Theorem madugsum 18349

Description: The determinant of a matrix with a row L consisting of the same element X is the sum of the elements of the L-th column of the adjunct of the matrix multiplied with X. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
maduf.a	|- A = ( N Mat R )
maduf.j	|- J = ( N maAdju R )
maduf.b	|- B = ( Base ` A )
madugsum.d	|- D = ( N maDet R )
madugsum.t	|- .x. = ( .r ` R )
madugsum.k	|- K = ( Base ` R )
madugsum.m	|- ( ph -> M e. B )
madugsum.r	|- ( ph -> R e. CRing )
madugsum.x	|- ( ( ph /\ i e. N ) -> X e. K )
madugsum.l	|- ( ph -> L e. N )

Assertion

Ref	Expression
madugsum	|- ( ph -> ( R gsumg ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, N, j   R, i, j   B, i, j   ph, i, j   i, J   i, K, j   i, M, j   j, X   .x. , i   i, L, j

Allowed substitution hints:   A( i, j)   D( i, j)   .x. ( j)   J( j)   X( i)

Proof of Theorem madugsum

Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 4369	. . . . 5 |- ( c = (/) -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
2	1	oveq2d 6106	. . . 4 |- ( c = (/) -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
3		eleq2 2502	. . . . . . . 8 |- ( c = (/) -> ( b e. c <-> b e. (/) ) )
4	3	ifbid 3808	. . . . . . 7 |- ( c = (/) -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
5	4	ifeq1d 3804	. . . . . 6 |- ( c = (/) -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
6	5	mpt2eq3dv 6151	. . . . 5 |- ( c = (/) -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
7	6	fveq2d 5692	. . . 4 |- ( c = (/) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
8	2, 7	eqeq12d 2455	. . 3 |- ( c = (/) -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
9		mpteq1 4369	. . . . 5 |- ( c = d -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
10	9	oveq2d 6106	. . . 4 |- ( c = d -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
11		eleq2 2502	. . . . . . . 8 |- ( c = d -> ( b e. c <-> b e. d ) )
12	11	ifbid 3808	. . . . . . 7 |- ( c = d -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
13	12	ifeq1d 3804	. . . . . 6 |- ( c = d -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
14	13	mpt2eq3dv 6151	. . . . 5 |- ( c = d -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
15	14	fveq2d 5692	. . . 4 |- ( c = d -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
16	10, 15	eqeq12d 2455	. . 3 |- ( c = d -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
17		mpteq1 4369	. . . . 5 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
18	17	oveq2d 6106	. . . 4 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
19		eleq2 2502	. . . . . . . 8 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( b e. c <-> b e. ( d u. { e } ) ) )
20	19	ifbid 3808	. . . . . . 7 |- ( c = ( d u. { e } ) -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
21	20	ifeq1d 3804	. . . . . 6 |- ( c = ( d u. { e } ) -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
22	21	mpt2eq3dv 6151	. . . . 5 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
23	22	fveq2d 5692	. . . 4 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
24	18, 23	eqeq12d 2455	. . 3 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
25		mpteq1 4369	. . . . 5 |- ( c = N -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
26	25	oveq2d 6106	. . . 4 |- ( c = N -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
27		eleq2 2502	. . . . . . . 8 |- ( c = N -> ( b e. c <-> b e. N ) )
28	27	ifbid 3808	. . . . . . 7 |- ( c = N -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
29	28	ifeq1d 3804	. . . . . 6 |- ( c = N -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
30	29	mpt2eq3dv 6151	. . . . 5 |- ( c = N -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
31	30	fveq2d 5692	. . . 4 |- ( c = N -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
32	26, 31	eqeq12d 2455	. . 3 |- ( c = N -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
33		noel 3638	. . . . . . . . 9 |- -. b e. (/)
34		iffalse 3796	. . . . . . . . 9 |- ( -. b e. (/) -> if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
35	33, 34	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
36	35	ifeq1d 3804	. . . . . . 7 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) )
37	36	mpt2eq3ia 6150	. . . . . 6 |- ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) )
38	37	fveq2i 5691	. . . . 5 |- ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) ) )
39		madugsum.d	. . . . . 6 |- D = ( N maDet R )
40		madugsum.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` R )
41		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
42		madugsum.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. CRing )
43		madugsum.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. B )
44		maduf.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( N Mat R )
45		maduf.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` A )
46	44, 45	matrcl 18212	. . . . . . . 8 |- ( M e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
47	43, 46	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
48	47	simpld 456	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. Fin )
49	44, 40, 45	matbas2i 18223	. . . . . . . . 9 |- ( M e. B -> M e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
50		elmapi 7230	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> M : ( N X. N ) --> K )
51	43, 49, 50	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M : ( N X. N ) --> K )
52	51	fovrnda 6233	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a M b ) e. K )
53	52	3impb 1178	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( a M b ) e. K )
54		madugsum.l	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. N )
55	39, 40, 41, 42, 48, 53, 54	mdetr0 18312	. . . . 5 |- ( ph -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) ) ) = ( 0g ` R ) )
56	38, 55	syl5eq 2485	. . . 4 |- ( ph -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( 0g ` R ) )
57		mpt0 5535	. . . . . 6 |- ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = (/)
58	57	oveq2i 6101	. . . . 5 |- ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg (/) )
59	41	gsum0 15503	. . . . 5 |- ( R gsumg (/) ) = ( 0g ` R )
60	58, 59	eqtri 2461	. . . 4 |- ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( 0g ` R )
61	56, 60	syl6reqr 2492	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
62		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
63	42	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. CRing )
64		crngrng 16645	. . . . . . . . 9 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. Ring )
66		rngcmn 16665	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
67	65, 66	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. CMnd )
68	48	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> N e. Fin )
69		simprl 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> d C_ N )
70		ssfi 7529	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ d C_ N ) -> d e. Fin )
71	68, 69, 70	syl2anc 656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> d e. Fin )
72	65	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> R e. Ring )
73	69	sselda 3353	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> b e. N )
74		madugsum.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> X e. K )
75	74	ralrimiva 2797	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. i e. N X e. K )
76	75	ad2antrr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> A. i e. N X e. K )
77		rspcsbela 3702	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. N /\ A. i e. N X e. K ) -> [_ b / i ]_ X e. K )
78	73, 76, 77	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> [_ b / i ]_ X e. K )
79		maduf.j	. . . . . . . . . . . . . 14 |- J = ( N maAdju R )
80	44, 79, 45	maduf 18347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. CRing -> J : B --> B )
81	42, 80	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J : B --> B )
82	81, 43	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( J ` M ) e. B )
83	44, 40, 45	matbas2i 18223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ` M ) e. B -> ( J ` M ) e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
84		elmapi 7230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ` M ) e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
85	82, 83, 84	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
86	85	ad2antrr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
87	54	ad2antrr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> L e. N )
88	86, 73, 87	fovrnd 6234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> ( b ( J ` M ) L ) e. K )
89		madugsum.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .r ` R )
90	40, 89	rngcl 16648	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ [_ b / i ]_ X e. K /\ ( b ( J ` M ) L ) e. K ) -> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) e. K )
91	72, 78, 88, 90	syl3anc 1213	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) e. K )
92		vex 2973	. . . . . . . 8 |- e e. _V
93	92	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> e e. _V )
94		eldifn 3476	. . . . . . . 8 |- ( e e. ( N \ d ) -> -. e e. d )
95	94	ad2antll 723	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> -. e e. d )
96		eldifi 3475	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. ( N \ d ) -> e e. N )
97	96	ad2antll 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> e e. N )
98	75	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> A. i e. N X e. K )
99		rspcsbela 3702	. . . . . . . . 9 |- ( ( e e. N /\ A. i e. N X e. K ) -> [_ e / i ]_ X e. K )
100	97, 98, 99	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> [_ e / i ]_ X e. K )
101	85	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
102	54	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> L e. N )
103	101, 97, 102	fovrnd 6234	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( e ( J ` M ) L ) e. K )
104	40, 89	rngcl 16648	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K /\ ( e ( J ` M ) L ) e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) e. K )
105	65, 100, 103, 104	syl3anc 1213	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) e. K )
106		csbeq1 3288	. . . . . . . 8 |- ( b = e -> [_ b / i ]_ X = [_ e / i ]_ X )
107		oveq1 6097	. . . . . . . 8 |- ( b = e -> ( b ( J ` M ) L ) = ( e ( J ` M ) L ) )
108	106, 107	oveq12d 6108	. . . . . . 7 |- ( b = e -> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) )
109	40, 62, 67, 71, 91, 93, 95, 105, 108	gsumunsn 16444	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
110	109	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
111		oveq1 6097	. . . . . 6 |- ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) -> ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
112	111	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
113		elun 3494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( d u. { e } ) <-> ( b e. d \/ b e. { e } ) )
114		elsn 3888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. { e } <-> b = e )
115	114	orbi2i 516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. d \/ b e. { e } ) <-> ( b e. d \/ b = e ) )
116	113, 115	bitri 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( d u. { e } ) <-> ( b e. d \/ b = e ) )
117		ifbi 3807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ( d u. { e } ) <-> ( b e. d \/ b = e ) ) -> if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) )
119		rngmnd 16644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
120	65, 119	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. Mnd )
121	120	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> R e. Mnd )
122		simp3 985	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> b e. N )
123	98	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> A. i e. N X e. K )
124	122, 123, 77	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> [_ b / i ]_ X e. K )
125		elequ1 1764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = e -> ( b e. d <-> e e. d ) )
126	125	biimpac 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. d /\ b = e ) -> e e. d )
127	95, 126	nsyl 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> -. ( b e. d /\ b = e ) )
128	127	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> -. ( b e. d /\ b = e ) )
129	40, 41, 62	mndifsplit 18342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Mnd /\ [_ b / i ]_ X e. K /\ -. ( b e. d /\ b = e ) ) -> if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) )
130	121, 124, 128, 129	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) )
131	118, 130	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) )
132	106	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b = e ) -> [_ b / i ]_ X = [_ e / i ]_ X )
133	132	ifeq1da 3816	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b = e , [_ e / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
134		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 1r ` R ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) )
135		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) )
136	134, 135	ifsb 3799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( b = e , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) )
137		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
138	40, 89, 137	rngridm 16659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) = [_ e / i ]_ X )
139	65, 100, 138	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) = [_ e / i ]_ X )
140	40, 89, 41	rngrz 16672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
141	65, 100, 140	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
142	139, 141	ifeq12d 3806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) ) = if ( b = e , [_ e / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
143	136, 142	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( b = e , [_ e / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
144	133, 143	eqtr4d 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
145	144	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
146	145	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
147	131, 146	eqtrd 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
148	147	ifeq1d 3804	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) )
149	148	mpt2eq3dva 6149	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) ) )
150	149	fveq2d 5692	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
151	40, 41	rng0cl 16656	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. K )
152	65, 151	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( 0g ` R ) e. K )
153	152	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( 0g ` R ) e. K )
154	124, 153	ifcld 3829	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) e. K )
155	40, 137	rngidcl 16655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. K )
156	65, 155	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( 1r ` R ) e. K )
157	156, 152	ifcld 3829	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. K )
158	40, 89	rngcl 16648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K /\ if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. K )
159	65, 100, 157, 158	syl3anc 1213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. K )
160	159	3ad2ant1 1004	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. K )
161	51	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> M : ( N X. N ) --> K )
162	161	fovrnda 6233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a M b ) e. K )
163	162	3impb 1178	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( a M b ) e. K )
164	39, 40, 62, 63, 68, 154, 160, 163, 102	mdetrlin2 18313	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
165	157	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. K )
166	39, 40, 89, 63, 68, 165, 163, 100, 102	mdetrsca2 18311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
167	43	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> M e. B )
168	44, 39, 79, 45, 137, 41	maducoeval 18345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. B /\ e e. N /\ L e. N ) -> ( e ( J ` M ) L ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
169	167, 97, 102, 168	syl3anc 1213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( e ( J ` M ) L ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
170	169	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
171	166, 170	eqtr4d 2476	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) )
172	171	oveq2d 6106	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
173	150, 164, 172	3eqtrrd 2478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
174	173	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
175	110, 112, 174	3eqtrd 2477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
176	175	ex 434	. . 3 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
177	8, 16, 24, 32, 61, 176, 48	findcard2d 7550	. 2 |- ( ph -> ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
178		nfcv 2577	. . . 4 |- F/_ b ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) )
179		nfcsb1v 3301	. . . . 5 |- F/_ i [_ b / i ]_ X
180		nfcv 2577	. . . . 5 |- F/_ i .x.
181		nfcv 2577	. . . . 5 |- F/_ i ( b ( J ` M ) L )
182	179, 180, 181	nfov 6113	. . . 4 |- F/_ i ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) )
183		csbeq1a 3294	. . . . 5 |- ( i = b -> X = [_ b / i ]_ X )
184		oveq1 6097	. . . . 5 |- ( i = b -> ( i ( J ` M ) L ) = ( b ( J ` M ) L ) )
185	183, 184	oveq12d 6108	. . . 4 |- ( i = b -> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) = ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) )
186	178, 182, 185	cbvmpt 4379	. . 3 |- ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) )
187	186	oveq2i 6101	. 2 |- ( R gsumg ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
188		nfcv 2577	. . . . 5 |- F/_ a if ( j = L , X , ( j M i ) )
189		nfcv 2577	. . . . 5 |- F/_ b if ( j = L , X , ( j M i ) )
190		nfcv 2577	. . . . 5 |- F/_ j if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) )
191		nfv 1678	. . . . . 6 |- F/ i a = L
192		nfcv 2577	. . . . . 6 |- F/_ i ( a M b )
193	191, 179, 192	nfif 3815	. . . . 5 |- F/_ i if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) )
194		eqeq1 2447	. . . . . . 7 |- ( j = a -> ( j = L <-> a = L ) )
195	194	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> ( j = L <-> a = L ) )
196	183	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> X = [_ b / i ]_ X )
197		oveq12 6099	. . . . . 6 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> ( j M i ) = ( a M b ) )
198	195, 196, 197	ifbieq12d 3813	. . . . 5 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> if ( j = L , X , ( j M i ) ) = if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) )
199	188, 189, 190, 193, 198	cbvmpt2 6164	. . . 4 |- ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) )
200		iftrue 3794	. . . . . . . 8 |- ( b e. N -> if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = [_ b / i ]_ X )
201	200	eqcomd 2446	. . . . . . 7 |- ( b e. N -> [_ b / i ]_ X = if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
202	201	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> [_ b / i ]_ X = if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
203	202	ifeq1d 3804	. . . . 5 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
204	203	mpt2eq3ia 6150	. . . 4 |- ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
205	199, 204	eqtri 2461	. . 3 |- ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
206	205	fveq2i 5691	. 2 |- ( D ` ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
207	177, 187, 206	3eqtr4g 2498	1 |- ( ph -> ( R gsumg ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970   [_csb 3285   \ cdif 3322   u. cun 3323   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   {csn 3874   e. cmpt 4347   X. cxp 4834   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   e. cmpt2 6092   ^m cmap 7210   Fincfn 7306   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235   0gc0g 14374   gsum_g cgsu 14375   Mndcmnd 15405  CMndccmn 16270   1rcur 16593   Ringcrg 16635   CRingccrg 16636   Mat cmat 18180   maDet cmdat 18295   maAdju cmadu 18338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-xor 1346  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-ot 3883  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-word 12225  df-concat 12227  df-s1 12228  df-substr 12229  df-splice 12230  df-reverse 12231  df-s2 12471  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-prds 14382  df-pws 14384  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-gim 15780  df-cntz 15828  df-oppg 15854  df-symg 15876  df-pmtr 15941  df-psgn 15990  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-rnghom 16796  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-cnfld 17719  df-zring 17784  df-zrh 17835  df-dsmm 18057  df-frlm 18072  df-mat 18182  df-mdet 18296  df-madu 18340

This theorem is referenced by:  madurid  18350