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Theorem mamudi 19032
Description: Matrix multiplication distributes over addition on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudi.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamudi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamudi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamudi.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamudi.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mamudi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamudi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamudi.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamudi  |-  ( ph  ->  ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) )

Proof of Theorem mamudi
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mamudi.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
3 mamucl.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 ringcmn 17356 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e. CMnd )
7 mamudi.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
93ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
10 mamudi.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
11 elmapi 7459 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
14 simplrl 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
1613, 14, 15fovrnd 6446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
17 mamudi.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
18 elmapi 7459 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
21 simplrr 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
2220, 15, 21fovrnd 6446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
23 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
241, 23ringcl 17339 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
259, 16, 22, 24syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
26 mamudi.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
27 elmapi 7459 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
3029, 14, 15fovrnd 6446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i Y j )  e.  B )
311, 23ringcl 17339 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
329, 30, 22, 31syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
33 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
34 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
351, 2, 6, 8, 25, 32, 33, 34gsummptfidmadd2 17070 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  oF  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
3610ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
37 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : ( M  X.  N ) --> B  ->  X  Fn  ( M  X.  N ) )
3836, 11, 373syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  Fn  ( M  X.  N
) )
3926ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
40 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y : ( M  X.  N ) --> B  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4139, 27, 403syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  Fn  ( M  X.  N
) )
42 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
43 xpfi 7809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
4442, 7, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( M  X.  N )  e. 
Fin )
46 opelxpi 5040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  M  /\  j  e.  N )  -> 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) )
4746adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
4847adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
49 fnfvof 6552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  Fn  ( M  X.  N )  /\  Y  Fn  ( M  X.  N ) )  /\  ( ( M  X.  N )  e.  Fin  /\ 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) ) )  -> 
( ( X  oF  .+  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( ( X `  <. i ,  j >. )  .+  ( Y `  <. i ,  j >. )
) )
5038, 41, 45, 48, 49syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( X  oF  .+  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( ( X `  <. i ,  j >. )  .+  ( Y `  <. i ,  j >. )
) )
51 df-ov 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i ( X  oF  .+  Y ) j )  =  ( ( X  oF  .+  Y ) `  <. i ,  j >. )
52 df-ov 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i X j )  =  ( X `  <. i ,  j >. )
53 df-ov 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i Y j )  =  ( Y `  <. i ,  j >. )
5452, 53oveq12i 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i X j ) 
.+  ( i Y j ) )  =  ( ( X `  <. i ,  j >.
)  .+  ( Y `  <. i ,  j
>. ) )
5550, 51, 543eqtr4g 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( X  oF  .+  Y ) j )  =  ( ( i X j ) 
.+  ( i Y j ) ) )
5655oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X  oF  .+  Y
) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j )  .+  (
i Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
571, 2, 23ringdir 17345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X j )  e.  B  /\  ( i Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( (
( i X j )  .+  ( i Y j ) ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  .+  (
( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
589, 16, 30, 22, 57syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( i X j )  .+  (
i Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )
5956, 58eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X  oF  .+  Y
) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )
6059mpteq2dva 4543 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
61 eqidd 2458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
62 eqidd 2458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
638, 25, 32, 61, 62offval2 6555 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  oF  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) 
.+  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6460, 63eqtr4d 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  oF  .+  (
j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6564oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  oF  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) ) )
66 mamudi.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
673adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
6842adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
69 mamudi.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
7069adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
7110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
7217adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
73 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
74 simprr 757 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
7566, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 71, 72, 73, 74mamufv 19016 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
7626adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
7766, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 76, 72, 73, 74mamufv 19016 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( Y F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
7875, 77oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( i ( X F Z ) k )  .+  (
i ( Y F Z ) k ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
7935, 65, 783eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( ( i ( X F Z ) k ) 
.+  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
80 ringmnd 17334 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
813, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
821, 2mndvcl 19020 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  /\  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )  ->  ( X  oF  .+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
8381, 10, 26, 82syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  oF  .+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
8483adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X  oF  .+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
8566, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 84, 72, 73, 74mamufv 19016 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  oF  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )
861, 3, 66, 42, 7, 69, 10, 17mamucl 19030 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
87 elmapi 7459 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
88 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
8986, 87, 883syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9089adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
911, 3, 66, 42, 7, 69, 26, 17mamucl 19030 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
92 elmapi 7459 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( Y F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
93 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9491, 92, 933syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9594adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
96 xpfi 7809 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
9742, 69, 96syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
9897adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
99 opelxpi 5040 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
10099adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
101 fnfvof 6552 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )  /\  ( ( M  X.  O )  e.  Fin  /\ 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) ) )  -> 
( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
10290, 95, 98, 100, 101syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
103 df-ov 6299 . . . . 5  |-  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >. )
104 df-ov 6299 . . . . . 6  |-  ( i ( X F Z ) k )  =  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
105 df-ov 6299 . . . . . 6  |-  ( i ( Y F Z ) k )  =  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
106104, 105oveq12i 6308 . . . . 5  |-  ( ( i ( X F Z ) k ) 
.+  ( i ( Y F Z ) k ) )  =  ( ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >.
)  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >.
) )
107102, 103, 1063eqtr4g 2523 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( i ( X F Z ) k )  .+  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
10879, 85, 1073eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k ) )
109108ralrimivva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k ) )
1101, 3, 66, 42, 7, 69, 83, 17mamucl 19030 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
111 elmapi 7459 . . . 4  |-  ( ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( X  oF  .+  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B )
112 ffn 5737 . . . 4  |-  ( ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( ( X  oF  .+  Y
) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
113110, 111, 1123syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
1141, 2mndvcl 19020 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  /\  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
11581, 86, 91, 114syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
116 elmapi 7459 . . . 4  |-  ( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B )
117 ffn 5737 . . . 4  |-  ( ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
118115, 116, 1173syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
119 eqfnov2 6408 . . 3  |-  ( ( ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )  ->  (
( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k ) ) )
120113, 118, 119syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  oF  .+  Y
) F Z )  =  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  oF  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) k ) ) )
121109, 120mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  oF  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  oF  .+  ( Y F Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   <.cop 4038   <.cotp 4040    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   .rcmulr 14713    gsumg cgsu 14858   Mndcmnd 16046  CMndccmn 16925   Ringcrg 17325   maMul cmmul 19012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-mamu 19013
This theorem is referenced by:  matring  19072  mdetmul  19252
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