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Theorem madufval 18418
Description: First substitution for the adjunct (cofactor) matrix. (Contributed by SO, 11-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
madufval.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
madufval.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
madufval.j  |-  J  =  ( N maAdju  R )
madufval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
madufval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
madufval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
madufval  |-  J  =  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, N, i, j, k, l    R, m, i, j, k, l    B, m
Allowed substitution hints:    A( i, j, k, m, l)    B( i, j, k, l)    D( i, j, k, m, l)    .1. ( i, j, k, m, l)    J( i, j, k, m, l)    .0. ( i,
j, k, m, l)

Proof of Theorem madufval
Dummy variables  n  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 madufval.j . 2  |-  J  =  ( N maAdju  R )
2 oveq1 6093 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
n Mat  r )  =  ( N Mat  r ) )
32fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( Base `  ( n Mat  r
) )  =  (
Base `  ( N Mat  r ) ) )
4 id 22 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  n  =  N )
5 oveq1 6093 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
n maDet  r )  =  ( N maDet  r ) )
6 eqidd 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) )  =  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) )
74, 4, 6mpt2eq123dv 6143 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
k  e.  n ,  l  e.  n  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) )  =  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r
) ,  ( 0g
`  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) )
85, 7fveq12d 5692 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( n maDet  r ) `  ( k  e.  n ,  l  e.  n  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r
) ,  ( 0g
`  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) )  =  ( ( N maDet  r ) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r
) ,  ( 0g
`  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )
94, 4, 8mpt2eq123dv 6143 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
i  e.  n ,  j  e.  n  |->  ( ( n maDet  r ) `
 ( k  e.  n ,  l  e.  n  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( N maDet  r
) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )
103, 9mpteq12dv 4365 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
m  e.  ( Base `  ( n Mat  r ) )  |->  ( i  e.  n ,  j  e.  n  |->  ( ( n maDet 
r ) `  (
k  e.  n ,  l  e.  n  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )  =  ( m  e.  ( Base `  ( N Mat  r ) )  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( N maDet 
r ) `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) ) )
11 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( N Mat  r )  =  ( N Mat  R ) )
1211fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  ( N Mat  r
) )  =  (
Base `  ( N Mat  R ) ) )
13 oveq2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ( N maDet  r )  =  ( N maDet  R ) )
14 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  ( 1r `  r )  =  ( 1r `  R
) )
15 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  ( 0g `  R
) )
1614, 15ifeq12d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) )  =  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
1716ifeq1d 3802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) )  =  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) )
18173ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  =  R  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r
) ,  ( 0g
`  r ) ) ,  ( k m l ) )  =  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( k m l ) ) )
1918mpt2eq3dva 6145 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) )  =  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) )
2013, 19fveq12d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( N maDet  r ) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r
) ,  ( 0g
`  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) )  =  ( ( N maDet  R ) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )
21203ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( ( N maDet  r
) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) )  =  ( ( N maDet  R ) `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )
2221mpt2eq3dva 6145 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( N maDet  r ) `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( N maDet  R
) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )
2312, 22mpteq12dv 4365 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (
m  e.  ( Base `  ( N Mat  r ) )  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( N maDet 
r ) `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )  =  ( m  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) )  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( N maDet 
R ) `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) ) )
24 df-madu 18415 . . . . 5  |- maAdju  =  ( n  e.  _V , 
r  e.  _V  |->  ( m  e.  ( Base `  ( n Mat  r ) )  |->  ( i  e.  n ,  j  e.  n  |->  ( ( n maDet 
r ) `  (
k  e.  n ,  l  e.  n  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) ) )
25 fvex 5696 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  e.  _V
2625mptex 5943 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) )  |->  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( N maDet  R ) `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )  e.  _V
2710, 23, 24, 26ovmpt2 6221 . . . 4  |-  ( ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( N maAdju  R )  =  ( m  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) )  |->  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( N maDet  R ) `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) ) )
28 madufval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
29 madufval.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
3029fveq2i 5689 . . . . . 6  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  ( N Mat  R ) )
3128, 30eqtri 2458 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
32 madufval.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( N maDet  R )
33 madufval.o . . . . . . . . . . . 12  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  .1.  =  ( 1r
`  R ) )
35 madufval.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  .0.  =  ( 0g
`  R ) )
3734, 36ifeq12d 3804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
3837ifeq1d 3802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) )  =  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( k m l ) ) )
3938mpt2eq3ia 6146 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) )  =  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ,  ( k m l ) ) )
4032, 39fveq12i 5691 . . . . . . 7  |-  ( D `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k
m l ) ) ) )  =  ( ( N maDet  R ) `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) )
4140a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( D `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) )  =  ( ( N maDet  R
) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )
4241mpt2eq3ia 6146 . . . . 5  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k
m l ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( N maDet  R
) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )
4331, 42mpteq12i 4371 . . . 4  |-  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k
m l ) ) ) ) ) )  =  ( m  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) )  |->  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( N maDet  R ) `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )
4427, 43syl6eqr 2488 . . 3  |-  ( ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( N maAdju  R )  =  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) ) )
4524reldmmpt2 6196 . . . . 5  |-  Rel  dom maAdju
4645ovprc 6113 . . . 4  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( N maAdju  R )  =  (/) )
47 df-mat 18257 . . . . . . . . . . 11  |- Mat  =  ( n  e.  Fin , 
r  e.  _V  |->  ( ( r freeLMod  ( n  X.  n ) ) sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( r maMul  <.
n ,  n ,  n >. ) >. )
)
4847reldmmpt2 6196 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  dom Mat
4948ovprc 6113 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( N Mat  R )  =  (/) )
5029, 49syl5eq 2482 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  A  =  (/) )
5150fveq2d 5690 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  A
)  =  ( Base `  (/) ) )
52 base0 14205 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
5351, 28, 523eqtr4g 2495 . . . . . 6  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  B  =  (/) )
5453mpteq1d 4368 . . . . 5  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )  =  ( m  e.  (/)  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) ) )
55 mpt0 5533 . . . . 5  |-  ( m  e.  (/)  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )  =  (/)
5654, 55syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )  =  (/) )
5746, 56eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( N maAdju  R )  =  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) ) )
5844, 57pm2.61i 164 . 2  |-  ( N maAdju  R )  =  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( D `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )
591, 58eqtri 2458 1  |-  J  =  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   (/)c0 3632   ifcif 3786   <.cop 3878   <.cotp 3880    e. cmpt 4345    X. cxp 4833   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   Fincfn 7302   ndxcnx 14163   sSet csts 14164   Basecbs 14166   .rcmulr 14231   0gc0g 14370   1rcur 16591   freeLMod cfrlm 18146   maMul cmmul 18254   Mat cmat 18255   maDet cmdat 18370   maAdju cmadu 18413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-slot 14170  df-base 14171  df-mat 18257  df-madu 18415
This theorem is referenced by:  maduval  18419  maduf  18422
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