Theorem madugsum 19723

Description: The determinant of a matrix with a row L consisting of the same element X is the sum of the elements of the L-th column of the adjunct of the matrix multiplied with X. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
maduf.a	|- A = ( N Mat R )
maduf.j	|- J = ( N maAdju R )
maduf.b	|- B = ( Base ` A )
madugsum.d	|- D = ( N maDet R )
madugsum.t	|- .x. = ( .r ` R )
madugsum.k	|- K = ( Base ` R )
madugsum.m	|- ( ph -> M e. B )
madugsum.r	|- ( ph -> R e. CRing )
madugsum.x	|- ( ( ph /\ i e. N ) -> X e. K )
madugsum.l	|- ( ph -> L e. N )

Assertion

Ref	Expression
madugsum	|- ( ph -> ( R gsumg ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, N, j   R, i, j   B, i, j   ph, i, j   i, J   i, K, j   i, M, j   j, X   .x. , i   i, L, j

Allowed substitution hints:   A( i, j)   D( i, j)   .x. ( j)   J( j)   X( i)

Proof of Theorem madugsum

Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 4499	. . . . 5 |- ( c = (/) -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
2	1	oveq2d 6336	. . . 4 |- ( c = (/) -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
3		eleq2 2529	. . . . . . . 8 |- ( c = (/) -> ( b e. c <-> b e. (/) ) )
4	3	ifbid 3915	. . . . . . 7 |- ( c = (/) -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
5	4	ifeq1d 3911	. . . . . 6 |- ( c = (/) -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
6	5	mpt2eq3dv 6389	. . . . 5 |- ( c = (/) -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
7	6	fveq2d 5896	. . . 4 |- ( c = (/) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
8	2, 7	eqeq12d 2477	. . 3 |- ( c = (/) -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
9		mpteq1 4499	. . . . 5 |- ( c = d -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
10	9	oveq2d 6336	. . . 4 |- ( c = d -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
11		eleq2 2529	. . . . . . . 8 |- ( c = d -> ( b e. c <-> b e. d ) )
12	11	ifbid 3915	. . . . . . 7 |- ( c = d -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
13	12	ifeq1d 3911	. . . . . 6 |- ( c = d -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
14	13	mpt2eq3dv 6389	. . . . 5 |- ( c = d -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
15	14	fveq2d 5896	. . . 4 |- ( c = d -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
16	10, 15	eqeq12d 2477	. . 3 |- ( c = d -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
17		mpteq1 4499	. . . . 5 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
18	17	oveq2d 6336	. . . 4 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
19		eleq2 2529	. . . . . . . 8 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( b e. c <-> b e. ( d u. { e } ) ) )
20	19	ifbid 3915	. . . . . . 7 |- ( c = ( d u. { e } ) -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
21	20	ifeq1d 3911	. . . . . 6 |- ( c = ( d u. { e } ) -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
22	21	mpt2eq3dv 6389	. . . . 5 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
23	22	fveq2d 5896	. . . 4 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
24	18, 23	eqeq12d 2477	. . 3 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
25		mpteq1 4499	. . . . 5 |- ( c = N -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
26	25	oveq2d 6336	. . . 4 |- ( c = N -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
27		eleq2 2529	. . . . . . . 8 |- ( c = N -> ( b e. c <-> b e. N ) )
28	27	ifbid 3915	. . . . . . 7 |- ( c = N -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
29	28	ifeq1d 3911	. . . . . 6 |- ( c = N -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
30	29	mpt2eq3dv 6389	. . . . 5 |- ( c = N -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
31	30	fveq2d 5896	. . . 4 |- ( c = N -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
32	26, 31	eqeq12d 2477	. . 3 |- ( c = N -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
33		noel 3747	. . . . . . . . 9 |- -. b e. (/)
34		iffalse 3902	. . . . . . . . 9 |- ( -. b e. (/) -> if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
35	33, 34	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
36	35	ifeq1d 3911	. . . . . . 7 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) )
37	36	mpt2eq3ia 6388	. . . . . 6 |- ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) )
38	37	fveq2i 5895	. . . . 5 |- ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) ) )
39		madugsum.d	. . . . . 6 |- D = ( N maDet R )
40		madugsum.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` R )
41		eqid 2462	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
42		madugsum.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. CRing )
43		madugsum.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. B )
44		maduf.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( N Mat R )
45		maduf.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` A )
46	44, 45	matrcl 19492	. . . . . . . 8 |- ( M e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
47	43, 46	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
48	47	simpld 465	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. Fin )
49	44, 40, 45	matbas2i 19502	. . . . . . . . 9 |- ( M e. B -> M e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
50		elmapi 7524	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> M : ( N X. N ) --> K )
51	43, 49, 50	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M : ( N X. N ) --> K )
52	51	fovrnda 6472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a M b ) e. K )
53	52	3impb 1211	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( a M b ) e. K )
54		madugsum.l	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. N )
55	39, 40, 41, 42, 48, 53, 54	mdetr0 19685	. . . . 5 |- ( ph -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) ) ) = ( 0g ` R ) )
56	38, 55	syl5eq 2508	. . . 4 |- ( ph -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( 0g ` R ) )
57		mpt0 5731	. . . . . 6 |- ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = (/)
58	57	oveq2i 6331	. . . . 5 |- ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg (/) )
59	41	gsum0 16576	. . . . 5 |- ( R gsumg (/) ) = ( 0g ` R )
60	58, 59	eqtri 2484	. . . 4 |- ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( 0g ` R )
61	56, 60	syl6reqr 2515	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
62		eqid 2462	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
63	42	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. CRing )
64		crngring 17846	. . . . . . . . 9 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. Ring )
66		ringcmn 17866	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. CMnd )
68	48	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> N e. Fin )
69		simprl 769	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> d C_ N )
70		ssfi 7823	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ d C_ N ) -> d e. Fin )
71	68, 69, 70	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> d e. Fin )
72	65	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> R e. Ring )
73	69	sselda 3444	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> b e. N )
74		madugsum.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> X e. K )
75	74	ralrimiva 2814	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. i e. N X e. K )
76	75	ad2antrr 737	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> A. i e. N X e. K )
77		rspcsbela 3807	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. N /\ A. i e. N X e. K ) -> [_ b / i ]_ X e. K )
78	73, 76, 77	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> [_ b / i ]_ X e. K )
79		maduf.j	. . . . . . . . . . . . . 14 |- J = ( N maAdju R )
80	44, 79, 45	maduf 19721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. CRing -> J : B --> B )
81	42, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J : B --> B )
82	81, 43	ffvelrnd 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( J ` M ) e. B )
83	44, 40, 45	matbas2i 19502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ` M ) e. B -> ( J ` M ) e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
84		elmapi 7524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ` M ) e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
85	82, 83, 84	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
86	85	ad2antrr 737	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
87	54	ad2antrr 737	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> L e. N )
88	86, 73, 87	fovrnd 6473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> ( b ( J ` M ) L ) e. K )
89		madugsum.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .r ` R )
90	40, 89	ringcl 17849	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ [_ b / i ]_ X e. K /\ ( b ( J ` M ) L ) e. K ) -> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) e. K )
91	72, 78, 88, 90	syl3anc 1276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) e. K )
92		vex 3060	. . . . . . . 8 |- e e. _V
93	92	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> e e. _V )
94		eldifn 3568	. . . . . . . 8 |- ( e e. ( N \ d ) -> -. e e. d )
95	94	ad2antll 740	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> -. e e. d )
96		eldifi 3567	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. ( N \ d ) -> e e. N )
97	96	ad2antll 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> e e. N )
98	75	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> A. i e. N X e. K )
99		rspcsbela 3807	. . . . . . . . 9 |- ( ( e e. N /\ A. i e. N X e. K ) -> [_ e / i ]_ X e. K )
100	97, 98, 99	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> [_ e / i ]_ X e. K )
101	85	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
102	54	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> L e. N )
103	101, 97, 102	fovrnd 6473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( e ( J ` M ) L ) e. K )
104	40, 89	ringcl 17849	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K /\ ( e ( J ` M ) L ) e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) e. K )
105	65, 100, 103, 104	syl3anc 1276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) e. K )
106		csbeq1 3378	. . . . . . . 8 |- ( b = e -> [_ b / i ]_ X = [_ e / i ]_ X )
107		oveq1 6327	. . . . . . . 8 |- ( b = e -> ( b ( J ` M ) L ) = ( e ( J ` M ) L ) )
108	106, 107	oveq12d 6338	. . . . . . 7 |- ( b = e -> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) )
109	40, 62, 67, 71, 91, 93, 95, 105, 108	gsumunsn 17647	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
110	109	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
111		oveq1 6327	. . . . . 6 |- ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) -> ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
112	111	adantl 472	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
113		elun 3586	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( d u. { e } ) <-> ( b e. d \/ b e. { e } ) )
114		elsn 3994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. { e } <-> b = e )
115	114	orbi2i 526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. d \/ b e. { e } ) <-> ( b e. d \/ b = e ) )
116	113, 115	bitri 257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( d u. { e } ) <-> ( b e. d \/ b = e ) )
117		ifbi 3914	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ( d u. { e } ) <-> ( b e. d \/ b = e ) ) -> if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) )
119		ringmnd 17844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
120	65, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. Mnd )
121	120	3ad2ant1 1035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> R e. Mnd )
122		simp3 1016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> b e. N )
123	98	3ad2ant1 1035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> A. i e. N X e. K )
124	122, 123, 77	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> [_ b / i ]_ X e. K )
125		elequ1 1905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = e -> ( b e. d <-> e e. d ) )
126	125	biimpac 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. d /\ b = e ) -> e e. d )
127	95, 126	nsyl 126	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> -. ( b e. d /\ b = e ) )
128	127	3ad2ant1 1035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> -. ( b e. d /\ b = e ) )
129	40, 41, 62	mndifsplit 19716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Mnd /\ [_ b / i ]_ X e. K /\ -. ( b e. d /\ b = e ) ) -> if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) )
130	121, 124, 128, 129	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) )
131	118, 130	syl5eq 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) )
132	106	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b = e ) -> [_ b / i ]_ X = [_ e / i ]_ X )
133	132	ifeq1da 3923	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b = e , [_ e / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
134		ovif2 6406	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( b = e , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) )
135		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
136	40, 89, 135	ringridm 17860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) = [_ e / i ]_ X )
137	65, 100, 136	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) = [_ e / i ]_ X )
138	40, 89, 41	ringrz 17873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
139	65, 100, 138	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
140	137, 139	ifeq12d 3913	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) ) = if ( b = e , [_ e / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
141	134, 140	syl5eq 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( b = e , [_ e / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
142	133, 141	eqtr4d 2499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
143	142	oveq2d 6336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
144	143	3ad2ant1 1035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
145	131, 144	eqtrd 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
146	145	ifeq1d 3911	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) )
147	146	mpt2eq3dva 6387	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) ) )
148	147	fveq2d 5896	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
149	40, 41	ring0cl 17857	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. K )
150	65, 149	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( 0g ` R ) e. K )
151	150	3ad2ant1 1035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( 0g ` R ) e. K )
152	124, 151	ifcld 3936	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) e. K )
153	40, 135	ringidcl 17856	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. K )
154	65, 153	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( 1r ` R ) e. K )
155	154, 150	ifcld 3936	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. K )
156	40, 89	ringcl 17849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K /\ if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. K )
157	65, 100, 155, 156	syl3anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. K )
158	157	3ad2ant1 1035	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. K )
159	51	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> M : ( N X. N ) --> K )
160	159	fovrnda 6472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a M b ) e. K )
161	160	3impb 1211	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( a M b ) e. K )
162	39, 40, 62, 63, 68, 152, 158, 161, 102	mdetrlin2 19687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
163	155	3ad2ant1 1035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. K )
164	39, 40, 89, 63, 68, 163, 161, 100, 102	mdetrsca2 19684	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
165	43	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> M e. B )
166	44, 39, 79, 45, 135, 41	maducoeval 19719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. B /\ e e. N /\ L e. N ) -> ( e ( J ` M ) L ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
167	165, 97, 102, 166	syl3anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( e ( J ` M ) L ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
168	167	oveq2d 6336	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
169	164, 168	eqtr4d 2499	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) )
170	169	oveq2d 6336	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
171	148, 162, 170	3eqtrrd 2501	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
172	171	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
173	110, 112, 172	3eqtrd 2500	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
174	173	ex 440	. . 3 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
175	8, 16, 24, 32, 61, 174, 48	findcard2d 7844	. 2 |- ( ph -> ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
176		nfcv 2603	. . . 4 |- F/_ b ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) )
177		nfcsb1v 3391	. . . . 5 |- F/_ i [_ b / i ]_ X
178		nfcv 2603	. . . . 5 |- F/_ i .x.
179		nfcv 2603	. . . . 5 |- F/_ i ( b ( J ` M ) L )
180	177, 178, 179	nfov 6346	. . . 4 |- F/_ i ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) )
181		csbeq1a 3384	. . . . 5 |- ( i = b -> X = [_ b / i ]_ X )
182		oveq1 6327	. . . . 5 |- ( i = b -> ( i ( J ` M ) L ) = ( b ( J ` M ) L ) )
183	181, 182	oveq12d 6338	. . . 4 |- ( i = b -> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) = ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) )
184	176, 180, 183	cbvmpt 4510	. . 3 |- ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) )
185	184	oveq2i 6331	. 2 |- ( R gsumg ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
186		nfcv 2603	. . . . 5 |- F/_ a if ( j = L , X , ( j M i ) )
187		nfcv 2603	. . . . 5 |- F/_ b if ( j = L , X , ( j M i ) )
188		nfcv 2603	. . . . 5 |- F/_ j if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) )
189		nfv 1772	. . . . . 6 |- F/ i a = L
190		nfcv 2603	. . . . . 6 |- F/_ i ( a M b )
191	189, 177, 190	nfif 3922	. . . . 5 |- F/_ i if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) )
192		eqeq1 2466	. . . . . . 7 |- ( j = a -> ( j = L <-> a = L ) )
193	192	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> ( j = L <-> a = L ) )
194	181	adantl 472	. . . . . 6 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> X = [_ b / i ]_ X )
195		oveq12 6329	. . . . . 6 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> ( j M i ) = ( a M b ) )
196	193, 194, 195	ifbieq12d 3920	. . . . 5 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> if ( j = L , X , ( j M i ) ) = if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) )
197	186, 187, 188, 191, 196	cbvmpt2 6402	. . . 4 |- ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) )
198		iftrue 3899	. . . . . . . 8 |- ( b e. N -> if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = [_ b / i ]_ X )
199	198	eqcomd 2468	. . . . . . 7 |- ( b e. N -> [_ b / i ]_ X = if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
200	199	adantl 472	. . . . . 6 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> [_ b / i ]_ X = if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
201	200	ifeq1d 3911	. . . . 5 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
202	201	mpt2eq3ia 6388	. . . 4 |- ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
203	197, 202	eqtri 2484	. . 3 |- ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
204	203	fveq2i 5895	. 2 |- ( D ` ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
205	175, 185, 204	3eqtr4g 2521	1 |- ( ph -> ( R gsumg ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   _Vcvv 3057   [_csb 3375   \ cdif 3413   u. cun 3414   C_ wss 3416   (/)c0 3743   ifcif 3893   {csn 3980   |-> cmpt 4477   X. cxp 4854   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   |-> cmpt2 6322   ^m cmap 7503   Fincfn 7600   Basecbs 15176   +g cplusg 15245   .rcmulr 15246   0gc0g 15393   gsum_g cgsu 15394   Mndcmnd 16590  CMndccmn 17485   1rcur 17790   Ringcrg 17835   CRingccrg 17836   Mat cmat 19487   maDet cmdat 19664   maAdju cmadu 19712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-addf 9649  ax-mulf 9650

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-xor 1416  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-tpos 7004  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-ixp 7554  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-sup 7987  df-oi 8056  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-rp 11337  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-word 12703  df-lsw 12704  df-concat 12705  df-s1 12706  df-substr 12707  df-splice 12708  df-reverse 12709  df-s2 12987  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-hom 15269  df-cco 15270  df-0g 15395  df-gsum 15396  df-prds 15401  df-pws 15403  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-mhm 16637  df-submnd 16638  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-mulg 16731  df-subg 16869  df-ghm 16936  df-gim 16978  df-cntz 17026  df-oppg 17052  df-symg 17074  df-pmtr 17138  df-psgn 17187  df-cmn 17487  df-abl 17488  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-cring 17838  df-oppr 17906  df-dvdsr 17924  df-unit 17925  df-invr 17955  df-dvr 17966  df-rnghom 17998  df-drng 18032  df-subrg 18061  df-sra 18450  df-rgmod 18451  df-cnfld 19026  df-zring 19095  df-zrh 19130  df-dsmm 19350  df-frlm 19365  df-mat 19488  df-mdet 19665  df-madu 19714

This theorem is referenced by:  madurid  19724  mdetlap1  28703