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Theorem mamucl 18419
Description: Operation closure of matrix multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamucl.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
mamucl.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamucl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamucl.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
mamucl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamucl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamucl  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )

Proof of Theorem mamucl
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.f . . 3  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
2 mamucl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2451 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mamucl.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 mamucl.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
6 mamucl.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
7 mamucl.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
8 mamucl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
9 mamucl.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mamuval 18402 . 2  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  =  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) ) )
11 rngcmn 16790 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
124, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  R  e. CMnd )
146adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  N  e.  Fin )
154ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
16 elmapi 7337 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
178, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1817ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
19 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
20 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
2118, 19, 20fovrnd 6338 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
22 elmapi 7337 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P
) )  ->  Y : ( N  X.  P ) --> B )
239, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  P ) --> B )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( N  X.  P ) --> B )
25 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  P )
2624, 20, 25fovrnd 6338 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Y k )  e.  B )
272, 3rngcl 16773 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Y k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
2815, 21, 26, 27syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
2928ralrimiva 2825 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  A. j  e.  N  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
302, 13, 14, 29gsummptcl 16572 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  e.  B )
3130ralrimivva 2907 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  e.  B )
32 fvex 5802 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
332, 32eqeltri 2535 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
34 xpfi 7687 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( M  X.  P
)  e.  Fin )
355, 7, 34syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  X.  P
)  e.  Fin )
36 elmapg 7330 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  P
)  e.  Fin )  ->  ( ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) )  <-> 
( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) ) : ( M  X.  P ) --> B ) )
3733, 35, 36sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) )  <-> 
( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) ) : ( M  X.  P ) --> B ) )
38 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) )  =  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )
3938fmpt2 6744 . . . 4  |-  ( A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  e.  B  <->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) ) : ( M  X.  P ) --> B )
4037, 39syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) )  e.  B  <->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) ) )
4131, 40mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P
) ) )
4210, 41eqeltrd 2539 1  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3071   <.cotp 3986    |-> cmpt 4451    X. cxp 4939   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    |-> cmpt2 6195    ^m cmap 7317   Fincfn 7413   Basecbs 14285   .rcmulr 14350    gsumg cgsu 14490  CMndccmn 16390   Ringcrg 16760   maMul cmmul 18397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-ot 3987  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-hash 12214  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-plusg 14362  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-mamu 18399
This theorem is referenced by:  mamulid  18422  mamurid  18423  mamuass  18424  mamudi  18425  mamudir  18426  mamuvs1  18427  mamuvs2  18428  matrng  18449  matassa  18450  mavmulass  18480
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