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Theorem madugsum 18349
Description: The determinant of a matrix with a row  L consisting of the same element  X is the sum of the elements of the  L-th column of the adjunct of the matrix multiplied with  X. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
maduf.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
maduf.j  |-  J  =  ( N maAdju  R )
maduf.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
madugsum.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
madugsum.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
madugsum.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
madugsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  B )
madugsum.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
madugsum.x  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  X  e.  K )
madugsum.l  |-  ( ph  ->  L  e.  N )
Assertion
Ref Expression
madugsum  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  N  |->  ( X  .x.  (
i ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
j  e.  N , 
i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, N, j    R, i, j    B, i, j    ph, i, j   
i, J    i, K, j    i, M, j    j, X    .x. , i    i, L, j
Allowed substitution hints:    A( i, j)    D( i, j)    .x. ( j)    J( j)    X( i)

Proof of Theorem madugsum
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 4369 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  ( b  e.  c  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) )  =  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )
21oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( c  =  (/)  ->  ( R 
gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) ) )
3 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  (/)  ->  ( b  e.  c  <->  b  e.  (/) ) )
43ifbid 3808 . . . . . . 7  |-  ( c  =  (/)  ->  if ( b  e.  c , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( b  e.  (/) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) )
54ifeq1d 3804 . . . . . 6  |-  ( c  =  (/)  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
65mpt2eq3dv 6151 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
76fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( c  =  (/)  ->  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
82, 7eqeq12d 2455 . . 3  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  <-> 
( R  gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
9 mpteq1 4369 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
b  e.  c  |->  (
[_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) )  =  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )
109oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( c  =  d  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) )
11 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  d  ->  (
b  e.  c  <->  b  e.  d ) )
1211ifbid 3808 . . . . . . 7  |-  ( c  =  d  ->  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
1312ifeq1d 3804 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
1413mpt2eq3dv 6151 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
1514fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( c  =  d  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
1610, 15eqeq12d 2455 . . 3  |-  ( c  =  d  ->  (
( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  <-> 
( R  gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
17 mpteq1 4369 . . . . 5  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( b  e.  c  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) )  =  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )
1817oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  c  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u. 
{ e } ) 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) )
19 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( b  e.  c  <->  b  e.  ( d  u.  { e } ) ) )
2019ifbid 3808 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( b  e.  ( d  u.  {
e } ) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
2120ifeq1d 3804 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
2221mpt2eq3dv 6151 . . . . 5  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
2322fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
2418, 23eqeq12d 2455 . . 3  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( ( R 
gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  <-> 
( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
25 mpteq1 4369 . . . . 5  |-  ( c  =  N  ->  (
b  e.  c  |->  (
[_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) )  =  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )
2625oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( c  =  N  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) )
27 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  N  ->  (
b  e.  c  <->  b  e.  N ) )
2827ifbid 3808 . . . . . . 7  |-  ( c  =  N  ->  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
2928ifeq1d 3804 . . . . . 6  |-  ( c  =  N  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
3029mpt2eq3dv 6151 . . . . 5  |-  ( c  =  N  ->  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
3130fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( c  =  N  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
3226, 31eqeq12d 2455 . . 3  |-  ( c  =  N  ->  (
( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  <-> 
( R  gsumg  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
33 noel 3638 . . . . . . . . 9  |-  -.  b  e.  (/)
34 iffalse 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  b  e.  (/)  ->  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
3533, 34mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( b  e.  (/) ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
3635ifeq1d 3804 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  ( 0g `  R ) ,  ( a M b ) ) )
3736mpt2eq3ia 6150 . . . . . 6  |-  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( 0g `  R ) ,  ( a M b ) ) )
3837fveq2i 5691 . . . . 5  |-  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( 0g `  R ) ,  ( a M b ) ) ) )
39 madugsum.d . . . . . 6  |-  D  =  ( N maDet  R )
40 madugsum.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  R
)
41 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
42 madugsum.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
43 madugsum.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  B )
44 maduf.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( N Mat  R )
45 maduf.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  A
)
4644, 45matrcl 18212 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
4743, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
4847simpld 456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
4944, 40, 45matbas2i 18223 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
50 elmapi 7230 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> K )
5143, 49, 503syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M : ( N  X.  N ) --> K )
5251fovrnda 6233 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a M b )  e.  K )
53523impb 1178 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( a M b )  e.  K )
54 madugsum.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  N )
5539, 40, 41, 42, 48, 53, 54mdetr0 18312 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( 0g `  R ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )
5638, 55syl5eq 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
57 mpt0 5535 . . . . . 6  |-  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) )  =  (/)
5857oveq2i 6101 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  (/) )
5941gsum0 15503 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  R )
6058, 59eqtri 2461 . . . 4  |-  ( R 
gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )  =  ( 0g `  R )
6156, 60syl6reqr 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
62 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
6342adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  R  e.  CRing )
64 crngrng 16645 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
6563, 64syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  R  e.  Ring )
66 rngcmn 16665 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6765, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  R  e. CMnd )
6848adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  N  e.  Fin )
69 simprl 750 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
d  C_  N )
70 ssfi 7529 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  d  C_  N )  -> 
d  e.  Fin )
7168, 69, 70syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
d  e.  Fin )
7265adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  R  e.  Ring )
7369sselda 3353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  b  e.  N )
74 madugsum.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  X  e.  K )
7574ralrimiva 2797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. i  e.  N  X  e.  K )
7675ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  A. i  e.  N  X  e.  K )
77 rspcsbela 3702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  N  /\  A. i  e.  N  X  e.  K )  ->  [_ b  /  i ]_ X  e.  K )
7873, 76, 77syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  [_ b  / 
i ]_ X  e.  K
)
79 maduf.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  =  ( N maAdju  R )
8044, 79, 45maduf 18347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  J : B
--> B )
8142, 80syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J : B --> B )
8281, 43ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J `  M
)  e.  B )
8344, 40, 45matbas2i 18223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J `  M )  e.  B  ->  ( J `  M )  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
84 elmapi 7230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J `  M )  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  ( J `  M ) : ( N  X.  N ) --> K )
8582, 83, 843syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J `  M
) : ( N  X.  N ) --> K )
8685ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  ( J `  M ) : ( N  X.  N ) --> K )
8754ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  L  e.  N )
8886, 73, 87fovrnd 6234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  ( b
( J `  M
) L )  e.  K )
89 madugsum.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .r `  R )
9040, 89rngcl 16648 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ b  /  i ]_ X  e.  K  /\  (
b ( J `  M ) L )  e.  K )  -> 
( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) )  e.  K )
9172, 78, 88, 90syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) )  e.  K
)
92 vex 2973 . . . . . . . 8  |-  e  e. 
_V
9392a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
e  e.  _V )
94 eldifn 3476 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  ( N  \ 
d )  ->  -.  e  e.  d )
9594ad2antll 723 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  -.  e  e.  d
)
96 eldifi 3475 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  ( N  \ 
d )  ->  e  e.  N )
9796ad2antll 723 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
e  e.  N )
9875adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  A. i  e.  N  X  e.  K )
99 rspcsbela 3702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  e.  N  /\  A. i  e.  N  X  e.  K )  ->  [_ e  /  i ]_ X  e.  K )
10097, 98, 99syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  [_ e  /  i ]_ X  e.  K
)
10185adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( J `  M
) : ( N  X.  N ) --> K )
10254adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  L  e.  N )
103101, 97, 102fovrnd 6234 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( e ( J `
 M ) L )  e.  K )
10440, 89rngcl 16648 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ e  /  i ]_ X  e.  K  /\  (
e ( J `  M ) L )  e.  K )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `  M
) L ) )  e.  K )
10565, 100, 103, 104syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `  M
) L ) )  e.  K )
106 csbeq1 3288 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  e  ->  [_ b  /  i ]_ X  =  [_ e  /  i ]_ X )
107 oveq1 6097 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  e  ->  (
b ( J `  M ) L )  =  ( e ( J `  M ) L ) )
108106, 107oveq12d 6108 . . . . . . 7  |-  ( b  =  e  ->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) )
10940, 62, 67, 71, 91, 93, 95, 105, 108gsumunsn 16444 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  (
e ( J `  M ) L ) ) ) )
110109adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  (
e ( J `  M ) L ) ) ) )
111 oveq1 6097 . . . . . 6  |-  ( ( R  gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  ->  ( ( R 
gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  (
e ( J `  M ) L ) ) )  =  ( ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) ) )
112111adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  ->  (
( R  gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  (
e ( J `  M ) L ) ) )  =  ( ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) ) )
113 elun 3494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( d  u. 
{ e } )  <-> 
( b  e.  d  \/  b  e.  {
e } ) )
114 elsn 3888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  { e }  <-> 
b  =  e )
115114orbi2i 516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  d  \/  b  e.  { e } )  <->  ( b  e.  d  \/  b  =  e ) )
116113, 115bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( d  u. 
{ e } )  <-> 
( b  e.  d  \/  b  =  e ) )
117 ifbi 3807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( d  u.  { e } )  <->  ( b  e.  d  \/  b  =  e ) )  ->  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( ( b  e.  d  \/  b  =  e ) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( ( b  e.  d  \/  b  =  e ) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )
119 rngmnd 16644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
12065, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  R  e.  Mnd )
1211203ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  R  e.  Mnd )
122 simp3 985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  b  e.  N )
123983ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  A. i  e.  N  X  e.  K )
124122, 123, 77syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  [_ b  / 
i ]_ X  e.  K
)
125 elequ1 1764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  e  ->  (
b  e.  d  <->  e  e.  d ) )
126125biimpac 483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  d  /\  b  =  e )  ->  e  e.  d )
12795, 126nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  -.  ( b  e.  d  /\  b  =  e ) )
1281273ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  -.  (
b  e.  d  /\  b  =  e )
)
12940, 41, 62mndifsplit 18342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  [_ b  /  i ]_ X  e.  K  /\  -.  ( b  e.  d  /\  b  =  e ) )  ->  if ( ( b  e.  d  \/  b  =  e ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
130121, 124, 128, 129syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
( b  e.  d  \/  b  =  e ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
131118, 130syl5eq 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
132106adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  =  e )  ->  [_ b  / 
i ]_ X  =  [_ e  /  i ]_ X
)
133132ifeq1da 3816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  if ( b  =  e ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( b  =  e , 
[_ e  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
134 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 1r
`  R )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 1r `  R
) ) )
135 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 0g `  R
) ) )
136134, 135ifsb 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  =  if ( b  =  e ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 1r `  R
) ) ,  (
[_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 0g
`  R ) ) )
137 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
13840, 89, 137rngridm 16659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ e  /  i ]_ X  e.  K )  ->  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 1r
`  R ) )  =  [_ e  / 
i ]_ X )
13965, 100, 138syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 1r
`  R ) )  =  [_ e  / 
i ]_ X )
14040, 89, 41rngrz 16672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ e  /  i ]_ X  e.  K )  ->  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
14165, 100, 140syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
142139, 141ifeq12d 3806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  if ( b  =  e ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 1r `  R
) ) ,  (
[_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 0g
`  R ) ) )  =  if ( b  =  e , 
[_ e  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
143136, 142syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  if ( b  =  e , 
[_ e  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
144133, 143eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  if ( b  =  e ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )
145144oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )
1461453ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R
) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )
147131, 146eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
148147ifeq1d 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  ( if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) ,  ( a M b ) ) )
149148mpt2eq3dva 6149 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
150149fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u. 
{ e } ) ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L , 
( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
15140, 41rng0cl 16656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  K )
15265, 151syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( 0g `  R
)  e.  K )
1531523ad2ant1 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( 0g `  R )  e.  K
)
154124, 153ifcld 3829 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )  e.  K )
15540, 137rngidcl 16655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  K )
15665, 155syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( 1r `  R
)  e.  K )
157156, 152ifcld 3829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  K )
15840, 89rngcl 16648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ e  /  i ]_ X  e.  K  /\  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  K )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  K )
15965, 100, 157, 158syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  K )
1601593ad2ant1 1004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e.  K )
16151adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> K )
162161fovrnda 6233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a M b )  e.  K )
1631623impb 1178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( a M b )  e.  K )
16439, 40, 62, 63, 68, 154, 160, 163, 102mdetrlin2 18313 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  (
[_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
1651573ad2ant1 1004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  K )
16639, 40, 89, 63, 68, 165, 163, 100, 102mdetrsca2 18311 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
16743adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  M  e.  B )
16844, 39, 79, 45, 137, 41maducoeval 18345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  B  /\  e  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  ( e ( J `
 M ) L )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
169167, 97, 102, 168syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( e ( J `
 M ) L )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
170169oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `  M
) L ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
171166, 170eqtr4d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) )
172171oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) ) )
173150, 164, 1723eqtrrd 2478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u. 
{ e } ) ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
174173adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  ->  (
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u. 
{ e } ) ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
175110, 112, 1743eqtrd 2477 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
176175ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
1778, 16, 24, 32, 61, 176, 48findcard2d 7550 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
178 nfcv 2577 . . . 4  |-  F/_ b
( X  .x.  (
i ( J `  M ) L ) )
179 nfcsb1v 3301 . . . . 5  |-  F/_ i [_ b  /  i ]_ X
180 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ i  .x.
181 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ i
( b ( J `
 M ) L )
182179, 180, 181nfov 6113 . . . 4  |-  F/_ i
( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) )
183 csbeq1a 3294 . . . . 5  |-  ( i  =  b  ->  X  =  [_ b  /  i ]_ X )
184 oveq1 6097 . . . . 5  |-  ( i  =  b  ->  (
i ( J `  M ) L )  =  ( b ( J `  M ) L ) )
185183, 184oveq12d 6108 . . . 4  |-  ( i  =  b  ->  ( X  .x.  ( i ( J `  M ) L ) )  =  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) )
186178, 182, 185cbvmpt 4379 . . 3  |-  ( i  e.  N  |->  ( X 
.x.  ( i ( J `  M ) L ) ) )  =  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) )
187186oveq2i 6101 . 2  |-  ( R 
gsumg  ( i  e.  N  |->  ( X  .x.  (
i ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )
188 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ a if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) )
189 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ b if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) )
190 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ j if ( a  =  L ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( a M b ) )
191 nfv 1678 . . . . . 6  |-  F/ i  a  =  L
192 nfcv 2577 . . . . . 6  |-  F/_ i
( a M b )
193191, 179, 192nfif 3815 . . . . 5  |-  F/_ i if ( a  =  L ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( a M b ) )
194 eqeq1 2447 . . . . . . 7  |-  ( j  =  a  ->  (
j  =  L  <->  a  =  L ) )
195194adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  a  /\  i  =  b )  ->  ( j  =  L  <-> 
a  =  L ) )
196183adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  a  /\  i  =  b )  ->  X  =  [_ b  /  i ]_ X
)
197 oveq12 6099 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  a  /\  i  =  b )  ->  ( j M i )  =  ( a M b ) )
198195, 196, 197ifbieq12d 3813 . . . . 5  |-  ( ( j  =  a  /\  i  =  b )  ->  if ( j  =  L ,  X , 
( j M i ) )  =  if ( a  =  L ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( a M b ) ) )
199188, 189, 190, 193, 198cbvmpt2 6164 . . . 4  |-  ( j  e.  N ,  i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( a M b ) ) )
200 iftrue 3794 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  N  ->  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )  =  [_ b  / 
i ]_ X )
201200eqcomd 2446 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  N  ->  [_ b  /  i ]_ X  =  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) )
202201adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  [_ b  /  i ]_ X  =  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
203202ifeq1d 3804 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  L ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
204203mpt2eq3ia 6150 . . . 4  |-  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
205199, 204eqtri 2461 . . 3  |-  ( j  e.  N ,  i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
206205fveq2i 5691 . 2  |-  ( D `
 ( j  e.  N ,  i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
207177, 187, 2063eqtr4g 2498 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  N  |->  ( X  .x.  (
i ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
j  e.  N , 
i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970   [_csb 3285    \ cdif 3322    u. cun 3323    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   {csn 3874    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235   0gc0g 14374    gsumg cgsu 14375   Mndcmnd 15405  CMndccmn 16270   1rcur 16593   Ringcrg 16635   CRingccrg 16636   Mat cmat 18180   maDet cmdat 18295   maAdju cmadu 18338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-xor 1346  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-ot 3883  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-word 12225  df-concat 12227  df-s1 12228  df-substr 12229  df-splice 12230  df-reverse 12231  df-s2 12471  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-prds 14382  df-pws 14384  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-gim 15780  df-cntz 15828  df-oppg 15854  df-symg 15876  df-pmtr 15941  df-psgn 15990  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-rnghom 16796  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-cnfld 17719  df-zring 17784  df-zrh 17835  df-dsmm 18057  df-frlm 18072  df-mat 18182  df-mdet 18296  df-madu 18340
This theorem is referenced by:  madurid  18350
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