MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamudiagcl Structured version   Unicode version

Theorem mamudiagcl 18437
Description: Diagonal matrices are matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudiag.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mamudiag.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mamudiag.i  |-  I  =  ( i  e.  M ,  j  e.  M  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )
mamudiag.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
mamudiagcl  |-  ( ph  ->  I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, B    i, M, j    ph, i,
j
Allowed substitution hints:    R( i, j)    .1. ( i, j)    I( i, j)    .0. ( i, j)

Proof of Theorem mamudiagcl
StepHypRef Expression
1 mamucl.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 mamucl.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 mamudiag.o . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
42, 3rngidcl 16798 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
5 mamudiag.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
62, 5rng0cl 16799 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
7 ifcl 3942 . . . . . . 7  |-  ( (  .1.  e.  B  /\  .0.  e.  B )  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
84, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
91, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B
)
109adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  j  e.  M ) )  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
1110ralrimivva 2914 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. j  e.  M  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
12 mamudiag.i . . . 4  |-  I  =  ( i  e.  M ,  j  e.  M  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )
1312fmpt2 6754 . . 3  |-  ( A. i  e.  M  A. j  e.  M  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B  <->  I :
( M  X.  M
) --> B )
1411, 13sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  I : ( M  X.  M ) --> B )
15 fvex 5812 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
162, 15eqeltri 2538 . . 3  |-  B  e. 
_V
17 mamudiag.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
18 xpfi 7697 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( M  X.  M
)  e.  Fin )
1917, 17, 18syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  X.  M
)  e.  Fin )
20 elmapg 7340 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  M
)  e.  Fin )  ->  ( I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) )  <-> 
I : ( M  X.  M ) --> B ) )
2116, 19, 20sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) )  <-> 
I : ( M  X.  M ) --> B ) )
2214, 21mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   ifcif 3902    X. cxp 4949   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205    ^m cmap 7327   Fincfn 7423   Basecbs 14296   0gc0g 14501   1rcur 16735   Ringcrg 16778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-plusg 14374  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780
This theorem is referenced by:  mamulid  18439  mamurid  18440  matrng  18466  mat1  18471
  Copyright terms: Public domain W3C validator