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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > madurid | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Multiplying a matrix with its adjunct results in the identity matrix multiplied with the determinant of the matrix. See Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.) |
Ref | Expression |
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madurid.a |
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madurid.b |
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madurid.j |
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madurid.d |
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madurid.i |
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madurid.t |
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madurid.s |
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Ref | Expression |
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madurid |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2451 |
. . 3
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2 | eqid 2451 |
. . 3
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3 | eqid 2451 |
. . 3
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4 | simpr 463 |
. . 3
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5 | madurid.a |
. . . . . 6
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6 | madurid.b |
. . . . . 6
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7 | 5, 6 | matrcl 19437 |
. . . . 5
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8 | 7 | simpld 461 |
. . . 4
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9 | 8 | adantr 467 |
. . 3
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10 | 5, 2, 6 | matbas2i 19447 |
. . . 4
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11 | 10 | adantr 467 |
. . 3
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12 | madurid.j |
. . . . . . 7
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13 | 5, 12, 6 | maduf 19666 |
. . . . . 6
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14 | 13 | adantl 468 |
. . . . 5
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15 | simpl 459 |
. . . . 5
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16 | 14, 15 | ffvelrnd 6023 |
. . . 4
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17 | 5, 2, 6 | matbas2i 19447 |
. . . 4
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18 | 16, 17 | syl 17 |
. . 3
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19 | 1, 2, 3, 4, 9, 9, 9, 11, 18 | mamuval 19411 |
. 2
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20 | 5, 1 | matmulr 19463 |
. . . . 5
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21 | 8, 20 | sylan 474 |
. . . 4
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22 | madurid.t |
. . . 4
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23 | 21, 22 | syl6eqr 2503 |
. . 3
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24 | 23 | oveqd 6307 |
. 2
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25 | madurid.d |
. . . . . 6
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26 | simp1l 1032 |
. . . . . 6
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27 | simp1r 1033 |
. . . . . 6
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28 | elmapi 7493 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 11, 28 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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30 | 29 | 3ad2ant1 1029 |
. . . . . . . 8
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31 | 30 | adantr 467 |
. . . . . . 7
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32 | simpl2 1012 |
. . . . . . 7
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33 | simpr 463 |
. . . . . . 7
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34 | 31, 32, 33 | fovrnd 6441 |
. . . . . 6
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35 | simp3 1010 |
. . . . . 6
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36 | 5, 12, 6, 25, 3, 2, 26, 27, 34, 35 | madugsum 19668 |
. . . . 5
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37 | iftrue 3887 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | adantl 468 |
. . . . . . . 8
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39 | ffn 5728 |
. . . . . . . . . . . . 13
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40 | 29, 39 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | fnov 6404 |
. . . . . . . . . . . 12
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42 | 40, 41 | sylib 200 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 42 | adantr 467 |
. . . . . . . . . 10
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44 | equtr2 1869 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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45 | 44 | oveq1d 6305 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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46 | 45 | ifeq1da 3911 |
. . . . . . . . . . . . 13
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47 | ifid 3918 |
. . . . . . . . . . . . 13
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48 | 46, 47 | syl6eq 2501 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | 48 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 49 | mpt2eq3dv 6357 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 43, 50 | eqtr4d 2488 |
. . . . . . . . 9
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52 | 51 | fveq2d 5869 |
. . . . . . . 8
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53 | 38, 52 | eqtr2d 2486 |
. . . . . . 7
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54 | 53 | 3ad2antl1 1170 |
. . . . . 6
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55 | eqid 2451 |
. . . . . . . 8
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56 | simpl1r 1060 |
. . . . . . . 8
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57 | 9 | 3ad2ant1 1029 |
. . . . . . . . 9
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58 | 57 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
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59 | 30 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . 9
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60 | simpll2 1048 |
. . . . . . . . 9
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61 | simpr 463 |
. . . . . . . . 9
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62 | 59, 60, 61 | fovrnd 6441 |
. . . . . . . 8
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63 | 30 | adantr 467 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 63 | fovrnda 6440 |
. . . . . . . . 9
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65 | 64 | 3impb 1204 |
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66 | simpl3 1013 |
. . . . . . . 8
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67 | simpl2 1012 |
. . . . . . . 8
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68 | df-ne 2624 |
. . . . . . . . . . 11
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69 | 68 | biimpri 210 |
. . . . . . . . . 10
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70 | 69 | necomd 2679 |
. . . . . . . . 9
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71 | 70 | adantl 468 |
. . . . . . . 8
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72 | 25, 2, 55, 56, 58, 62, 65, 66, 67, 71 | mdetralt2 19634 |
. . . . . . 7
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73 | ifid 3918 |
. . . . . . . . . . 11
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74 | oveq1 6297 |
. . . . . . . . . . . . 13
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75 | 74 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . 12
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76 | 75 | ifeq1da 3911 |
. . . . . . . . . . 11
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77 | 73, 76 | syl5eqr 2499 |
. . . . . . . . . 10
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78 | 77 | ifeq2d 3900 |
. . . . . . . . 9
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79 | 78 | mpt2eq3dv 6357 |
. . . . . . . 8
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80 | 79 | fveq2d 5869 |
. . . . . . 7
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81 | iffalse 3890 |
. . . . . . . 8
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82 | 81 | adantl 468 |
. . . . . . 7
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83 | 72, 80, 82 | 3eqtr4d 2495 |
. . . . . 6
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84 | 54, 83 | pm2.61dan 800 |
. . . . 5
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85 | 36, 84 | eqtrd 2485 |
. . . 4
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86 | 85 | mpt2eq3dva 6355 |
. . 3
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87 | madurid.i |
. . . . 5
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88 | 87 | oveq2i 6301 |
. . . 4
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89 | crngring 17791 |
. . . . . 6
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90 | 89 | adantl 468 |
. . . . 5
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91 | 25, 5, 6, 2 | mdetf 19620 |
. . . . . . 7
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92 | 91 | adantl 468 |
. . . . . 6
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93 | 92, 15 | ffvelrnd 6023 |
. . . . 5
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94 | madurid.s |
. . . . . 6
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95 | 5, 2, 94, 55 | matsc 19475 |
. . . . 5
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96 | 9, 90, 93, 95 | syl3anc 1268 |
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97 | 88, 96 | syl5eq 2497 |
. . 3
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98 | 86, 97 | eqtr4d 2488 |
. 2
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99 | 19, 24, 98 | 3eqtr3d 2493 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-rep 4515 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 ax-inf2 8146 ax-cnex 9595 ax-resscn 9596 ax-1cn 9597 ax-icn 9598 ax-addcl 9599 ax-addrcl 9600 ax-mulcl 9601 ax-mulrcl 9602 ax-mulcom 9603 ax-addass 9604 ax-mulass 9605 ax-distr 9606 ax-i2m1 9607 ax-1ne0 9608 ax-1rid 9609 ax-rnegex 9610 ax-rrecex 9611 ax-cnre 9612 ax-pre-lttri 9613 ax-pre-lttrn 9614 ax-pre-ltadd 9615 ax-pre-mulgt0 9616 ax-addf 9618 ax-mulf 9619 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 986 df-3an 987 df-xor 1406 df-tru 1447 df-fal 1450 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-nel 2625 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rmo 2745 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-pss 3420 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-tp 3973 df-op 3975 df-ot 3977 df-uni 4199 df-int 4235 df-iun 4280 df-iin 4281 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4498 df-eprel 4745 df-id 4749 df-po 4755 df-so 4756 df-fr 4793 df-se 4794 df-we 4795 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-pred 5380 df-ord 5426 df-on 5427 df-lim 5428 df-suc 5429 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-isom 5591 df-riota 6252 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-of 6531 df-om 6693 df-1st 6793 df-2nd 6794 df-supp 6915 df-tpos 6973 df-wrecs 7028 df-recs 7090 df-rdg 7128 df-1o 7182 df-2o 7183 df-oadd 7186 df-er 7363 df-map 7474 df-pm 7475 df-ixp 7523 df-en 7570 df-dom 7571 df-sdom 7572 df-fin 7573 df-fsupp 7884 df-sup 7956 df-oi 8025 df-card 8373 df-cda 8598 df-pnf 9677 df-mnf 9678 df-xr 9679 df-ltxr 9680 df-le 9681 df-sub 9862 df-neg 9863 df-div 10270 df-nn 10610 df-2 10668 df-3 10669 df-4 10670 df-5 10671 df-6 10672 df-7 10673 df-8 10674 df-9 10675 df-10 10676 df-n0 10870 df-z 10938 df-dec 11052 df-uz 11160 df-rp 11303 df-fz 11785 df-fzo 11916 df-seq 12214 df-exp 12273 df-hash 12516 df-word 12664 df-lsw 12665 df-concat 12666 df-s1 12667 df-substr 12668 df-splice 12669 df-reverse 12670 df-s2 12944 df-struct 15123 df-ndx 15124 df-slot 15125 df-base 15126 df-sets 15127 df-ress 15128 df-plusg 15203 df-mulr 15204 df-starv 15205 df-sca 15206 df-vsca 15207 df-ip 15208 df-tset 15209 df-ple 15210 df-ds 15212 df-unif 15213 df-hom 15214 df-cco 15215 df-0g 15340 df-gsum 15341 df-prds 15346 df-pws 15348 df-mre 15492 df-mrc 15493 df-acs 15495 df-mgm 16488 df-sgrp 16527 df-mnd 16537 df-mhm 16582 df-submnd 16583 df-grp 16673 df-minusg 16674 df-sbg 16675 df-mulg 16676 df-subg 16814 df-ghm 16881 df-gim 16923 df-cntz 16971 df-oppg 16997 df-symg 17019 df-pmtr 17083 df-psgn 17132 df-evpm 17133 df-cmn 17432 df-abl 17433 df-mgp 17724 df-ur 17736 df-ring 17782 df-cring 17783 df-oppr 17851 df-dvdsr 17869 df-unit 17870 df-invr 17900 df-dvr 17911 df-rnghom 17943 df-drng 17977 df-subrg 18006 df-lmod 18093 df-lss 18156 df-sra 18395 df-rgmod 18396 df-cnfld 18971 df-zring 19040 df-zrh 19075 df-dsmm 19295 df-frlm 19310 df-mamu 19409 df-mat 19433 df-mdet 19610 df-madu 19659 |
This theorem is referenced by: madulid 19670 matinv 19702 cpmadurid 19891 cpmidgsum2 19903 |
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