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Theorem mamuass 19414
Description: Matrix multiplication is associative, see also statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamuass.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamuass.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamuass.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuass.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
mamuass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
mamuass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
mamuass.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamuass.g  |-  G  =  ( R maMul  <. M ,  O ,  P >. )
mamuass.h  |-  H  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
mamuass.i  |-  I  =  ( R maMul  <. N ,  O ,  P >. )
Assertion
Ref Expression
mamuass  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) ) )

Proof of Theorem mamuass
Dummy variables  i 
j  k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mamucl.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
3 ringcmn 17799 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
42, 3syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
54adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  R  e. CMnd )
6 mamuass.o . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
76adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  O  e.  Fin )
8 mamuass.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
98adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  N  e.  Fin )
102ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  ->  R  e.  Ring )
11 mamuass.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
12 elmapi 7498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1413ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
15 simplrl 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  i  e.  M )
16 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  l  e.  N )
1714, 15, 16fovrnd 6452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
i X l )  e.  B )
1817adantrl 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( i X l )  e.  B )
19 mamuass.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
20 elmapi 7498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2221ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
23 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
l  e.  N )
24 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
j  e.  O )
2522, 23, 24fovrnd 6452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( l Y j )  e.  B )
26 mamuass.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
27 elmapi 7498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P
) )  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
2928ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
30 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  j  e.  O )
31 simplrr 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  k  e.  P )
3229, 30, 31fovrnd 6452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
j Z k )  e.  B )
3332adantrr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( j Z k )  e.  B )
34 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
351, 34ringcl 17782 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
l Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
3610, 25, 33, 35syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
371, 34ringcl 17782 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X l )  e.  B  /\  (
( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  e.  B )
3810, 18, 36, 37syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  e.  B )
391, 5, 7, 9, 38gsumcom3fi 19412 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
40 mamuass.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
412ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  R  e.  Ring )
42 mamuass.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
4342ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  M  e.  Fin )
448ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  N  e.  Fin )
456ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  O  e.  Fin )
4611ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
4719ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
48 simplrl 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  i  e.  M )
4940, 1, 34, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 30mamufv 19399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
i ( X F Y ) j )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) ) ) )
5049oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
( i ( X F Y ) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
51 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
52 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
531, 34ringcl 17782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X l )  e.  B  /\  (
l Y j )  e.  B )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
5410, 18, 25, 53syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
5554anassrs 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  j  e.  O )  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
56 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) )
57 ovex 6330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) )  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  j  e.  O )  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) )  e.  _V )
59 fvex 5888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
6156, 44, 58, 60fsuppmptdm 7897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
621, 51, 52, 34, 41, 44, 32, 55, 61gsummulc1 17822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
631, 34ringass 17785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X l )  e.  B  /\  ( l Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
6410, 18, 25, 33, 63syl13anc 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
6564anassrs 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  j  e.  O )  /\  l  e.  N )  ->  (
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )
6665mpteq2dva 4507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6766oveq2d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
6850, 62, 673eqtr2d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
( i ( X F Y ) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
6968mpteq2dva 4507 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )
7069oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
71 mamuass.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( R maMul  <. N ,  O ,  P >. )
722ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
738ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
746ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  O  e.  Fin )
75 mamuass.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
7675ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  P  e.  Fin )
7719ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
7826ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
79 simplrr 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  k  e.  P )
8071, 1, 34, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 16, 79mamufv 19399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
l ( Y I Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )
8180oveq2d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l ( Y I Z ) k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8236anass1rs 814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  l  e.  N )  /\  j  e.  O )  ->  (
( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
83 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
84 ovex 6330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( l Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  e. 
_V
8584a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  l  e.  N )  /\  j  e.  O )  ->  (
( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  _V )
8659a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
8783, 74, 85, 86fsuppmptdm 7897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
881, 51, 52, 34, 72, 74, 17, 82, 87gsummulc2 17823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8981, 88eqtr4d 2466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l ( Y I Z ) k ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
9089mpteq2dva 4507 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )
9190oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
9239, 70, 913eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) )
93 mamuass.g . . . . 5  |-  G  =  ( R maMul  <. M ,  O ,  P >. )
942adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  R  e.  Ring )
9542adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  M  e.  Fin )
9675adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  P  e.  Fin )
971, 2, 40, 42, 8, 6, 11, 19mamucl 19413 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
9897adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
9926adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P
) ) )
100 simprl 762 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
i  e.  M )
101 simprr 764 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
k  e.  P )
10293, 1, 34, 94, 95, 7, 96, 98, 99, 100, 101mamufv 19399 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
103 mamuass.h . . . . 5  |-  H  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
10411adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
1051, 2, 71, 8, 6, 75, 19, 26mamucl 19413 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y I Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
106105adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( Y I Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
107103, 1, 34, 94, 95, 9, 96, 104, 106, 100, 101mamufv 19399 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( X H ( Y I Z ) ) k )  =  ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) )
10892, 102, 1073eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) )
109108ralrimivva 2846 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) )
1101, 2, 93, 42, 6, 75, 97, 26mamucl 19413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )
111 elmapi 7498 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y ) G Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P
) )  ->  (
( X F Y ) G Z ) : ( M  X.  P ) --> B )
112 ffn 5743 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y ) G Z ) : ( M  X.  P ) --> B  -> 
( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P ) )
113110, 111, 1123syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P ) )
1141, 2, 103, 42, 8, 75, 11, 105mamucl 19413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X H ( Y I Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )
115 elmapi 7498 . . . 4  |-  ( ( X H ( Y I Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P
) )  ->  ( X H ( Y I Z ) ) : ( M  X.  P
) --> B )
116 ffn 5743 . . . 4  |-  ( ( X H ( Y I Z ) ) : ( M  X.  P ) --> B  -> 
( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )
117114, 115, 1163syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )
118 eqfnov2 6414 . . 3  |-  ( ( ( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P )  /\  ( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )  -> 
( ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) )
119113, 117, 118syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) )
120109, 119mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081   <.cotp 4004    |-> cmpt 4479    X. cxp 4848    Fn wfn 5593   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302    ^m cmap 7477   Fincfn 7574   Basecbs 15109   +g cplusg 15178   .rcmulr 15179   0gc0g 15326    gsumg cgsu 15327  CMndccmn 17418   Ringcrg 17768   maMul cmmul 19395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-ot 4005  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-mhm 16570  df-submnd 16571  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-mulg 16664  df-ghm 16869  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-mamu 19396
This theorem is referenced by:  matring  19455
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