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Theorem mamudi 18312
Description: Matrix multiplication distributes over addition on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudi.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamudi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamudi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamudi.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamudi.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mamudi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamudi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamudi.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamudi  |-  ( ph  ->  ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) )

Proof of Theorem mamudi
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mamudi.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
3 mamucl.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 16680 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e. CMnd )
7 mamudi.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
93ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
10 mamudi.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
11 elmapi 7239 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
14 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
1613, 14, 15fovrnd 6240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
17 mamudi.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
18 elmapi 7239 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
21 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
2220, 15, 21fovrnd 6240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
23 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
241, 23rngcl 16663 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
259, 16, 22, 24syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
26 mamudi.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
27 elmapi 7239 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
3029, 14, 15fovrnd 6240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i Y j )  e.  B )
311, 23rngcl 16663 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
329, 30, 22, 31syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
33 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
34 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
351, 2, 6, 8, 25, 32, 33, 34gsummptfidmadd2 16422 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  oF  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
3610ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
37 ffn 5564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : ( M  X.  N ) --> B  ->  X  Fn  ( M  X.  N ) )
3836, 11, 373syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  Fn  ( M  X.  N
) )
3926ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
40 ffn 5564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y : ( M  X.  N ) --> B  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4139, 27, 403syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  Fn  ( M  X.  N
) )
42 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
43 xpfi 7588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
4442, 7, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( M  X.  N )  e. 
Fin )
46 opelxpi 4876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  M  /\  j  e.  N )  -> 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) )
4746adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
4847adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
49 fnfvof 6338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  Fn  ( M  X.  N )  /\  Y  Fn  ( M  X.  N ) )  /\  ( ( M  X.  N )  e.  Fin  /\ 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) ) )  -> 
( ( X  oF  .+  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( ( X `  <. i ,  j >. )  .+  ( Y `  <. i ,  j >. )
) )
5038, 41, 45, 48, 49syl22anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( X  oF  .+  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( ( X `  <. i ,  j >. )  .+  ( Y `  <. i ,  j >. )
) )
51 df-ov 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i ( X  oF  .+  Y ) j )  =  ( ( X  oF  .+  Y ) `  <. i ,  j >. )
52 df-ov 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i X j )  =  ( X `  <. i ,  j >. )
53 df-ov 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i Y j )  =  ( Y `  <. i ,  j >. )
5452, 53oveq12i 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i X j ) 
.+  ( i Y j ) )  =  ( ( X `  <. i ,  j >.
)  .+  ( Y `  <. i ,  j
>. ) )
5550, 51, 543eqtr4g 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( X  oF  .+  Y ) j )  =  ( ( i X j ) 
.+  ( i Y j ) ) )
5655oveq1d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X  oF  .+  Y
) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j )  .+  (
i Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
571, 2, 23rngdir 16669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X j )  e.  B  /\  ( i Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( (
( i X j )  .+  ( i Y j ) ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  .+  (
( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
589, 16, 30, 22, 57syl13anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( i X j )  .+  (
i Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )
5956, 58eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X  oF  .+  Y
) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )
6059mpteq2dva 4383 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
61 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
62 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
638, 25, 32, 61, 62offval2 6341 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  oF  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) 
.+  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6460, 63eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  oF  .+  (
j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6564oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  oF  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) ) )
66 mamudi.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
673adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
6842adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
69 mamudi.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
7069adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
7110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
7217adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
73 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
74 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
7566, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 71, 72, 73, 74mamufv 18290 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
7626adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
7766, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 76, 72, 73, 74mamufv 18290 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( Y F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
7875, 77oveq12d 6114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( i ( X F Z ) k )  .+  (
i ( Y F Z ) k ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
7935, 65, 783eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( ( i ( X F Z ) k ) 
.+  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
80 rngmnd 16659 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
813, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
821, 2mndvcl 18296 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  /\  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )  ->  ( X  oF  .+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
8381, 10, 26, 82syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  oF  .+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
8483adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X  oF  .+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
8566, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 84, 72, 73, 74mamufv 18290 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )
861, 3, 66, 42, 7, 69, 10, 17mamucl 18306 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
87 elmapi 7239 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
88 ffn 5564 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
8986, 87, 883syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9089adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
911, 3, 66, 42, 7, 69, 26, 17mamucl 18306 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
92 elmapi 7239 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( Y F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
93 ffn 5564 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9491, 92, 933syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9594adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
96 xpfi 7588 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
9742, 69, 96syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
9897adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
99 opelxpi 4876 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
10099adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
101 fnfvof 6338 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )  /\  ( ( M  X.  O )  e.  Fin  /\ 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) ) )  -> 
( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
10290, 95, 98, 100, 101syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
103 df-ov 6099 . . . . 5  |-  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >. )
104 df-ov 6099 . . . . . 6  |-  ( i ( X F Z ) k )  =  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
105 df-ov 6099 . . . . . 6  |-  ( i ( Y F Z ) k )  =  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
106104, 105oveq12i 6108 . . . . 5  |-  ( ( i ( X F Z ) k ) 
.+  ( i ( Y F Z ) k ) )  =  ( ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >.
)  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >.
) )
107102, 103, 1063eqtr4g 2500 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( i ( X F Z ) k )  .+  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
10879, 85, 1073eqtr4d 2485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k ) )
109108ralrimivva 2813 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k ) )
1101, 3, 66, 42, 7, 69, 83, 17mamucl 18306 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
111 elmapi 7239 . . . 4  |-  ( ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( X  oF  .+  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B )
112 ffn 5564 . . . 4  |-  ( ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( ( X  oF  .+  Y
) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
113110, 111, 1123syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
1141, 2mndvcl 18296 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  /\  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
11581, 86, 91, 114syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
116 elmapi 7239 . . . 4  |-  ( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B )
117 ffn 5564 . . . 4  |-  ( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
118115, 116, 1173syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
119 eqfnov2 6202 . . 3  |-  ( ( ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )  ->  (
( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k ) ) )
120113, 118, 119syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  oF  .+  Y
) F Z )  =  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k ) ) )
121109, 120mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   <.cop 3888   <.cotp 3890    e. cmpt 4355    X. cxp 4843    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oFcof 6323    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   .rcmulr 14244    gsumg cgsu 14384   Mndcmnd 15414  CMndccmn 16282   Ringcrg 16650   maMul cmmul 18284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-ot 3891  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-mamu 18286
This theorem is referenced by:  matrng  18335  mdetmul  18434
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