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Theorem mamudi 19414
Description: Matrix multiplication distributes over addition on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudi.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamudi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamudi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamudi.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamudi.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mamudi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamudi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamudi.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamudi  |-  ( ph  ->  ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) )

Proof of Theorem mamudi
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mamudi.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
3 mamucl.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 ringcmn 17798 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
65adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e. CMnd )
7 mamudi.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
87adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
93ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
10 mamudi.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
11 elmapi 7497 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1312ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
14 simplrl 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
15 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
1613, 14, 15fovrnd 6451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
17 mamudi.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
18 elmapi 7497 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2019ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
21 simplrr 769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
2220, 15, 21fovrnd 6451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
23 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
241, 23ringcl 17781 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
259, 16, 22, 24syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
26 mamudi.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
27 elmapi 7497 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
2928ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
3029, 14, 15fovrnd 6451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i Y j )  e.  B )
311, 23ringcl 17781 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
329, 30, 22, 31syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
33 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
34 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
351, 2, 6, 8, 25, 32, 33, 34gsummptfidmadd2 17546 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  oF  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
3610ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
37 ffn 5742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : ( M  X.  N ) --> B  ->  X  Fn  ( M  X.  N ) )
3836, 11, 373syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  Fn  ( M  X.  N
) )
3926ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
40 ffn 5742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y : ( M  X.  N ) --> B  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4139, 27, 403syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  Fn  ( M  X.  N
) )
42 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
43 xpfi 7844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
4442, 7, 43syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
4544ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( M  X.  N )  e. 
Fin )
46 opelxpi 4881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  M  /\  j  e.  N )  -> 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) )
4746adantlr 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
4847adantll 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
49 fnfvof 6555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  Fn  ( M  X.  N )  /\  Y  Fn  ( M  X.  N ) )  /\  ( ( M  X.  N )  e.  Fin  /\ 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) ) )  -> 
( ( X  oF  .+  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( ( X `  <. i ,  j >. )  .+  ( Y `  <. i ,  j >. )
) )
5038, 41, 45, 48, 49syl22anc 1265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( X  oF  .+  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( ( X `  <. i ,  j >. )  .+  ( Y `  <. i ,  j >. )
) )
51 df-ov 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i ( X  oF  .+  Y ) j )  =  ( ( X  oF  .+  Y ) `  <. i ,  j >. )
52 df-ov 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i X j )  =  ( X `  <. i ,  j >. )
53 df-ov 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i Y j )  =  ( Y `  <. i ,  j >. )
5452, 53oveq12i 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i X j ) 
.+  ( i Y j ) )  =  ( ( X `  <. i ,  j >.
)  .+  ( Y `  <. i ,  j
>. ) )
5550, 51, 543eqtr4g 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( X  oF  .+  Y ) j )  =  ( ( i X j ) 
.+  ( i Y j ) ) )
5655oveq1d 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X  oF  .+  Y
) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j )  .+  (
i Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
571, 2, 23ringdir 17787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X j )  e.  B  /\  ( i Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( (
( i X j )  .+  ( i Y j ) ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  .+  (
( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
589, 16, 30, 22, 57syl13anc 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( i X j )  .+  (
i Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )
5956, 58eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X  oF  .+  Y
) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )
6059mpteq2dva 4507 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
61 eqidd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
62 eqidd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
638, 25, 32, 61, 62offval2 6558 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  oF  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) 
.+  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6460, 63eqtr4d 2466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  oF  .+  (
j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6564oveq2d 6317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  oF  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) ) )
66 mamudi.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
673adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
6842adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
69 mamudi.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
7069adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
7110adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
7217adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
73 simprl 762 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
74 simprr 764 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
7566, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 71, 72, 73, 74mamufv 19398 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
7626adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
7766, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 76, 72, 73, 74mamufv 19398 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( Y F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
7875, 77oveq12d 6319 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( i ( X F Z ) k )  .+  (
i ( Y F Z ) k ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
7935, 65, 783eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( ( i ( X F Z ) k ) 
.+  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
80 ringmnd 17776 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
813, 80syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
821, 2mndvcl 19402 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  /\  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )  ->  ( X  oF  .+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
8381, 10, 26, 82syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  oF  .+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
8483adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X  oF  .+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
8566, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 84, 72, 73, 74mamufv 19398 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )
861, 3, 66, 42, 7, 69, 10, 17mamucl 19412 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
87 elmapi 7497 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
88 ffn 5742 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9089adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
911, 3, 66, 42, 7, 69, 26, 17mamucl 19412 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
92 elmapi 7497 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( Y F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
93 ffn 5742 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9594adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
96 xpfi 7844 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
9742, 69, 96syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
9897adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
99 opelxpi 4881 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
10099adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
101 fnfvof 6555 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )  /\  ( ( M  X.  O )  e.  Fin  /\ 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) ) )  -> 
( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
10290, 95, 98, 100, 101syl22anc 1265 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
103 df-ov 6304 . . . . 5  |-  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >. )
104 df-ov 6304 . . . . . 6  |-  ( i ( X F Z ) k )  =  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
105 df-ov 6304 . . . . . 6  |-  ( i ( Y F Z ) k )  =  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
106104, 105oveq12i 6313 . . . . 5  |-  ( ( i ( X F Z ) k ) 
.+  ( i ( Y F Z ) k ) )  =  ( ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >.
)  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >.
) )
107102, 103, 1063eqtr4g 2488 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( i ( X F Z ) k )  .+  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
10879, 85, 1073eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k ) )
109108ralrimivva 2846 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k ) )
1101, 3, 66, 42, 7, 69, 83, 17mamucl 19412 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
111 elmapi 7497 . . . 4  |-  ( ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( X  oF  .+  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B )
112 ffn 5742 . . . 4  |-  ( ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( ( X  oF  .+  Y
) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
113110, 111, 1123syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
1141, 2mndvcl 19402 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  /\  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
11581, 86, 91, 114syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
116 elmapi 7497 . . . 4  |-  ( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B )
117 ffn 5742 . . . 4  |-  ( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
118115, 116, 1173syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
119 eqfnov2 6413 . . 3  |-  ( ( ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )  ->  (
( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k ) ) )
120113, 118, 119syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  oF  .+  Y
) F Z )  =  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k ) ) )
121109, 120mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   <.cop 4002   <.cotp 4004    |-> cmpt 4479    X. cxp 4847    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    oFcof 6539    ^m cmap 7476   Fincfn 7573   Basecbs 15108   +g cplusg 15177   .rcmulr 15178    gsumg cgsu 15326   Mndcmnd 16522  CMndccmn 17417   Ringcrg 17767   maMul cmmul 19394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-ot 4005  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-oi 8027  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-hash 12515  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-abl 17420  df-mgp 17711  df-ur 17723  df-ring 17769  df-mamu 19395
This theorem is referenced by:  matring  19454  mdetmul  19634
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