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Theorem mamudir 18327
Description: Matrix multiplication distributes over addition on the right. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudi.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamudi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamudi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamudi.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamudir.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mamudir.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamudir.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
mamudir.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamudir  |-  ( ph  ->  ( X F ( Y  oF  .+  Z ) )  =  ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) ) )

Proof of Theorem mamudir
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mamudir.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
3 mamucl.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 16694 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e. CMnd )
7 mamudi.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
93ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
10 mamudir.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
11 elmapi 7253 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
14 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
1613, 14, 15fovrnd 6254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
17 mamudir.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
18 elmapi 7253 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
21 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
2220, 15, 21fovrnd 6254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Y k )  e.  B )
23 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
241, 23rngcl 16677 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Y k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
259, 16, 22, 24syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
26 mamudir.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
27 elmapi 7253 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
3029, 15, 21fovrnd 6254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
311, 23rngcl 16677 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
329, 16, 30, 31syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
33 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )
34 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
351, 2, 6, 8, 25, 32, 33, 34gsummptfidmadd2 16436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )  oF  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
36 ffn 5578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y : ( N  X.  O ) --> B  ->  Y  Fn  ( N  X.  O ) )
3720, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  Fn  ( N  X.  O
) )
38 ffn 5578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z : ( N  X.  O ) --> B  ->  Z  Fn  ( N  X.  O ) )
3929, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z  Fn  ( N  X.  O
) )
40 mamudi.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
41 xpfi 7602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
427, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( N  X.  O )  e. 
Fin )
44 opelxpi 4890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  N  /\  k  e.  O )  -> 
<. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O
) )
4544ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  O  /\  j  e.  N )  -> 
<. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O
) )
4645adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O
)  /\  j  e.  N )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )
4746adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )
48 fnfvof 6352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y  Fn  ( N  X.  O )  /\  Z  Fn  ( N  X.  O ) )  /\  ( ( N  X.  O )  e.  Fin  /\ 
<. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O
) ) )  -> 
( ( Y  oF  .+  Z ) `  <. j ,  k >.
)  =  ( ( Y `  <. j ,  k >. )  .+  ( Z `  <. j ,  k >. )
) )
4937, 39, 43, 47, 48syl22anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( Y  oF  .+  Z ) `  <. j ,  k >.
)  =  ( ( Y `  <. j ,  k >. )  .+  ( Z `  <. j ,  k >. )
) )
50 df-ov 6113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j ( Y  oF  .+  Z ) k )  =  ( ( Y  oF  .+  Z ) `  <. j ,  k >. )
51 df-ov 6113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j Y k )  =  ( Y `  <. j ,  k >. )
52 df-ov 6113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j Z k )  =  ( Z `  <. j ,  k >. )
5351, 52oveq12i 6122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j Y k ) 
.+  ( j Z k ) )  =  ( ( Y `  <. j ,  k >.
)  .+  ( Z `  <. j ,  k
>. ) )
5449, 50, 533eqtr4g 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j ( Y  oF  .+  Z ) k )  =  ( ( j Y k ) 
.+  ( j Z k ) ) )
5554oveq2d 6126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j ( Y  oF  .+  Z ) k ) )  =  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( ( j Y k ) 
.+  ( j Z k ) ) ) )
561, 2, 23rngdi 16682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X j )  e.  B  /\  ( j Y k )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( (
i X j ) ( .r `  R
) ( ( j Y k )  .+  ( j Z k ) ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) )  .+  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
579, 16, 22, 30, 56syl13anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( ( j Y k ) 
.+  ( j Z k ) ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) )  .+  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )
5855, 57eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j ( Y  oF  .+  Z ) k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) )  .+  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )
5958mpteq2dva 4397 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  oF  .+  Z ) k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) )  .+  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
60 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) ) )
61 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
628, 25, 32, 60, 61offval2 6355 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )  oF  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) 
.+  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6359, 62eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  oF  .+  Z ) k ) ) )  =  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )  oF  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )
6463oveq2d 6126 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  oF  .+  Z ) k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )  oF  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
65 mamudi.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
663adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
67 mamudi.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
6867adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
6940adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
7010adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
7117adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
72 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
73 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
7465, 1, 23, 66, 68, 8, 69, 70, 71, 72, 73mamufv 18304 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Y ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) )
7526adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
7665, 1, 23, 66, 68, 8, 69, 70, 75, 72, 73mamufv 18304 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
7774, 76oveq12d 6128 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( i ( X F Y ) k )  .+  (
i ( X F Z ) k ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
7835, 64, 773eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  oF  .+  Z ) k ) ) ) )  =  ( ( i ( X F Y ) k )  .+  ( i ( X F Z ) k ) ) )
79 rngmnd 16673 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
803, 79syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
811, 2mndvcl 18310 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  /\  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )  ->  ( Y  oF  .+  Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
8280, 17, 26, 81syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  oF  .+  Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
8382adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( Y  oF  .+  Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
8465, 1, 23, 66, 68, 8, 69, 70, 83, 72, 73mamufv 18304 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( Y  oF  .+  Z ) ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  oF  .+  Z ) k ) ) ) ) )
851, 3, 65, 67, 7, 40, 10, 17mamucl 18320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
86 elmapi 7253 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Y ) : ( M  X.  O
) --> B )
87 ffn 5578 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Y ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Y )  Fn  ( M  X.  O ) )
8885, 86, 873syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  Fn  ( M  X.  O ) )
8988adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Y )  Fn  ( M  X.  O ) )
901, 3, 65, 67, 7, 40, 10, 26mamucl 18320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
91 elmapi 7253 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
92 ffn 5578 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9390, 91, 923syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9493adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
95 xpfi 7602 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
9667, 40, 95syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
9796adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
98 opelxpi 4890 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
9998adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
100 fnfvof 6352 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X F Y )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )  /\  ( ( M  X.  O )  e.  Fin  /\ 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) ) )  -> 
( ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Y ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
10189, 94, 97, 99, 100syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Y ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
102 df-ov 6113 . . . . 5  |-  ( i ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) ) k )  =  ( ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) ) `  <. i ,  k >. )
103 df-ov 6113 . . . . . 6  |-  ( i ( X F Y ) k )  =  ( ( X F Y ) `  <. i ,  k >. )
104 df-ov 6113 . . . . . 6  |-  ( i ( X F Z ) k )  =  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
105103, 104oveq12i 6122 . . . . 5  |-  ( ( i ( X F Y ) k ) 
.+  ( i ( X F Z ) k ) )  =  ( ( ( X F Y ) `  <. i ,  k >.
)  .+  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >.
) )
106101, 102, 1053eqtr4g 2500 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) ) k )  =  ( ( i ( X F Y ) k )  .+  ( i ( X F Z ) k ) ) )
10778, 84, 1063eqtr4d 2485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( Y  oF  .+  Z ) ) k )  =  ( i ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) ) k ) )
108107ralrimivva 2827 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( Y  oF  .+  Z ) ) k )  =  ( i ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) ) k ) )
1091, 3, 65, 67, 7, 40, 10, 82mamucl 18320 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X F ( Y  oF  .+  Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
110 elmapi 7253 . . . 4  |-  ( ( X F ( Y  oF  .+  Z
) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( X F ( Y  oF  .+  Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B )
111 ffn 5578 . . . 4  |-  ( ( X F ( Y  oF  .+  Z
) ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( X F ( Y  oF  .+  Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
112109, 110, 1113syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X F ( Y  oF  .+  Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
1131, 2mndvcl 18310 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  /\  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
11480, 85, 90, 113syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
115 elmapi 7253 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B )
116 ffn 5578 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
117114, 115, 1163syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
118 eqfnov2 6216 . . 3  |-  ( ( ( X F ( Y  oF  .+  Z ) )  Fn  ( M  X.  O
)  /\  ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( X F ( Y  oF  .+  Z ) )  =  ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( Y  oF  .+  Z ) ) k )  =  ( i ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) ) k ) ) )
119112, 117, 118syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X F ( Y  oF  .+  Z ) )  =  ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( Y  oF  .+  Z ) ) k )  =  ( i ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) ) k ) ) )
120108, 119mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( X F ( Y  oF  .+  Z ) )  =  ( ( X F Y )  oF  .+  ( X F Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734   <.cop 3902   <.cotp 3904    e. cmpt 4369    X. cxp 4857    Fn wfn 5432   -->wf 5433   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    oFcof 6337    ^m cmap 7233   Fincfn 7329   Basecbs 14193   +g cplusg 14257   .rcmulr 14258    gsumg cgsu 14398   Mndcmnd 15428  CMndccmn 16296   Ringcrg 16664   maMul cmmul 18298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-ot 3905  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-oi 7743  df-card 8128  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-seq 11826  df-hash 12123  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-cntz 15854  df-cmn 16298  df-abl 16299  df-mgp 16611  df-ur 16623  df-rng 16666  df-mamu 18300
This theorem is referenced by:  matrng  18349
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