 xpnz 5355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  <->  ( M  X.  P )  =/=  (/) )
2019biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  ->  ( M  X.  P )  =/=  (/) )
21 mamufacex.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  G  =  ( R freeLMod  ( M  X.  P ) )
22 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
23 mamufacex.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  =  ( Base `  G
)
2421, 22, 23elfrlmbasn0 18299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  X.  P
)  e.  Fin  /\  ( M  X.  P
)  =/=  (/) )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  =/=  (/) ) )
2518, 20, 24syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  /\  ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) ) )  -> 
( Y  e.  D  ->  Y  =/=  (/) ) )
2625ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  (
( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  ->  ( Y  e.  D  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
2726com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  D  ->  (
( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  ->  (
( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  V  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  -> 
( ( M  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
2928com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  ->  (
( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  ->  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e. 
Fin )  ->  Y  =/=  (/) ) ) )
30293imp 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D )  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  Y  =/=  (/) )
31 eqneqall 2657 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( Y  =/=  (/)  ->  Z  e.  C ) )
3230, 31syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D )  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( Y  =  (/)  ->  Z  e.  C ) )
3332adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  -> 
( Y  =  (/)  ->  Z  e.  C ) )
3433com12 31 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  ->  Z  e.  C )
)
3534eqcoms 2463 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  Y  ->  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  ->  Z  e.  C )
)
3616, 35syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( ( X  .X.  Z )  =  (/)  ->  ( ( X  .X.  Z )  =  Y  ->  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  ->  Z  e.  C )
) )
3736com23 78 . . . 4  |-  ( ( X  .X.  Z )  =  (/)  ->  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  -> 
( ( X  .X.  Z )  =  Y  ->  Z  e.  C
) ) )
3815, 37mpcom 36 . . 3  |-  ( ( -.  Z  e.  C  /\  ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D
)  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e. 
Fin  /\  P  e.  Fin ) ) )  -> 
( ( X  .X.  Z )  =  Y  ->  Z  e.  C
) )
3938ex 434 . 2  |-  ( -.  Z  e.  C  -> 
( ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D )  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( ( X  .X.  Z )  =  Y  ->  Z  e.  C ) ) )
402, 39pm2.61i 164 1  |-  ( ( ( M  =/=  (/)  /\  P  =/=  (/) )  /\  ( R  e.  V  /\  Y  e.  D )  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( ( X  .X.  Z )  =  Y  ->  Z  e.  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   (/)c0 3735   <.cotp 3983    X. cxp 4936   dom cdm 4938   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Fincfn 7410   Basecbs 14276   freeLMod cfrlm 18280   maMul cmmul 18388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-ot 3984  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-fz 11539  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-hom 14364  df-cco 14365  df-0g 14482  df-prds 14488  df-pws 14490  df-sra 17359  df-rgmod 17360  df-dsmm 18266  df-frlm 18281  df-mamu 18390
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