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Theorem mamuass 18424
Description: Matrix multiplication is associative, see also statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamuass.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamuass.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamuass.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuass.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
mamuass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
mamuass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
mamuass.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamuass.g  |-  G  =  ( R maMul  <. M ,  O ,  P >. )
mamuass.h  |-  H  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
mamuass.i  |-  I  =  ( R maMul  <. N ,  O ,  P >. )
Assertion
Ref Expression
mamuass  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) ) )

Proof of Theorem mamuass
Dummy variables  i 
j  k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mamucl.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
3 rngcmn 16790 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  R  e. CMnd )
6 mamuass.o . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
76adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  O  e.  Fin )
8 mamuass.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  N  e.  Fin )
102ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  ->  R  e.  Ring )
11 mamuass.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
12 elmapi 7337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
15 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  i  e.  M )
16 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  l  e.  N )
1714, 15, 16fovrnd 6338 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
i X l )  e.  B )
1817adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( i X l )  e.  B )
19 mamuass.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
20 elmapi 7337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
23 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
l  e.  N )
24 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
j  e.  O )
2522, 23, 24fovrnd 6338 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( l Y j )  e.  B )
26 mamuass.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
27 elmapi 7337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P
) )  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
30 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  j  e.  O )
31 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  k  e.  P )
3229, 30, 31fovrnd 6338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
j Z k )  e.  B )
3332adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( j Z k )  e.  B )
34 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
351, 34rngcl 16773 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
l Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
3610, 25, 33, 35syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
371, 34rngcl 16773 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X l )  e.  B  /\  (
( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  e.  B )
3810, 18, 36, 37syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  e.  B )
391, 5, 7, 9, 38gsumcom3fi 18418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
40 mamuass.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
412ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  R  e.  Ring )
42 mamuass.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  M  e.  Fin )
448ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  N  e.  Fin )
456ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  O  e.  Fin )
4611ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
4719ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
48 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  i  e.  M )
4940, 1, 34, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 30mamufv 18403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
i ( X F Y ) j )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) ) ) )
5049oveq1d 6208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
( i ( X F Y ) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
51 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
52 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
531, 34rngcl 16773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X l )  e.  B  /\  (
l Y j )  e.  B )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
5410, 18, 25, 53syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
5554anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  j  e.  O )  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
56 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) )
57 ovex 6218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) )  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  j  e.  O )  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) )  e.  _V )
59 fvex 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
6156, 44, 58, 60fsuppmptdm 7735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
621, 51, 52, 34, 41, 44, 32, 55, 61gsummulc1 16810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
631, 34rngass 16776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X l )  e.  B  /\  ( l Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
6410, 18, 25, 33, 63syl13anc 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
6564anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  j  e.  O )  /\  l  e.  N )  ->  (
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )
6665mpteq2dva 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6766oveq2d 6209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
6850, 62, 673eqtr2d 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
( i ( X F Y ) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
6968mpteq2dva 4479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )
7069oveq2d 6209 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
71 mamuass.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( R maMul  <. N ,  O ,  P >. )
722ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
738ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
746ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  O  e.  Fin )
75 mamuass.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
7675ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  P  e.  Fin )
7719ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
7826ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
79 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  k  e.  P )
8071, 1, 34, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 16, 79mamufv 18403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
l ( Y I Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )
8180oveq2d 6209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l ( Y I Z ) k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8236anass1rs 805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  l  e.  N )  /\  j  e.  O )  ->  (
( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
83 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
84 ovex 6218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( l Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  e. 
_V
8584a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  l  e.  N )  /\  j  e.  O )  ->  (
( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  _V )
8659a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
8783, 74, 85, 86fsuppmptdm 7735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
881, 51, 52, 34, 72, 74, 17, 82, 87gsummulc2 16811 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8981, 88eqtr4d 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l ( Y I Z ) k ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
9089mpteq2dva 4479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )
9190oveq2d 6209 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
9239, 70, 913eqtr4d 2502 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) )
93 mamuass.g . . . . 5  |-  G  =  ( R maMul  <. M ,  O ,  P >. )
942adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  R  e.  Ring )
9542adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  M  e.  Fin )
9675adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  P  e.  Fin )
971, 2, 40, 42, 8, 6, 11, 19mamucl 18419 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
9897adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
9926adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P
) ) )
100 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
i  e.  M )
101 simprr 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
k  e.  P )
10293, 1, 34, 94, 95, 7, 96, 98, 99, 100, 101mamufv 18403 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
103 mamuass.h . . . . 5  |-  H  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
10411adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
1051, 2, 71, 8, 6, 75, 19, 26mamucl 18419 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y I Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
106105adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( Y I Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
107103, 1, 34, 94, 95, 9, 96, 104, 106, 100, 101mamufv 18403 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( X H ( Y I Z ) ) k )  =  ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) )
10892, 102, 1073eqtr4d 2502 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) )
109108ralrimivva 2907 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) )
1101, 2, 93, 42, 6, 75, 97, 26mamucl 18419 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )
111 elmapi 7337 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y ) G Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P
) )  ->  (
( X F Y ) G Z ) : ( M  X.  P ) --> B )
112 ffn 5660 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y ) G Z ) : ( M  X.  P ) --> B  -> 
( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P ) )
113110, 111, 1123syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P ) )
1141, 2, 103, 42, 8, 75, 11, 105mamucl 18419 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X H ( Y I Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )
115 elmapi 7337 . . . 4  |-  ( ( X H ( Y I Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P
) )  ->  ( X H ( Y I Z ) ) : ( M  X.  P
) --> B )
116 ffn 5660 . . . 4  |-  ( ( X H ( Y I Z ) ) : ( M  X.  P ) --> B  -> 
( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )
117114, 115, 1163syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )
118 eqfnov2 6300 . . 3  |-  ( ( ( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P )  /\  ( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )  -> 
( ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) )
119113, 117, 118syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) )
120109, 119mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3071   <.cotp 3986    |-> cmpt 4451    X. cxp 4939    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    ^m cmap 7317   Fincfn 7413   Basecbs 14285   +g cplusg 14349   .rcmulr 14350   0gc0g 14489    gsumg cgsu 14490  CMndccmn 16390   Ringcrg 16760   maMul cmmul 18397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-ot 3987  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-hash 12214  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-mhm 15575  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-mulg 15659  df-ghm 15856  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-mamu 18399
This theorem is referenced by:  matrng  18449
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