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Theorem madugsum 18454
Description: The determinant of a matrix with a row  L consisting of the same element  X is the sum of the elements of the  L-th column of the adjunct of the matrix multiplied with  X. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
maduf.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
maduf.j  |-  J  =  ( N maAdju  R )
maduf.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
madugsum.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
madugsum.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
madugsum.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
madugsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  B )
madugsum.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
madugsum.x  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  X  e.  K )
madugsum.l  |-  ( ph  ->  L  e.  N )
Assertion
Ref Expression
madugsum  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  N  |->  ( X  .x.  (
i ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
j  e.  N , 
i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, N, j    R, i, j    B, i, j    ph, i, j   
i, J    i, K, j    i, M, j    j, X    .x. , i    i, L, j
Allowed substitution hints:    A( i, j)    D( i, j)    .x. ( j)    J( j)    X( i)

Proof of Theorem madugsum
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 4377 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  ( b  e.  c  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) )  =  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )
21oveq2d 6112 . . . 4  |-  ( c  =  (/)  ->  ( R 
gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) ) )
3 eleq2 2504 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  (/)  ->  ( b  e.  c  <->  b  e.  (/) ) )
43ifbid 3816 . . . . . . 7  |-  ( c  =  (/)  ->  if ( b  e.  c , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( b  e.  (/) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) )
54ifeq1d 3812 . . . . . 6  |-  ( c  =  (/)  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
65mpt2eq3dv 6157 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
76fveq2d 5700 . . . 4  |-  ( c  =  (/)  ->  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
82, 7eqeq12d 2457 . . 3  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  <-> 
( R  gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
9 mpteq1 4377 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
b  e.  c  |->  (
[_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) )  =  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )
109oveq2d 6112 . . . 4  |-  ( c  =  d  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) )
11 eleq2 2504 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  d  ->  (
b  e.  c  <->  b  e.  d ) )
1211ifbid 3816 . . . . . . 7  |-  ( c  =  d  ->  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
1312ifeq1d 3812 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
1413mpt2eq3dv 6157 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
1514fveq2d 5700 . . . 4  |-  ( c  =  d  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
1610, 15eqeq12d 2457 . . 3  |-  ( c  =  d  ->  (
( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  <-> 
( R  gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
17 mpteq1 4377 . . . . 5  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( b  e.  c  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) )  =  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )
1817oveq2d 6112 . . . 4  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  c  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u. 
{ e } ) 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) )
19 eleq2 2504 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( b  e.  c  <->  b  e.  ( d  u.  { e } ) ) )
2019ifbid 3816 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( b  e.  ( d  u.  {
e } ) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
2120ifeq1d 3812 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
2221mpt2eq3dv 6157 . . . . 5  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
2322fveq2d 5700 . . . 4  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
2418, 23eqeq12d 2457 . . 3  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( ( R 
gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  <-> 
( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
25 mpteq1 4377 . . . . 5  |-  ( c  =  N  ->  (
b  e.  c  |->  (
[_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) )  =  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )
2625oveq2d 6112 . . . 4  |-  ( c  =  N  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) )
27 eleq2 2504 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  N  ->  (
b  e.  c  <->  b  e.  N ) )
2827ifbid 3816 . . . . . . 7  |-  ( c  =  N  ->  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
2928ifeq1d 3812 . . . . . 6  |-  ( c  =  N  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
3029mpt2eq3dv 6157 . . . . 5  |-  ( c  =  N  ->  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
3130fveq2d 5700 . . . 4  |-  ( c  =  N  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
3226, 31eqeq12d 2457 . . 3  |-  ( c  =  N  ->  (
( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  <-> 
( R  gsumg  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
33 noel 3646 . . . . . . . . 9  |-  -.  b  e.  (/)
34 iffalse 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  b  e.  (/)  ->  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
3533, 34mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( b  e.  (/) ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
3635ifeq1d 3812 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  ( 0g `  R ) ,  ( a M b ) ) )
3736mpt2eq3ia 6156 . . . . . 6  |-  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( 0g `  R ) ,  ( a M b ) ) )
3837fveq2i 5699 . . . . 5  |-  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( 0g `  R ) ,  ( a M b ) ) ) )
39 madugsum.d . . . . . 6  |-  D  =  ( N maDet  R )
40 madugsum.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  R
)
41 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
42 madugsum.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
43 madugsum.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  B )
44 maduf.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( N Mat  R )
45 maduf.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  A
)
4644, 45matrcl 18317 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
4743, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
4847simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
4944, 40, 45matbas2i 18328 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
50 elmapi 7239 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> K )
5143, 49, 503syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M : ( N  X.  N ) --> K )
5251fovrnda 6239 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a M b )  e.  K )
53523impb 1183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( a M b )  e.  K )
54 madugsum.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  N )
5539, 40, 41, 42, 48, 53, 54mdetr0 18417 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( 0g `  R ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )
5638, 55syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
57 mpt0 5543 . . . . . 6  |-  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) )  =  (/)
5857oveq2i 6107 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  (/) )
5941gsum0 15515 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  R )
6058, 59eqtri 2463 . . . 4  |-  ( R 
gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )  =  ( 0g `  R )
6156, 60syl6reqr 2494 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
62 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
6342adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  R  e.  CRing )
64 crngrng 16660 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
6563, 64syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  R  e.  Ring )
66 rngcmn 16680 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6765, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  R  e. CMnd )
6848adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  N  e.  Fin )
69 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
d  C_  N )
70 ssfi 7538 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  d  C_  N )  -> 
d  e.  Fin )
7168, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
d  e.  Fin )
7265adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  R  e.  Ring )
7369sselda 3361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  b  e.  N )
74 madugsum.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  X  e.  K )
7574ralrimiva 2804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. i  e.  N  X  e.  K )
7675ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  A. i  e.  N  X  e.  K )
77 rspcsbela 3710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  N  /\  A. i  e.  N  X  e.  K )  ->  [_ b  /  i ]_ X  e.  K )
7873, 76, 77syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  [_ b  / 
i ]_ X  e.  K
)
79 maduf.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  =  ( N maAdju  R )
8044, 79, 45maduf 18452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  J : B
--> B )
8142, 80syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J : B --> B )
8281, 43ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J `  M
)  e.  B )
8344, 40, 45matbas2i 18328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J `  M )  e.  B  ->  ( J `  M )  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
84 elmapi 7239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J `  M )  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  ( J `  M ) : ( N  X.  N ) --> K )
8582, 83, 843syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J `  M
) : ( N  X.  N ) --> K )
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  ( J `  M ) : ( N  X.  N ) --> K )
8754ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  L  e.  N )
8886, 73, 87fovrnd 6240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  ( b
( J `  M
) L )  e.  K )
89 madugsum.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .r `  R )
9040, 89rngcl 16663 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ b  /  i ]_ X  e.  K  /\  (
b ( J `  M ) L )  e.  K )  -> 
( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) )  e.  K )
9172, 78, 88, 90syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) )  e.  K
)
92 vex 2980 . . . . . . . 8  |-  e  e. 
_V
9392a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
e  e.  _V )
94 eldifn 3484 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  ( N  \ 
d )  ->  -.  e  e.  d )
9594ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  -.  e  e.  d
)
96 eldifi 3483 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  ( N  \ 
d )  ->  e  e.  N )
9796ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
e  e.  N )
9875adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  A. i  e.  N  X  e.  K )
99 rspcsbela 3710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  e.  N  /\  A. i  e.  N  X  e.  K )  ->  [_ e  /  i ]_ X  e.  K )
10097, 98, 99syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  [_ e  /  i ]_ X  e.  K
)
10185adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( J `  M
) : ( N  X.  N ) --> K )
10254adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  L  e.  N )
103101, 97, 102fovrnd 6240 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( e ( J `
 M ) L )  e.  K )
10440, 89rngcl 16663 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ e  /  i ]_ X  e.  K  /\  (
e ( J `  M ) L )  e.  K )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `  M
) L ) )  e.  K )
10565, 100, 103, 104syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `  M
) L ) )  e.  K )
106 csbeq1 3296 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  e  ->  [_ b  /  i ]_ X  =  [_ e  /  i ]_ X )
107 oveq1 6103 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  e  ->  (
b ( J `  M ) L )  =  ( e ( J `  M ) L ) )
108106, 107oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( b  =  e  ->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) )
10940, 62, 67, 71, 91, 93, 95, 105, 108gsumunsn 16458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  (
e ( J `  M ) L ) ) ) )
110109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  (
e ( J `  M ) L ) ) ) )
111 oveq1 6103 . . . . . 6  |-  ( ( R  gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  ->  ( ( R 
gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  (
e ( J `  M ) L ) ) )  =  ( ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) ) )
112111adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  ->  (
( R  gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  (
e ( J `  M ) L ) ) )  =  ( ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) ) )
113 elun 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( d  u. 
{ e } )  <-> 
( b  e.  d  \/  b  e.  {
e } ) )
114 elsn 3896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  { e }  <-> 
b  =  e )
115114orbi2i 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  d  \/  b  e.  { e } )  <->  ( b  e.  d  \/  b  =  e ) )
116113, 115bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( d  u. 
{ e } )  <-> 
( b  e.  d  \/  b  =  e ) )
117 ifbi 3815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( d  u.  { e } )  <->  ( b  e.  d  \/  b  =  e ) )  ->  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( ( b  e.  d  \/  b  =  e ) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( ( b  e.  d  \/  b  =  e ) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )
119 rngmnd 16659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
12065, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  R  e.  Mnd )
1211203ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  R  e.  Mnd )
122 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  b  e.  N )
123983ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  A. i  e.  N  X  e.  K )
124122, 123, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  [_ b  / 
i ]_ X  e.  K
)
125 elequ1 1759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  e  ->  (
b  e.  d  <->  e  e.  d ) )
126125biimpac 486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  d  /\  b  =  e )  ->  e  e.  d )
12795, 126nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  -.  ( b  e.  d  /\  b  =  e ) )
1281273ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  -.  (
b  e.  d  /\  b  =  e )
)
12940, 41, 62mndifsplit 18447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  [_ b  /  i ]_ X  e.  K  /\  -.  ( b  e.  d  /\  b  =  e ) )  ->  if ( ( b  e.  d  \/  b  =  e ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
130121, 124, 128, 129syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
( b  e.  d  \/  b  =  e ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
131118, 130syl5eq 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
132106adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  =  e )  ->  [_ b  / 
i ]_ X  =  [_ e  /  i ]_ X
)
133132ifeq1da 3824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  if ( b  =  e ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( b  =  e , 
[_ e  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
134 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 1r
`  R )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 1r `  R
) ) )
135 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 0g `  R
) ) )
136134, 135ifsb 3807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  =  if ( b  =  e ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 1r `  R
) ) ,  (
[_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 0g
`  R ) ) )
137 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
13840, 89, 137rngridm 16674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ e  /  i ]_ X  e.  K )  ->  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 1r
`  R ) )  =  [_ e  / 
i ]_ X )
13965, 100, 138syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 1r
`  R ) )  =  [_ e  / 
i ]_ X )
14040, 89, 41rngrz 16687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ e  /  i ]_ X  e.  K )  ->  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
14165, 100, 140syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
142139, 141ifeq12d 3814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  if ( b  =  e ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 1r `  R
) ) ,  (
[_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 0g
`  R ) ) )  =  if ( b  =  e , 
[_ e  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
143136, 142syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  if ( b  =  e , 
[_ e  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
144133, 143eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  if ( b  =  e ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )
145144oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )
1461453ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R
) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )
147131, 146eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
148147ifeq1d 3812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  ( if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) ,  ( a M b ) ) )
149148mpt2eq3dva 6155 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
150149fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u. 
{ e } ) ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L , 
( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
15140, 41rng0cl 16671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  K )
15265, 151syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( 0g `  R
)  e.  K )
1531523ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( 0g `  R )  e.  K
)
154124, 153ifcld 3837 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )  e.  K )
15540, 137rngidcl 16670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  K )
15665, 155syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( 1r `  R
)  e.  K )
157156, 152ifcld 3837 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  K )
15840, 89rngcl 16663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ e  /  i ]_ X  e.  K  /\  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  K )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  K )
15965, 100, 157, 158syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  K )
1601593ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e.  K )
16151adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> K )
162161fovrnda 6239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a M b )  e.  K )
1631623impb 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( a M b )  e.  K )
16439, 40, 62, 63, 68, 154, 160, 163, 102mdetrlin2 18418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  (
[_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
1651573ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  K )
16639, 40, 89, 63, 68, 165, 163, 100, 102mdetrsca2 18416 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
16743adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  M  e.  B )
16844, 39, 79, 45, 137, 41maducoeval 18450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  B  /\  e  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  ( e ( J `
 M ) L )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
169167, 97, 102, 168syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( e ( J `
 M ) L )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
170169oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `  M
) L ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
171166, 170eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) )
172171oveq2d 6112 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) ) )
173150, 164, 1723eqtrrd 2480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u. 
{ e } ) ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
174173adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  ->  (
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u. 
{ e } ) ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
175110, 112, 1743eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
176175ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
1778, 16, 24, 32, 61, 176, 48findcard2d 7559 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
178 nfcv 2584 . . . 4  |-  F/_ b
( X  .x.  (
i ( J `  M ) L ) )
179 nfcsb1v 3309 . . . . 5  |-  F/_ i [_ b  /  i ]_ X
180 nfcv 2584 . . . . 5  |-  F/_ i  .x.
181 nfcv 2584 . . . . 5  |-  F/_ i
( b ( J `
 M ) L )
182179, 180, 181nfov 6119 . . . 4  |-  F/_ i
( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) )
183 csbeq1a 3302 . . . . 5  |-  ( i  =  b  ->  X  =  [_ b  /  i ]_ X )
184 oveq1 6103 . . . . 5  |-  ( i  =  b  ->  (
i ( J `  M ) L )  =  ( b ( J `  M ) L ) )
185183, 184oveq12d 6114 . . . 4  |-  ( i  =  b  ->  ( X  .x.  ( i ( J `  M ) L ) )  =  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) )
186178, 182, 185cbvmpt 4387 . . 3  |-  ( i  e.  N  |->  ( X 
.x.  ( i ( J `  M ) L ) ) )  =  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) )
187186oveq2i 6107 . 2  |-  ( R 
gsumg  ( i  e.  N  |->  ( X  .x.  (
i ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )
188 nfcv 2584 . . . . 5  |-  F/_ a if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) )
189 nfcv 2584 . . . . 5  |-  F/_ b if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) )
190 nfcv 2584 . . . . 5  |-  F/_ j if ( a  =  L ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( a M b ) )
191 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ i  a  =  L
192 nfcv 2584 . . . . . 6  |-  F/_ i
( a M b )
193191, 179, 192nfif 3823 . . . . 5  |-  F/_ i if ( a  =  L ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( a M b ) )
194 eqeq1 2449 . . . . . . 7  |-  ( j  =  a  ->  (
j  =  L  <->  a  =  L ) )
195194adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  a  /\  i  =  b )  ->  ( j  =  L  <-> 
a  =  L ) )
196183adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  a  /\  i  =  b )  ->  X  =  [_ b  /  i ]_ X
)
197 oveq12 6105 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  a  /\  i  =  b )  ->  ( j M i )  =  ( a M b ) )
198195, 196, 197ifbieq12d 3821 . . . . 5  |-  ( ( j  =  a  /\  i  =  b )  ->  if ( j  =  L ,  X , 
( j M i ) )  =  if ( a  =  L ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( a M b ) ) )
199188, 189, 190, 193, 198cbvmpt2 6170 . . . 4  |-  ( j  e.  N ,  i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( a M b ) ) )
200 iftrue 3802 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  N  ->  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )  =  [_ b  / 
i ]_ X )
201200eqcomd 2448 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  N  ->  [_ b  /  i ]_ X  =  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) )
202201adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  [_ b  /  i ]_ X  =  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
203202ifeq1d 3812 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  L ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
204203mpt2eq3ia 6156 . . . 4  |-  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
205199, 204eqtri 2463 . . 3  |-  ( j  e.  N ,  i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
206205fveq2i 5699 . 2  |-  ( D `
 ( j  e.  N ,  i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
207177, 187, 2063eqtr4g 2500 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  N  |->  ( X  .x.  (
i ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
j  e.  N , 
i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977   [_csb 3293    \ cdif 3330    u. cun 3331    C_ wss 3333   (/)c0 3642   ifcif 3796   {csn 3882    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    e. cmpt2 6098    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   .rcmulr 14244   0gc0g 14383    gsumg cgsu 14384   Mndcmnd 15414  CMndccmn 16282   1rcur 16608   Ringcrg 16650   CRingccrg 16651   Mat cmat 18285   maDet cmdat 18400   maAdju cmadu 18443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-ot 3891  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-word 12234  df-concat 12236  df-s1 12237  df-substr 12238  df-splice 12239  df-reverse 12240  df-s2 12480  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-prds 14391  df-pws 14393  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-ghm 15750  df-gim 15792  df-cntz 15840  df-oppg 15866  df-symg 15888  df-pmtr 15953  df-psgn 16002  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-dvr 16780  df-rnghom 16811  df-drng 16839  df-subrg 16868  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-cnfld 17824  df-zring 17889  df-zrh 17940  df-dsmm 18162  df-frlm 18177  df-mat 18287  df-mdet 18401  df-madu 18445
This theorem is referenced by:  madurid  18455
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