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Theorem mamuass 19071
Description: Matrix multiplication is associative, see also statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamuass.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamuass.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamuass.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuass.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
mamuass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
mamuass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
mamuass.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamuass.g  |-  G  =  ( R maMul  <. M ,  O ,  P >. )
mamuass.h  |-  H  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
mamuass.i  |-  I  =  ( R maMul  <. N ,  O ,  P >. )
Assertion
Ref Expression
mamuass  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) ) )

Proof of Theorem mamuass
Dummy variables  i 
j  k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mamucl.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
3 ringcmn 17424 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
54adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  R  e. CMnd )
6 mamuass.o . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
76adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  O  e.  Fin )
8 mamuass.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
98adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  N  e.  Fin )
102ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  ->  R  e.  Ring )
11 mamuass.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
12 elmapi 7433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1413ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
15 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  i  e.  M )
16 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  l  e.  N )
1714, 15, 16fovrnd 6420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
i X l )  e.  B )
1817adantrl 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( i X l )  e.  B )
19 mamuass.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
20 elmapi 7433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2221ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
23 simprr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
l  e.  N )
24 simprl 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
j  e.  O )
2522, 23, 24fovrnd 6420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( l Y j )  e.  B )
26 mamuass.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
27 elmapi 7433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P
) )  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
2928ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
30 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  j  e.  O )
31 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  k  e.  P )
3229, 30, 31fovrnd 6420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
j Z k )  e.  B )
3332adantrr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( j Z k )  e.  B )
34 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
351, 34ringcl 17407 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
l Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
3610, 25, 33, 35syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
371, 34ringcl 17407 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X l )  e.  B  /\  (
( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  e.  B )
3810, 18, 36, 37syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  e.  B )
391, 5, 7, 9, 38gsumcom3fi 19069 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
40 mamuass.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
412ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  R  e.  Ring )
42 mamuass.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
4342ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  M  e.  Fin )
448ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  N  e.  Fin )
456ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  O  e.  Fin )
4611ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
4719ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
48 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  i  e.  M )
4940, 1, 34, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 30mamufv 19056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
i ( X F Y ) j )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) ) ) )
5049oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
( i ( X F Y ) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
51 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
52 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
531, 34ringcl 17407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X l )  e.  B  /\  (
l Y j )  e.  B )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
5410, 18, 25, 53syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
5554anassrs 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  j  e.  O )  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
56 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) )
57 ovex 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) )  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  j  e.  O )  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) )  e.  _V )
59 fvex 5858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
6156, 44, 58, 60fsuppmptdm 7832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
621, 51, 52, 34, 41, 44, 32, 55, 61gsummulc1 17447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
631, 34ringass 17410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X l )  e.  B  /\  ( l Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
6410, 18, 25, 33, 63syl13anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
6564anassrs 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  j  e.  O )  /\  l  e.  N )  ->  (
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )
6665mpteq2dva 4525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6766oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
6850, 62, 673eqtr2d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
( i ( X F Y ) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
6968mpteq2dva 4525 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )
7069oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
71 mamuass.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( R maMul  <. N ,  O ,  P >. )
722ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
738ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
746ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  O  e.  Fin )
75 mamuass.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
7675ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  P  e.  Fin )
7719ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
7826ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
79 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  k  e.  P )
8071, 1, 34, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 16, 79mamufv 19056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
l ( Y I Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )
8180oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l ( Y I Z ) k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8236anass1rs 805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  l  e.  N )  /\  j  e.  O )  ->  (
( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
83 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
84 ovex 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( l Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  e. 
_V
8584a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  l  e.  N )  /\  j  e.  O )  ->  (
( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  _V )
8659a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
8783, 74, 85, 86fsuppmptdm 7832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
881, 51, 52, 34, 72, 74, 17, 82, 87gsummulc2 17448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8981, 88eqtr4d 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l ( Y I Z ) k ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
9089mpteq2dva 4525 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )
9190oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
9239, 70, 913eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) )
93 mamuass.g . . . . 5  |-  G  =  ( R maMul  <. M ,  O ,  P >. )
942adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  R  e.  Ring )
9542adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  M  e.  Fin )
9675adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  P  e.  Fin )
971, 2, 40, 42, 8, 6, 11, 19mamucl 19070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
9897adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
9926adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P
) ) )
100 simprl 754 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
i  e.  M )
101 simprr 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
k  e.  P )
10293, 1, 34, 94, 95, 7, 96, 98, 99, 100, 101mamufv 19056 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
103 mamuass.h . . . . 5  |-  H  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
10411adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
1051, 2, 71, 8, 6, 75, 19, 26mamucl 19070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y I Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
106105adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( Y I Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
107103, 1, 34, 94, 95, 9, 96, 104, 106, 100, 101mamufv 19056 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( X H ( Y I Z ) ) k )  =  ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) )
10892, 102, 1073eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) )
109108ralrimivva 2875 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) )
1101, 2, 93, 42, 6, 75, 97, 26mamucl 19070 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )
111 elmapi 7433 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y ) G Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P
) )  ->  (
( X F Y ) G Z ) : ( M  X.  P ) --> B )
112 ffn 5713 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y ) G Z ) : ( M  X.  P ) --> B  -> 
( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P ) )
113110, 111, 1123syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P ) )
1141, 2, 103, 42, 8, 75, 11, 105mamucl 19070 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X H ( Y I Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )
115 elmapi 7433 . . . 4  |-  ( ( X H ( Y I Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P
) )  ->  ( X H ( Y I Z ) ) : ( M  X.  P
) --> B )
116 ffn 5713 . . . 4  |-  ( ( X H ( Y I Z ) ) : ( M  X.  P ) --> B  -> 
( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )
117114, 115, 1163syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )
118 eqfnov2 6382 . . 3  |-  ( ( ( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P )  /\  ( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )  -> 
( ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) )
119113, 117, 118syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) )
120109, 119mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   <.cotp 4024    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   .rcmulr 14785   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930  CMndccmn 16997   Ringcrg 17393   maMul cmmul 19052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-ghm 16464  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-mamu 19053
This theorem is referenced by:  matring  19112
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