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Theorem madufval 18934
Description: First substitution for the adjunct (cofactor) matrix. (Contributed by SO, 11-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
madufval.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
madufval.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
madufval.j  |-  J  =  ( N maAdju  R )
madufval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
madufval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
madufval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
madufval  |-  J  =  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, N, i, j, k, l    R, m, i, j, k, l    B, m
Allowed substitution hints:    A( i, j, k, m, l)    B( i, j, k, l)    D( i, j, k, m, l)    .1. ( i, j, k, m, l)    J( i, j, k, m, l)    .0. ( i,
j, k, m, l)

Proof of Theorem madufval
Dummy variables  n  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 madufval.j . 2  |-  J  =  ( N maAdju  R )
2 oveq1 6291 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
n Mat  r )  =  ( N Mat  r ) )
32fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( Base `  ( n Mat  r
) )  =  (
Base `  ( N Mat  r ) ) )
4 id 22 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  n  =  N )
5 oveq1 6291 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
n maDet  r )  =  ( N maDet  r ) )
6 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) )  =  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) )
74, 4, 6mpt2eq123dv 6343 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
k  e.  n ,  l  e.  n  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) )  =  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r
) ,  ( 0g
`  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) )
85, 7fveq12d 5872 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( n maDet  r ) `  ( k  e.  n ,  l  e.  n  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r
) ,  ( 0g
`  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) )  =  ( ( N maDet  r ) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r
) ,  ( 0g
`  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )
94, 4, 8mpt2eq123dv 6343 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
i  e.  n ,  j  e.  n  |->  ( ( n maDet  r ) `
 ( k  e.  n ,  l  e.  n  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( N maDet  r
) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )
103, 9mpteq12dv 4525 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
m  e.  ( Base `  ( n Mat  r ) )  |->  ( i  e.  n ,  j  e.  n  |->  ( ( n maDet 
r ) `  (
k  e.  n ,  l  e.  n  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )  =  ( m  e.  ( Base `  ( N Mat  r ) )  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( N maDet 
r ) `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) ) )
11 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( N Mat  r )  =  ( N Mat  R ) )
1211fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  ( N Mat  r
) )  =  (
Base `  ( N Mat  R ) ) )
13 oveq2 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ( N maDet  r )  =  ( N maDet  R ) )
14 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  ( 1r `  r )  =  ( 1r `  R
) )
15 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  ( 0g `  R
) )
1614, 15ifeq12d 3959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) )  =  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
1716ifeq1d 3957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) )  =  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) )
18173ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  =  R  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r
) ,  ( 0g
`  r ) ) ,  ( k m l ) )  =  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( k m l ) ) )
1918mpt2eq3dva 6345 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) )  =  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) )
2013, 19fveq12d 5872 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( N maDet  r ) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r
) ,  ( 0g
`  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) )  =  ( ( N maDet  R ) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )
21203ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( ( N maDet  r
) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) )  =  ( ( N maDet  R ) `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )
2221mpt2eq3dva 6345 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( N maDet  r ) `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( N maDet  R
) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )
2312, 22mpteq12dv 4525 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (
m  e.  ( Base `  ( N Mat  r ) )  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( N maDet 
r ) `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )  =  ( m  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) )  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( N maDet 
R ) `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) ) )
24 df-madu 18931 . . . . 5  |- maAdju  =  ( n  e.  _V , 
r  e.  _V  |->  ( m  e.  ( Base `  ( n Mat  r ) )  |->  ( i  e.  n ,  j  e.  n  |->  ( ( n maDet 
r ) `  (
k  e.  n ,  l  e.  n  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  r ) ,  ( 0g `  r ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) ) )
25 fvex 5876 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  e.  _V
2625mptex 6131 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) )  |->  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( N maDet  R ) `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )  e.  _V
2710, 23, 24, 26ovmpt2 6422 . . . 4  |-  ( ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( N maAdju  R )  =  ( m  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) )  |->  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( N maDet  R ) `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) ) )
28 madufval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
29 madufval.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
3029fveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  ( N Mat  R ) )
3128, 30eqtri 2496 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
32 madufval.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( N maDet  R )
33 madufval.o . . . . . . . . . . . 12  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  .1.  =  ( 1r
`  R ) )
35 madufval.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  .0.  =  ( 0g
`  R ) )
3734, 36ifeq12d 3959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
3837ifeq1d 3957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) )  =  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( k m l ) ) )
3938mpt2eq3ia 6346 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) )  =  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ,  ( k m l ) ) )
4032, 39fveq12i 5871 . . . . . . 7  |-  ( D `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k
m l ) ) ) )  =  ( ( N maDet  R ) `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) )
4140a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( D `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) )  =  ( ( N maDet  R
) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )
4241mpt2eq3ia 6346 . . . . 5  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k
m l ) ) ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( N maDet  R
) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )
4331, 42mpteq12i 4531 . . . 4  |-  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k
m l ) ) ) ) ) )  =  ( m  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) )  |->  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( N maDet  R ) `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )
4427, 43syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( N maAdju  R )  =  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) ) )
4524reldmmpt2 6397 . . . . 5  |-  Rel  dom maAdju
4645ovprc 6311 . . . 4  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( N maAdju  R )  =  (/) )
47 df-mat 18705 . . . . . . . . . . 11  |- Mat  =  ( n  e.  Fin , 
r  e.  _V  |->  ( ( r freeLMod  ( n  X.  n ) ) sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( r maMul  <.
n ,  n ,  n >. ) >. )
)
4847reldmmpt2 6397 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  dom Mat
4948ovprc 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( N Mat  R )  =  (/) )
5029, 49syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  A  =  (/) )
5150fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  A
)  =  ( Base `  (/) ) )
52 base0 14529 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
5351, 28, 523eqtr4g 2533 . . . . . 6  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  B  =  (/) )
5453mpteq1d 4528 . . . . 5  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )  =  ( m  e.  (/)  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) ) )
55 mpt0 5708 . . . . 5  |-  ( m  e.  (/)  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )  =  (/)
5654, 55syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )  =  (/) )
5746, 56eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( -.  ( N  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( N maAdju  R )  =  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) ) )
5844, 57pm2.61i 164 . 2  |-  ( N maAdju  R )  =  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( D `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )
591, 58eqtri 2496 1  |-  J  =  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( D `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   ifcif 3939   <.cop 4033   <.cotp 4035    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   Fincfn 7516   ndxcnx 14487   sSet csts 14488   Basecbs 14490   .rcmulr 14556   0gc0g 14695   1rcur 16955   freeLMod cfrlm 18572   maMul cmmul 18680   Mat cmat 18704   maDet cmdat 18881   maAdju cmadu 18929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-slot 14494  df-base 14495  df-mat 18705  df-madu 18931
This theorem is referenced by:  maduval  18935  maduf  18938
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