MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  maduf Structured version   Unicode version

Theorem maduf 19012
Description: Creating the adjunct of matrices is a function from the set of matrices into the set of matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
maduf.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
maduf.j  |-  J  =  ( N maAdju  R )
maduf.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
Assertion
Ref Expression
maduf  |-  ( R  e.  CRing  ->  J : B
--> B )

Proof of Theorem maduf
Dummy variables  i 
j  k  l  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 maduf.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 maduf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
41, 3matrcl 18783 . . . . 5  |-  ( m  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
54adantl 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
65simpld 459 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
7 simpl 457 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
8 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( N maDet 
R )  =  ( N maDet  R )
98, 1, 3, 2mdetf 18966 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( N maDet  R ) : B --> ( Base `  R ) )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  ->  ( N maDet  R ) : B --> ( Base `  R )
)
11103ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( N maDet  R ) : B --> ( Base `  R ) )
1263ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  N  e.  Fin )
13 simp1l 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  R  e.  CRing
)
14 simp11l 1107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  R  e.  CRing
)
15 crngring 17081 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
16 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
172, 16ringidcl 17091 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
18 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
192, 18ring0cl 17092 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
20 ifcl 3987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )  ->  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )
2117, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
2214, 15, 213syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  if (
l  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
23 simp11r 1108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  m  e.  B )
241, 2, 3matbas2i 18793 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  B  ->  m  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
25 elmapi 7452 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  m : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
2623, 24, 253syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  m :
( N  X.  N
) --> ( Base `  R
) )
27 simp2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  k  e.  N )
28 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  l  e.  N )
2926, 27, 28fovrnd 6442 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  ( k
m l )  e.  ( Base `  R
) )
30 ifcl 3987 . . . . . 6  |-  ( ( if ( l  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( k m l )  e.  ( Base `  R ) )  ->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) )  e.  (
Base `  R )
)
3122, 29, 30syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  if (
k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ,  ( k m l ) )  e.  ( Base `  R ) )
321, 2, 3, 12, 13, 31matbas2d 18794 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) )  e.  B )
3311, 32ffvelrnd 6033 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( ( N maDet  R ) `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
341, 2, 3, 6, 7, 33matbas2d 18794 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( N maDet  R ) `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )  e.  B )
35 maduf.j . . 3  |-  J  =  ( N maAdju  R )
361, 8, 35, 3, 16, 18madufval 19008 . 2  |-  J  =  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( N maDet  R
) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )
3734, 36fmptd 6056 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  J : B
--> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   ifcif 3945    X. cxp 5003   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   Basecbs 14507   0gc0g 14712   1rcur 17025   Ringcrg 17070   CRingccrg 17071   Mat cmat 18778   maDet cmdat 18955   maAdju cmadu 19003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-substr 12527  df-splice 12528  df-reverse 12529  df-s2 12793  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-gim 16179  df-cntz 16227  df-oppg 16253  df-symg 16275  df-pmtr 16340  df-psgn 16389  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-rnghom 17236  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-zrh 18410  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-mat 18779  df-mdet 18956  df-madu 19005
This theorem is referenced by:  madutpos  19013  madugsum  19014  madurid  19015  madulid  19016  matinv  19048  cpmadugsumfi  19247
  Copyright terms: Public domain W3C validator