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Theorem mamudm 18736
Description: The domain of the matrix multiplication function. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamudm.e  |-  E  =  ( R freeLMod  ( M  X.  N ) )
mamudm.b  |-  B  =  ( Base `  E
)
mamudm.f  |-  F  =  ( R freeLMod  ( N  X.  P ) )
mamudm.c  |-  C  =  ( Base `  F
)
mamudm.m  |-  .X.  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
Assertion
Ref Expression
mamudm  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  dom  .X.  =  ( B  X.  C
) )

Proof of Theorem mamudm
Dummy variables  i 
j  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamudm.m . . . 4  |-  .X.  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  R  e.  V )
5 simpr1 1002 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  M  e.  Fin )
6 simpr2 1003 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  N  e.  Fin )
7 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  P  e.  Fin )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mamufval 18733 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  .X.  =  ( x  e.  ( (
Base `  R )  ^m  ( M  X.  N
) ) ,  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  P ) ) 
|->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) ) ) )
98dmeqd 5210 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  dom  .X.  =  dom  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( M  X.  N ) ) ,  y  e.  ( (
Base `  R )  ^m  ( N  X.  P
) )  |->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) ) ) )
10 mpt2exga 6869 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) )  e.  _V )
11103adant2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  (
i  e.  M , 
k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) )  e.  _V )
1211adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r `  R
) ( j y k ) ) ) ) )  e.  _V )
1312a1d 25 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( (
x  e.  ( (
Base `  R )  ^m  ( M  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) ) )  ->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r `  R
) ( j y k ) ) ) ) )  e.  _V ) )
1413ralrimivv 2887 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  A. x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( M  X.  N ) ) A. y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  P
) ) ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) )  e.  _V )
15 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N ) ) ,  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) )  |->  ( i  e.  M , 
k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N ) ) ,  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) )  |->  ( i  e.  M , 
k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) ) )
1615dmmpt2ga 6865 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N
) ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) ) ( i  e.  M , 
k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N
) ) ,  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  P ) ) 
|->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( Base `  R
)  ^m  ( M  X.  N ) )  X.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) ) ) )
1714, 16syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  dom  ( x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N ) ) ,  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) )  |->  ( i  e.  M , 
k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i x j ) ( .r
`  R ) ( j y k ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( Base `  R
)  ^m  ( M  X.  N ) )  X.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) ) ) )
18 xpfi 7801 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
19183adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( M  X.  N )  e. 
Fin )
20 mamudm.e . . . . . 6  |-  E  =  ( R freeLMod  ( M  X.  N ) )
2120, 2frlmfibas 18641 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  X.  N
)  e.  Fin )  ->  ( ( Base `  R
)  ^m  ( M  X.  N ) )  =  ( Base `  E
) )
2219, 21sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( ( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N
) )  =  (
Base `  E )
)
23 mamudm.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  E
)
2422, 23syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( ( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N
) )  =  B )
25 xpfi 7801 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( N  X.  P
)  e.  Fin )
26253adant1 1014 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( N  X.  P )  e. 
Fin )
27 mamudm.f . . . . . 6  |-  F  =  ( R freeLMod  ( N  X.  P ) )
2827, 2frlmfibas 18641 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( N  X.  P
)  e.  Fin )  ->  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  P ) )  =  ( Base `  F
) )
2926, 28sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  P
) )  =  (
Base `  F )
)
30 mamudm.c . . . 4  |-  C  =  ( Base `  F
)
3129, 30syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  P
) )  =  C )
3224, 31xpeq12d 5029 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  ( (
( Base `  R )  ^m  ( M  X.  N
) )  X.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  P
) ) )  =  ( B  X.  C
) )
339, 17, 323eqtrd 2512 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )
)  ->  dom  .X.  =  ( B  X.  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   <.cotp 4040    |-> cmpt 4510    X. cxp 5002   dom cdm 5004   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    |-> cmpt2 6296    ^m cmap 7430   Fincfn 7526   Basecbs 14502   .rcmulr 14568    gsumg cgsu 14708   freeLMod cfrlm 18623   maMul cmmul 18731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-sup 7911  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11683  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-hom 14591  df-cco 14592  df-0g 14709  df-prds 14715  df-pws 14717  df-sra 17666  df-rgmod 17667  df-dsmm 18609  df-frlm 18624  df-mamu 18732
This theorem is referenced by:  mamufacex  18737
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