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Theorem madugsum 19723
Description: The determinant of a matrix with a row  L consisting of the same element  X is the sum of the elements of the  L-th column of the adjunct of the matrix multiplied with  X. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
maduf.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
maduf.j  |-  J  =  ( N maAdju  R )
maduf.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
madugsum.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
madugsum.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
madugsum.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
madugsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  B )
madugsum.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
madugsum.x  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  X  e.  K )
madugsum.l  |-  ( ph  ->  L  e.  N )
Assertion
Ref Expression
madugsum  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  N  |->  ( X  .x.  (
i ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
j  e.  N , 
i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, N, j    R, i, j    B, i, j    ph, i, j   
i, J    i, K, j    i, M, j    j, X    .x. , i    i, L, j
Allowed substitution hints:    A( i, j)    D( i, j)    .x. ( j)    J( j)    X( i)

Proof of Theorem madugsum
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 4499 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  ( b  e.  c  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) )  =  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )
21oveq2d 6336 . . . 4  |-  ( c  =  (/)  ->  ( R 
gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) ) )
3 eleq2 2529 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  (/)  ->  ( b  e.  c  <->  b  e.  (/) ) )
43ifbid 3915 . . . . . . 7  |-  ( c  =  (/)  ->  if ( b  e.  c , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( b  e.  (/) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) )
54ifeq1d 3911 . . . . . 6  |-  ( c  =  (/)  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
65mpt2eq3dv 6389 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
76fveq2d 5896 . . . 4  |-  ( c  =  (/)  ->  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
82, 7eqeq12d 2477 . . 3  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  <-> 
( R  gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
9 mpteq1 4499 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
b  e.  c  |->  (
[_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) )  =  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )
109oveq2d 6336 . . . 4  |-  ( c  =  d  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) )
11 eleq2 2529 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  d  ->  (
b  e.  c  <->  b  e.  d ) )
1211ifbid 3915 . . . . . . 7  |-  ( c  =  d  ->  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
1312ifeq1d 3911 . . . . . 6  |-  ( c  =  d  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
1413mpt2eq3dv 6389 . . . . 5  |-  ( c  =  d  ->  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
1514fveq2d 5896 . . . 4  |-  ( c  =  d  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
1610, 15eqeq12d 2477 . . 3  |-  ( c  =  d  ->  (
( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  <-> 
( R  gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
17 mpteq1 4499 . . . . 5  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( b  e.  c  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) )  =  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )
1817oveq2d 6336 . . . 4  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  c  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u. 
{ e } ) 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) )
19 eleq2 2529 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( b  e.  c  <->  b  e.  ( d  u.  { e } ) ) )
2019ifbid 3915 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( b  e.  ( d  u.  {
e } ) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
2120ifeq1d 3911 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
2221mpt2eq3dv 6389 . . . . 5  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
2322fveq2d 5896 . . . 4  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
2418, 23eqeq12d 2477 . . 3  |-  ( c  =  ( d  u. 
{ e } )  ->  ( ( R 
gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  <-> 
( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
25 mpteq1 4499 . . . . 5  |-  ( c  =  N  ->  (
b  e.  c  |->  (
[_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) )  =  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )
2625oveq2d 6336 . . . 4  |-  ( c  =  N  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) )
27 eleq2 2529 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  N  ->  (
b  e.  c  <->  b  e.  N ) )
2827ifbid 3915 . . . . . . 7  |-  ( c  =  N  ->  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
2928ifeq1d 3911 . . . . . 6  |-  ( c  =  N  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
3029mpt2eq3dv 6389 . . . . 5  |-  ( c  =  N  ->  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
3130fveq2d 5896 . . . 4  |-  ( c  =  N  ->  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
3226, 31eqeq12d 2477 . . 3  |-  ( c  =  N  ->  (
( R  gsumg  ( b  e.  c 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  c ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  <-> 
( R  gsumg  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
33 noel 3747 . . . . . . . . 9  |-  -.  b  e.  (/)
34 iffalse 3902 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  b  e.  (/)  ->  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
3533, 34mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( b  e.  (/) ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
3635ifeq1d 3911 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  ( 0g `  R ) ,  ( a M b ) ) )
3736mpt2eq3ia 6388 . . . . . 6  |-  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( 0g `  R ) ,  ( a M b ) ) )
3837fveq2i 5895 . . . . 5  |-  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( 0g `  R ) ,  ( a M b ) ) ) )
39 madugsum.d . . . . . 6  |-  D  =  ( N maDet  R )
40 madugsum.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  R
)
41 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
42 madugsum.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
43 madugsum.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  B )
44 maduf.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( N Mat  R )
45 maduf.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  A
)
4644, 45matrcl 19492 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
4743, 46syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
4847simpld 465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
4944, 40, 45matbas2i 19502 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
50 elmapi 7524 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> K )
5143, 49, 503syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M : ( N  X.  N ) --> K )
5251fovrnda 6472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a M b )  e.  K )
53523impb 1211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( a M b )  e.  K )
54 madugsum.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  N )
5539, 40, 41, 42, 48, 53, 54mdetr0 19685 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( 0g `  R ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )
5638, 55syl5eq 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
57 mpt0 5731 . . . . . 6  |-  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) )  =  (/)
5857oveq2i 6331 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  (/) )
5941gsum0 16576 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  R )
6058, 59eqtri 2484 . . . 4  |-  ( R 
gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )  =  ( 0g `  R )
6156, 60syl6reqr 2515 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  (/)  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  (/) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
62 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
6342adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  R  e.  CRing )
64 crngring 17846 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  R  e.  Ring )
66 ringcmn 17866 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6765, 66syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  R  e. CMnd )
6848adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  N  e.  Fin )
69 simprl 769 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
d  C_  N )
70 ssfi 7823 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  d  C_  N )  -> 
d  e.  Fin )
7168, 69, 70syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
d  e.  Fin )
7265adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  R  e.  Ring )
7369sselda 3444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  b  e.  N )
74 madugsum.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N )  ->  X  e.  K )
7574ralrimiva 2814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. i  e.  N  X  e.  K )
7675ad2antrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  A. i  e.  N  X  e.  K )
77 rspcsbela 3807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  N  /\  A. i  e.  N  X  e.  K )  ->  [_ b  /  i ]_ X  e.  K )
7873, 76, 77syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  [_ b  / 
i ]_ X  e.  K
)
79 maduf.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  =  ( N maAdju  R )
8044, 79, 45maduf 19721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  J : B
--> B )
8142, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J : B --> B )
8281, 43ffvelrnd 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J `  M
)  e.  B )
8344, 40, 45matbas2i 19502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J `  M )  e.  B  ->  ( J `  M )  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
84 elmapi 7524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J `  M )  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) )  ->  ( J `  M ) : ( N  X.  N ) --> K )
8582, 83, 843syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J `  M
) : ( N  X.  N ) --> K )
8685ad2antrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  ( J `  M ) : ( N  X.  N ) --> K )
8754ad2antrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  L  e.  N )
8886, 73, 87fovrnd 6473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  ( b
( J `  M
) L )  e.  K )
89 madugsum.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .r `  R )
9040, 89ringcl 17849 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ b  /  i ]_ X  e.  K  /\  (
b ( J `  M ) L )  e.  K )  -> 
( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) )  e.  K )
9172, 78, 88, 90syl3anc 1276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  e.  d )  ->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) )  e.  K
)
92 vex 3060 . . . . . . . 8  |-  e  e. 
_V
9392a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
e  e.  _V )
94 eldifn 3568 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  ( N  \ 
d )  ->  -.  e  e.  d )
9594ad2antll 740 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  -.  e  e.  d
)
96 eldifi 3567 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  ( N  \ 
d )  ->  e  e.  N )
9796ad2antll 740 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
e  e.  N )
9875adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  A. i  e.  N  X  e.  K )
99 rspcsbela 3807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  e.  N  /\  A. i  e.  N  X  e.  K )  ->  [_ e  /  i ]_ X  e.  K )
10097, 98, 99syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  [_ e  /  i ]_ X  e.  K
)
10185adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( J `  M
) : ( N  X.  N ) --> K )
10254adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  L  e.  N )
103101, 97, 102fovrnd 6473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( e ( J `
 M ) L )  e.  K )
10440, 89ringcl 17849 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ e  /  i ]_ X  e.  K  /\  (
e ( J `  M ) L )  e.  K )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `  M
) L ) )  e.  K )
10565, 100, 103, 104syl3anc 1276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `  M
) L ) )  e.  K )
106 csbeq1 3378 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  e  ->  [_ b  /  i ]_ X  =  [_ e  /  i ]_ X )
107 oveq1 6327 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  e  ->  (
b ( J `  M ) L )  =  ( e ( J `  M ) L ) )
108106, 107oveq12d 6338 . . . . . . 7  |-  ( b  =  e  ->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) )
10940, 62, 67, 71, 91, 93, 95, 105, 108gsumunsn 17647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  (
e ( J `  M ) L ) ) ) )
110109adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  (
e ( J `  M ) L ) ) ) )
111 oveq1 6327 . . . . . 6  |-  ( ( R  gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  ->  ( ( R 
gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  (
e ( J `  M ) L ) ) )  =  ( ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) ) )
112111adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  ->  (
( R  gsumg  ( b  e.  d 
|->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  (
e ( J `  M ) L ) ) )  =  ( ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) ) )
113 elun 3586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( d  u. 
{ e } )  <-> 
( b  e.  d  \/  b  e.  {
e } ) )
114 elsn 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  { e }  <-> 
b  =  e )
115114orbi2i 526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  d  \/  b  e.  { e } )  <->  ( b  e.  d  \/  b  =  e ) )
116113, 115bitri 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( d  u. 
{ e } )  <-> 
( b  e.  d  \/  b  =  e ) )
117 ifbi 3914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( d  u.  { e } )  <->  ( b  e.  d  \/  b  =  e ) )  ->  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( ( b  e.  d  \/  b  =  e ) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( ( b  e.  d  \/  b  =  e ) , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )
119 ringmnd 17844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
12065, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  R  e.  Mnd )
1211203ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  R  e.  Mnd )
122 simp3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  b  e.  N )
123983ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  A. i  e.  N  X  e.  K )
124122, 123, 77syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  [_ b  / 
i ]_ X  e.  K
)
125 elequ1 1905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  e  ->  (
b  e.  d  <->  e  e.  d ) )
126125biimpac 493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  d  /\  b  =  e )  ->  e  e.  d )
12795, 126nsyl 126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  -.  ( b  e.  d  /\  b  =  e ) )
1281273ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  -.  (
b  e.  d  /\  b  =  e )
)
12940, 41, 62mndifsplit 19716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  [_ b  /  i ]_ X  e.  K  /\  -.  ( b  e.  d  /\  b  =  e ) )  ->  if ( ( b  e.  d  \/  b  =  e ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
130121, 124, 128, 129syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
( b  e.  d  \/  b  =  e ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
131118, 130syl5eq 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
132106adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  b  =  e )  ->  [_ b  / 
i ]_ X  =  [_ e  /  i ]_ X
)
133132ifeq1da 3923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  if ( b  =  e ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( b  =  e , 
[_ e  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
134 ovif2 6406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  =  if ( b  =  e ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 1r `  R
) ) ,  (
[_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 0g
`  R ) ) )
135 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
13640, 89, 135ringridm 17860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ e  /  i ]_ X  e.  K )  ->  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 1r
`  R ) )  =  [_ e  / 
i ]_ X )
13765, 100, 136syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 1r
`  R ) )  =  [_ e  / 
i ]_ X )
13840, 89, 41ringrz 17873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ e  /  i ]_ X  e.  K )  ->  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
13965, 100, 138syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
140137, 139ifeq12d 3913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  if ( b  =  e ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 1r `  R
) ) ,  (
[_ e  /  i ]_ X  .x.  ( 0g
`  R ) ) )  =  if ( b  =  e , 
[_ e  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
141134, 140syl5eq 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  if ( b  =  e , 
[_ e  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
142133, 141eqtr4d 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  if ( b  =  e ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )
143142oveq2d 6336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )
1441433ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R
) if ( b  =  e ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )
145131, 144eqtrd 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) )  =  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
146145ifeq1d 3911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  ( if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) ,  ( a M b ) ) )
147146mpt2eq3dva 6387 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
148147fveq2d 5896 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u. 
{ e } ) ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L , 
( if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  / 
i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
14940, 41ring0cl 17857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  K )
15065, 149syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( 0g `  R
)  e.  K )
1511503ad2ant1 1035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( 0g `  R )  e.  K
)
152124, 151ifcld 3936 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )  e.  K )
15340, 135ringidcl 17856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  K )
15465, 153syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( 1r `  R
)  e.  K )
155154, 150ifcld 3936 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  K )
15640, 89ringcl 17849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  [_ e  /  i ]_ X  e.  K  /\  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  K )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  K )
15765, 100, 155, 156syl3anc 1276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  K )
1581573ad2ant1 1035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e.  K )
15951adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> K )
160159fovrnda 6472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( a  e.  N  /\  b  e.  N ) )  -> 
( a M b )  e.  K )
1611603impb 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  ( a M b )  e.  K )
16239, 40, 62, 63, 68, 152, 158, 161, 102mdetrlin2 19687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  (
[_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
1631553ad2ant1 1035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  a  e.  N  /\  b  e.  N
)  ->  if (
b  =  e ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  K )
16439, 40, 89, 63, 68, 163, 161, 100, 102mdetrsca2 19684 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
16543adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  ->  M  e.  B )
16644, 39, 79, 45, 135, 41maducoeval 19719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  B  /\  e  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  ( e ( J `
 M ) L )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
167165, 97, 102, 166syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( e ( J `
 M ) L )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
168167oveq2d 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `  M
) L ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  =  e ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
169164, 168eqtr4d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  =  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) )
170169oveq2d 6336 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  if ( b  =  e ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  =  ( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) ) )
171148, 162, 1703eqtrrd 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u. 
{ e } ) ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
172171adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  ->  (
( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( [_ e  /  i ]_ X  .x.  ( e ( J `
 M ) L ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u. 
{ e } ) ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
173110, 112, 1723eqtrd 2500 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d ) ) )  /\  ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
174173ex 440 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( d  C_  N  /\  e  e.  ( N  \  d
) ) )  -> 
( ( R  gsumg  ( b  e.  d  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  d , 
[_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  ( d  u.  { e } )  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) ) )  =  ( D `  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  ( d  u.  { e } ) ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) ) )
1758, 16, 24, 32, 61, 174, 48findcard2d 7844 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
a  e.  N , 
b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) ) )
176 nfcv 2603 . . . 4  |-  F/_ b
( X  .x.  (
i ( J `  M ) L ) )
177 nfcsb1v 3391 . . . . 5  |-  F/_ i [_ b  /  i ]_ X
178 nfcv 2603 . . . . 5  |-  F/_ i  .x.
179 nfcv 2603 . . . . 5  |-  F/_ i
( b ( J `
 M ) L )
180177, 178, 179nfov 6346 . . . 4  |-  F/_ i
( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `  M
) L ) )
181 csbeq1a 3384 . . . . 5  |-  ( i  =  b  ->  X  =  [_ b  /  i ]_ X )
182 oveq1 6327 . . . . 5  |-  ( i  =  b  ->  (
i ( J `  M ) L )  =  ( b ( J `  M ) L ) )
183181, 182oveq12d 6338 . . . 4  |-  ( i  =  b  ->  ( X  .x.  ( i ( J `  M ) L ) )  =  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) )
184176, 180, 183cbvmpt 4510 . . 3  |-  ( i  e.  N  |->  ( X 
.x.  ( i ( J `  M ) L ) ) )  =  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  /  i ]_ X  .x.  ( b ( J `
 M ) L ) ) )
185184oveq2i 6331 . 2  |-  ( R 
gsumg  ( i  e.  N  |->  ( X  .x.  (
i ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( b  e.  N  |->  ( [_ b  / 
i ]_ X  .x.  (
b ( J `  M ) L ) ) ) )
186 nfcv 2603 . . . . 5  |-  F/_ a if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) )
187 nfcv 2603 . . . . 5  |-  F/_ b if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) )
188 nfcv 2603 . . . . 5  |-  F/_ j if ( a  =  L ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( a M b ) )
189 nfv 1772 . . . . . 6  |-  F/ i  a  =  L
190 nfcv 2603 . . . . . 6  |-  F/_ i
( a M b )
191189, 177, 190nfif 3922 . . . . 5  |-  F/_ i if ( a  =  L ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( a M b ) )
192 eqeq1 2466 . . . . . . 7  |-  ( j  =  a  ->  (
j  =  L  <->  a  =  L ) )
193192adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  a  /\  i  =  b )  ->  ( j  =  L  <-> 
a  =  L ) )
194181adantl 472 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  a  /\  i  =  b )  ->  X  =  [_ b  /  i ]_ X
)
195 oveq12 6329 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  a  /\  i  =  b )  ->  ( j M i )  =  ( a M b ) )
196193, 194, 195ifbieq12d 3920 . . . . 5  |-  ( ( j  =  a  /\  i  =  b )  ->  if ( j  =  L ,  X , 
( j M i ) )  =  if ( a  =  L ,  [_ b  / 
i ]_ X ,  ( a M b ) ) )
197186, 187, 188, 191, 196cbvmpt2 6402 . . . 4  |-  ( j  e.  N ,  i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( a M b ) ) )
198 iftrue 3899 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  N  ->  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) )  =  [_ b  / 
i ]_ X )
199198eqcomd 2468 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  N  ->  [_ b  /  i ]_ X  =  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g `  R ) ) )
200199adantl 472 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  [_ b  /  i ]_ X  =  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) )
201200ifeq1d 3911 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  N  /\  b  e.  N )  ->  if ( a  =  L ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( a M b ) )  =  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
202201mpt2eq3ia 6388 . . . 4  |-  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( a M b ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
203197, 202eqtri 2484 . . 3  |-  ( j  e.  N ,  i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) )
204203fveq2i 5895 . 2  |-  ( D `
 ( j  e.  N ,  i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) ) )  =  ( D `
 ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  L ,  if ( b  e.  N ,  [_ b  /  i ]_ X ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( a M b ) ) ) )
205175, 185, 2043eqtr4g 2521 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  N  |->  ( X  .x.  (
i ( J `  M ) L ) ) ) )  =  ( D `  (
j  e.  N , 
i  e.  N  |->  if ( j  =  L ,  X ,  ( j M i ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   _Vcvv 3057   [_csb 3375    \ cdif 3413    u. cun 3414    C_ wss 3416   (/)c0 3743   ifcif 3893   {csn 3980    |-> cmpt 4477    X. cxp 4854   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320    |-> cmpt2 6322    ^m cmap 7503   Fincfn 7600   Basecbs 15176   +g cplusg 15245   .rcmulr 15246   0gc0g 15393    gsumg cgsu 15394   Mndcmnd 16590  CMndccmn 17485   1rcur 17790   Ringcrg 17835   CRingccrg 17836   Mat cmat 19487   maDet cmdat 19664   maAdju cmadu 19712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-addf 9649  ax-mulf 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-xor 1416  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-tpos 7004  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-ixp 7554  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-sup 7987  df-oi 8056  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-rp 11337  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-word 12703  df-lsw 12704  df-concat 12705  df-s1 12706  df-substr 12707  df-splice 12708  df-reverse 12709  df-s2 12987  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-hom 15269  df-cco 15270  df-0g 15395  df-gsum 15396  df-prds 15401  df-pws 15403  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-mhm 16637  df-submnd 16638  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-mulg 16731  df-subg 16869  df-ghm 16936  df-gim 16978  df-cntz 17026  df-oppg 17052  df-symg 17074  df-pmtr 17138  df-psgn 17187  df-cmn 17487  df-abl 17488  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-cring 17838  df-oppr 17906  df-dvdsr 17924  df-unit 17925  df-invr 17955  df-dvr 17966  df-rnghom 17998  df-drng 18032  df-subrg 18061  df-sra 18450  df-rgmod 18451  df-cnfld 19026  df-zring 19095  df-zrh 19130  df-dsmm 19350  df-frlm 19365  df-mat 19488  df-mdet 19665  df-madu 19714
This theorem is referenced by:  madurid  19724  mdetlap1  28703
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