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Theorem mamudm 18293
Description: The domain of the matrix multiplication function. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamudm.e  |-  E  =  ( R freeLMod  ( M  X.  N ) )
mamudm.b  |-  B  =  ( Base `  E
)
mamudm.f  |-  F  =  ( R freeLMod  ( N  X.  P ) )
mamudm.c  |-  C  =  ( Base `  F
)
mamudm.m  |-  .X.  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
Assertion
Ref Expression
mamudm  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  dom  .X.  =  ( B  X.  C
) )

Proof of Theorem mamudm
Dummy variables  i 
j  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamudm.m . . . 4  |-  .X.  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  R  e.  V )
5 simpr1 994 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  M  e.  Fin )
6 simpr2 995 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  N  e.  Fin )
7 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  P  e.  Fin )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mamufval 18288 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  .X.  =  ( x  e.  ( (
Base `  R )  ^m  ( M  X.  N
) ) ,  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  P ) ) 
|->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) ) ) )
98dmeqd 5047 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  dom  .X.  =  dom  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( M  X.  N ) ) ,  y  e.  ( (
Base `  R )  ^m  ( N  X.  P
) )  |->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) ) ) )
10 mpt2exga 6654 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) )  e.  _V )
11103adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  (
i  e.  M , 
k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) )  e.  _V )
1211adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r `  R
) ( j y k ) ) ) ) )  e.  _V )
1312a1d 25 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( (
x  e.  ( (
Base `  R )  ^m  ( M  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) ) )  ->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r `  R
) ( j y k ) ) ) ) )  e.  _V ) )
1413ralrimivv 2812 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  A. x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( M  X.  N ) ) A. y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  P
) ) ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) )  e.  _V )
15 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N ) ) ,  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) )  |->  ( i  e.  M , 
k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N ) ) ,  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) )  |->  ( i  e.  M , 
k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) ) )
1615dmmpt2ga 6650 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N
) ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) ) ( i  e.  M , 
k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N
) ) ,  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  P ) ) 
|->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( Base `  R
)  ^m  ( M  X.  N ) )  X.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) ) ) )
1714, 16syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  dom  ( x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N ) ) ,  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) )  |->  ( i  e.  M , 
k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( Base `  R
)  ^m  ( M  X.  N ) )  X.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) ) ) )
18 xpfi 7588 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
19183adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( M  X.  N )  e. 
Fin )
20 mamudm.e . . . . . 6  |-  E  =  ( R freeLMod  ( M  X.  N ) )
2120, 2frlmfibas 18194 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  X.  N
)  e.  Fin )  ->  ( ( Base `  R
)  ^m  ( M  X.  N ) )  =  ( Base `  E
) )
2219, 21sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( ( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N
) )  =  (
Base `  E )
)
23 mamudm.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  E
)
2422, 23syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( ( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N
) )  =  B )
25 xpfi 7588 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( N  X.  P
)  e.  Fin )
26253adant1 1006 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( N  X.  P )  e. 
Fin )
27 mamudm.f . . . . . 6  |-  F  =  ( R freeLMod  ( N  X.  P ) )
2827, 2frlmfibas 18194 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( N  X.  P
)  e.  Fin )  ->  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) )  =  ( Base `  F
) )
2926, 28sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  P
) )  =  (
Base `  F )
)
30 mamudm.c . . . 4  |-  C  =  ( Base `  F
)
3129, 30syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  P
) )  =  C )
3224, 31xpeq12d 4870 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( (
( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N
) )  X.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  P
) ) )  =  ( B  X.  C
) )
339, 17, 323eqtrd 2479 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  dom  .X.  =  ( B  X.  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977   <.cotp 3890    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   dom cdm 4845   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    e. cmpt2 6098    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   Basecbs 14179   .rcmulr 14244    gsumg cgsu 14384   freeLMod cfrlm 18176   maMul cmmul 18284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-ot 3891  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-hom 14267  df-cco 14268  df-0g 14385  df-prds 14391  df-pws 14393  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-dsmm 18162  df-frlm 18177  df-mamu 18286
This theorem is referenced by:  mamufacex  18294
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