Theorem madugsum 18454

Description: The determinant of a matrix with a row L consisting of the same element X is the sum of the elements of the L-th column of the adjunct of the matrix multiplied with X. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
maduf.a	|- A = ( N Mat R )
maduf.j	|- J = ( N maAdju R )
maduf.b	|- B = ( Base ` A )
madugsum.d	|- D = ( N maDet R )
madugsum.t	|- .x. = ( .r ` R )
madugsum.k	|- K = ( Base ` R )
madugsum.m	|- ( ph -> M e. B )
madugsum.r	|- ( ph -> R e. CRing )
madugsum.x	|- ( ( ph /\ i e. N ) -> X e. K )
madugsum.l	|- ( ph -> L e. N )

Assertion

Ref	Expression
madugsum	|- ( ph -> ( R gsumg ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, N, j   R, i, j   B, i, j   ph, i, j   i, J   i, K, j   i, M, j   j, X   .x. , i   i, L, j

Allowed substitution hints:   A( i, j)   D( i, j)   .x. ( j)   J( j)   X( i)

Proof of Theorem madugsum

Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 4377	. . . . 5 |- ( c = (/) -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
2	1	oveq2d 6112	. . . 4 |- ( c = (/) -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
3		eleq2 2504	. . . . . . . 8 |- ( c = (/) -> ( b e. c <-> b e. (/) ) )
4	3	ifbid 3816	. . . . . . 7 |- ( c = (/) -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
5	4	ifeq1d 3812	. . . . . 6 |- ( c = (/) -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
6	5	mpt2eq3dv 6157	. . . . 5 |- ( c = (/) -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
7	6	fveq2d 5700	. . . 4 |- ( c = (/) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
8	2, 7	eqeq12d 2457	. . 3 |- ( c = (/) -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
9		mpteq1 4377	. . . . 5 |- ( c = d -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
10	9	oveq2d 6112	. . . 4 |- ( c = d -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
11		eleq2 2504	. . . . . . . 8 |- ( c = d -> ( b e. c <-> b e. d ) )
12	11	ifbid 3816	. . . . . . 7 |- ( c = d -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
13	12	ifeq1d 3812	. . . . . 6 |- ( c = d -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
14	13	mpt2eq3dv 6157	. . . . 5 |- ( c = d -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
15	14	fveq2d 5700	. . . 4 |- ( c = d -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
16	10, 15	eqeq12d 2457	. . 3 |- ( c = d -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
17		mpteq1 4377	. . . . 5 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
18	17	oveq2d 6112	. . . 4 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
19		eleq2 2504	. . . . . . . 8 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( b e. c <-> b e. ( d u. { e } ) ) )
20	19	ifbid 3816	. . . . . . 7 |- ( c = ( d u. { e } ) -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
21	20	ifeq1d 3812	. . . . . 6 |- ( c = ( d u. { e } ) -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
22	21	mpt2eq3dv 6157	. . . . 5 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
23	22	fveq2d 5700	. . . 4 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
24	18, 23	eqeq12d 2457	. . 3 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
25		mpteq1 4377	. . . . 5 |- ( c = N -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
26	25	oveq2d 6112	. . . 4 |- ( c = N -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
27		eleq2 2504	. . . . . . . 8 |- ( c = N -> ( b e. c <-> b e. N ) )
28	27	ifbid 3816	. . . . . . 7 |- ( c = N -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
29	28	ifeq1d 3812	. . . . . 6 |- ( c = N -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
30	29	mpt2eq3dv 6157	. . . . 5 |- ( c = N -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
31	30	fveq2d 5700	. . . 4 |- ( c = N -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
32	26, 31	eqeq12d 2457	. . 3 |- ( c = N -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
33		noel 3646	. . . . . . . . 9 |- -. b e. (/)
34		iffalse 3804	. . . . . . . . 9 |- ( -. b e. (/) -> if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
35	33, 34	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
36	35	ifeq1d 3812	. . . . . . 7 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) )
37	36	mpt2eq3ia 6156	. . . . . 6 |- ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) )
38	37	fveq2i 5699	. . . . 5 |- ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) ) )
39		madugsum.d	. . . . . 6 |- D = ( N maDet R )
40		madugsum.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` R )
41		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
42		madugsum.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. CRing )
43		madugsum.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. B )
44		maduf.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( N Mat R )
45		maduf.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` A )
46	44, 45	matrcl 18317	. . . . . . . 8 |- ( M e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
47	43, 46	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
48	47	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. Fin )
49	44, 40, 45	matbas2i 18328	. . . . . . . . 9 |- ( M e. B -> M e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
50		elmapi 7239	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> M : ( N X. N ) --> K )
51	43, 49, 50	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M : ( N X. N ) --> K )
52	51	fovrnda 6239	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a M b ) e. K )
53	52	3impb 1183	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( a M b ) e. K )
54		madugsum.l	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. N )
55	39, 40, 41, 42, 48, 53, 54	mdetr0 18417	. . . . 5 |- ( ph -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) ) ) = ( 0g ` R ) )
56	38, 55	syl5eq 2487	. . . 4 |- ( ph -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( 0g ` R ) )
57		mpt0 5543	. . . . . 6 |- ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = (/)
58	57	oveq2i 6107	. . . . 5 |- ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg (/) )
59	41	gsum0 15515	. . . . 5 |- ( R gsumg (/) ) = ( 0g ` R )
60	58, 59	eqtri 2463	. . . 4 |- ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( 0g ` R )
61	56, 60	syl6reqr 2494	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
62		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
63	42	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. CRing )
64		crngrng 16660	. . . . . . . . 9 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. Ring )
66		rngcmn 16680	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
67	65, 66	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. CMnd )
68	48	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> N e. Fin )
69		simprl 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> d C_ N )
70		ssfi 7538	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ d C_ N ) -> d e. Fin )
71	68, 69, 70	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> d e. Fin )
72	65	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> R e. Ring )
73	69	sselda 3361	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> b e. N )
74		madugsum.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> X e. K )
75	74	ralrimiva 2804	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. i e. N X e. K )
76	75	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> A. i e. N X e. K )
77		rspcsbela 3710	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. N /\ A. i e. N X e. K ) -> [_ b / i ]_ X e. K )
78	73, 76, 77	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> [_ b / i ]_ X e. K )
79		maduf.j	. . . . . . . . . . . . . 14 |- J = ( N maAdju R )
80	44, 79, 45	maduf 18452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. CRing -> J : B --> B )
81	42, 80	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J : B --> B )
82	81, 43	ffvelrnd 5849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( J ` M ) e. B )
83	44, 40, 45	matbas2i 18328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ` M ) e. B -> ( J ` M ) e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
84		elmapi 7239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ` M ) e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
85	82, 83, 84	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
86	85	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
87	54	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> L e. N )
88	86, 73, 87	fovrnd 6240	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> ( b ( J ` M ) L ) e. K )
89		madugsum.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .r ` R )
90	40, 89	rngcl 16663	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ [_ b / i ]_ X e. K /\ ( b ( J ` M ) L ) e. K ) -> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) e. K )
91	72, 78, 88, 90	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) e. K )
92		vex 2980	. . . . . . . 8 |- e e. _V
93	92	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> e e. _V )
94		eldifn 3484	. . . . . . . 8 |- ( e e. ( N \ d ) -> -. e e. d )
95	94	ad2antll 728	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> -. e e. d )
96		eldifi 3483	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. ( N \ d ) -> e e. N )
97	96	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> e e. N )
98	75	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> A. i e. N X e. K )
99		rspcsbela 3710	. . . . . . . . 9 |- ( ( e e. N /\ A. i e. N X e. K ) -> [_ e / i ]_ X e. K )
100	97, 98, 99	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> [_ e / i ]_ X e. K )
101	85	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
102	54	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> L e. N )
103	101, 97, 102	fovrnd 6240	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( e ( J ` M ) L ) e. K )
104	40, 89	rngcl 16663	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K /\ ( e ( J ` M ) L ) e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) e. K )
105	65, 100, 103, 104	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) e. K )
106		csbeq1 3296	. . . . . . . 8 |- ( b = e -> [_ b / i ]_ X = [_ e / i ]_ X )
107		oveq1 6103	. . . . . . . 8 |- ( b = e -> ( b ( J ` M ) L ) = ( e ( J ` M ) L ) )
108	106, 107	oveq12d 6114	. . . . . . 7 |- ( b = e -> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) )
109	40, 62, 67, 71, 91, 93, 95, 105, 108	gsumunsn 16458	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
110	109	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
111		oveq1 6103	. . . . . 6 |- ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) -> ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
112	111	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
113		elun 3502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( d u. { e } ) <-> ( b e. d \/ b e. { e } ) )
114		elsn 3896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. { e } <-> b = e )
115	114	orbi2i 519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. d \/ b e. { e } ) <-> ( b e. d \/ b = e ) )
116	113, 115	bitri 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( d u. { e } ) <-> ( b e. d \/ b = e ) )
117		ifbi 3815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ( d u. { e } ) <-> ( b e. d \/ b = e ) ) -> if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) )
119		rngmnd 16659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
120	65, 119	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. Mnd )
121	120	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> R e. Mnd )
122		simp3 990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> b e. N )
123	98	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> A. i e. N X e. K )
124	122, 123, 77	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> [_ b / i ]_ X e. K )
125		elequ1 1759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = e -> ( b e. d <-> e e. d ) )
126	125	biimpac 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. d /\ b = e ) -> e e. d )
127	95, 126	nsyl 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> -. ( b e. d /\ b = e ) )
128	127	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> -. ( b e. d /\ b = e ) )
129	40, 41, 62	mndifsplit 18447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Mnd /\ [_ b / i ]_ X e. K /\ -. ( b e. d /\ b = e ) ) -> if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) )
130	121, 124, 128, 129	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) )
131	118, 130	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) )
132	106	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b = e ) -> [_ b / i ]_ X = [_ e / i ]_ X )
133	132	ifeq1da 3824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b = e , [_ e / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
134		oveq2 6104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 1r ` R ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) )
135		oveq2 6104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) )
136	134, 135	ifsb 3807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( b = e , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) )
137		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
138	40, 89, 137	rngridm 16674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) = [_ e / i ]_ X )
139	65, 100, 138	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) = [_ e / i ]_ X )
140	40, 89, 41	rngrz 16687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
141	65, 100, 140	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
142	139, 141	ifeq12d 3814	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) ) = if ( b = e , [_ e / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
143	136, 142	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( b = e , [_ e / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
144	133, 143	eqtr4d 2478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
145	144	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
146	145	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
147	131, 146	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
148	147	ifeq1d 3812	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) )
149	148	mpt2eq3dva 6155	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) ) )
150	149	fveq2d 5700	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
151	40, 41	rng0cl 16671	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. K )
152	65, 151	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( 0g ` R ) e. K )
153	152	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( 0g ` R ) e. K )
154	124, 153	ifcld 3837	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) e. K )
155	40, 137	rngidcl 16670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. K )
156	65, 155	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( 1r ` R ) e. K )
157	156, 152	ifcld 3837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. K )
158	40, 89	rngcl 16663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K /\ if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. K )
159	65, 100, 157, 158	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. K )
160	159	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. K )
161	51	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> M : ( N X. N ) --> K )
162	161	fovrnda 6239	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a M b ) e. K )
163	162	3impb 1183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( a M b ) e. K )
164	39, 40, 62, 63, 68, 154, 160, 163, 102	mdetrlin2 18418	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
165	157	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. K )
166	39, 40, 89, 63, 68, 165, 163, 100, 102	mdetrsca2 18416	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
167	43	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> M e. B )
168	44, 39, 79, 45, 137, 41	maducoeval 18450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. B /\ e e. N /\ L e. N ) -> ( e ( J ` M ) L ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
169	167, 97, 102, 168	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( e ( J ` M ) L ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
170	169	oveq2d 6112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
171	166, 170	eqtr4d 2478	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) )
172	171	oveq2d 6112	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
173	150, 164, 172	3eqtrrd 2480	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
174	173	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
175	110, 112, 174	3eqtrd 2479	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
176	175	ex 434	. . 3 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
177	8, 16, 24, 32, 61, 176, 48	findcard2d 7559	. 2 |- ( ph -> ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
178		nfcv 2584	. . . 4 |- F/_ b ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) )
179		nfcsb1v 3309	. . . . 5 |- F/_ i [_ b / i ]_ X
180		nfcv 2584	. . . . 5 |- F/_ i .x.
181		nfcv 2584	. . . . 5 |- F/_ i ( b ( J ` M ) L )
182	179, 180, 181	nfov 6119	. . . 4 |- F/_ i ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) )
183		csbeq1a 3302	. . . . 5 |- ( i = b -> X = [_ b / i ]_ X )
184		oveq1 6103	. . . . 5 |- ( i = b -> ( i ( J ` M ) L ) = ( b ( J ` M ) L ) )
185	183, 184	oveq12d 6114	. . . 4 |- ( i = b -> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) = ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) )
186	178, 182, 185	cbvmpt 4387	. . 3 |- ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) )
187	186	oveq2i 6107	. 2 |- ( R gsumg ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
188		nfcv 2584	. . . . 5 |- F/_ a if ( j = L , X , ( j M i ) )
189		nfcv 2584	. . . . 5 |- F/_ b if ( j = L , X , ( j M i ) )
190		nfcv 2584	. . . . 5 |- F/_ j if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) )
191		nfv 1673	. . . . . 6 |- F/ i a = L
192		nfcv 2584	. . . . . 6 |- F/_ i ( a M b )
193	191, 179, 192	nfif 3823	. . . . 5 |- F/_ i if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) )
194		eqeq1 2449	. . . . . . 7 |- ( j = a -> ( j = L <-> a = L ) )
195	194	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> ( j = L <-> a = L ) )
196	183	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> X = [_ b / i ]_ X )
197		oveq12 6105	. . . . . 6 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> ( j M i ) = ( a M b ) )
198	195, 196, 197	ifbieq12d 3821	. . . . 5 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> if ( j = L , X , ( j M i ) ) = if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) )
199	188, 189, 190, 193, 198	cbvmpt2 6170	. . . 4 |- ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) )
200		iftrue 3802	. . . . . . . 8 |- ( b e. N -> if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = [_ b / i ]_ X )
201	200	eqcomd 2448	. . . . . . 7 |- ( b e. N -> [_ b / i ]_ X = if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
202	201	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> [_ b / i ]_ X = if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
203	202	ifeq1d 3812	. . . . 5 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
204	203	mpt2eq3ia 6156	. . . 4 |- ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
205	199, 204	eqtri 2463	. . 3 |- ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
206	205	fveq2i 5699	. 2 |- ( D ` ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
207	177, 187, 206	3eqtr4g 2500	1 |- ( ph -> ( R gsumg ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977   [_csb 3293   \ cdif 3330   u. cun 3331   C_ wss 3333   (/)c0 3642   ifcif 3796   {csn 3882   e. cmpt 4355   X. cxp 4843   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   e. cmpt2 6098   ^m cmap 7219   Fincfn 7315   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   .rcmulr 14244   0gc0g 14383   gsum_g cgsu 14384   Mndcmnd 15414  CMndccmn 16282   1rcur 16608   Ringcrg 16650   CRingccrg 16651   Mat cmat 18285   maDet cmdat 18400   maAdju cmadu 18443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-addf 9366  ax-mulf 9367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-ot 3891  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-word 12234  df-concat 12236  df-s1 12237  df-substr 12238  df-splice 12239  df-reverse 12240  df-s2 12480  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-prds 14391  df-pws 14393  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-ghm 15750  df-gim 15792  df-cntz 15840  df-oppg 15866  df-symg 15888  df-pmtr 15953  df-psgn 16002  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-dvr 16780  df-rnghom 16811  df-drng 16839  df-subrg 16868  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-cnfld 17824  df-zring 17889  df-zrh 17940  df-dsmm 18162  df-frlm 18177  df-mat 18287  df-mdet 18401  df-madu 18445

This theorem is referenced by:  madurid  18455