MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  maduf Structured version   Unicode version

Theorem maduf 18589
Description: Creating the adjunct of matrices is a function from the set of matrices into the set of matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
maduf.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
maduf.j  |-  J  =  ( N maAdju  R )
maduf.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
Assertion
Ref Expression
maduf  |-  ( R  e.  CRing  ->  J : B
--> B )

Proof of Theorem maduf
Dummy variables  i 
j  k  l  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 maduf.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 maduf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
41, 3matrcl 18447 . . . . 5  |-  ( m  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
54adantl 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
65simpld 459 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
7 simpl 457 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
8 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( N maDet 
R )  =  ( N maDet  R )
98, 1, 3, 2mdetf 18543 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( N maDet  R ) : B --> ( Base `  R ) )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  ->  ( N maDet  R ) : B --> ( Base `  R )
)
11103ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( N maDet  R ) : B --> ( Base `  R ) )
1263ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  N  e.  Fin )
13 simp1l 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  R  e.  CRing
)
14 simp11l 1099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  R  e.  CRing
)
15 crngrng 16788 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
16 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
172, 16rngidcl 16798 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
18 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
192, 18rng0cl 16799 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
20 ifcl 3942 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )  ->  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )
2117, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
2214, 15, 213syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  if (
l  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
23 simp11r 1100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  m  e.  B )
241, 2, 3matbas2i 18458 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  B  ->  m  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
25 elmapi 7347 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  m : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
2623, 24, 253syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  m :
( N  X.  N
) --> ( Base `  R
) )
27 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  k  e.  N )
28 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  l  e.  N )
2926, 27, 28fovrnd 6348 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  ( k
m l )  e.  ( Base `  R
) )
30 ifcl 3942 . . . . . 6  |-  ( ( if ( l  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( k m l )  e.  ( Base `  R ) )  ->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) )  e.  (
Base `  R )
)
3122, 29, 30syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
CRing  /\  m  e.  B
)  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  ->  if (
k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ,  ( k m l ) )  e.  ( Base `  R ) )
321, 2, 3, 12, 13, 31matbas2d 18459 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) )  e.  B )
3311, 32ffvelrnd 5956 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N
)  ->  ( ( N maDet  R ) `  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
341, 2, 3, 6, 7, 33matbas2d 18459 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  m  e.  B )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( N maDet  R ) `
 ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) )  e.  B )
35 maduf.j . . 3  |-  J  =  ( N maAdju  R )
361, 8, 35, 3, 16, 18madufval 18585 . 2  |-  J  =  ( m  e.  B  |->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( ( N maDet  R
) `  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  if ( k  =  j ,  if ( l  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( k m l ) ) ) ) ) )
3734, 36fmptd 5979 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  J : B
--> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   ifcif 3902    X. cxp 4949   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205    ^m cmap 7327   Fincfn 7423   Basecbs 14296   0gc0g 14501   1rcur 16735   Ringcrg 16778   CRingccrg 16779   Mat cmat 18415   maDet cmdat 18532   maAdju cmadu 18580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-addf 9476  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-word 12351  df-concat 12353  df-s1 12354  df-substr 12355  df-splice 12356  df-reverse 12357  df-s2 12597  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-hom 14385  df-cco 14386  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-prds 14509  df-pws 14511  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-mhm 15587  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-mulg 15671  df-subg 15801  df-ghm 15868  df-gim 15910  df-cntz 15958  df-oppg 15984  df-symg 16006  df-pmtr 16071  df-psgn 16120  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-cring 16781  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-dvr 16908  df-rnghom 16939  df-drng 16967  df-subrg 16996  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-cnfld 17954  df-zring 18019  df-zrh 18070  df-dsmm 18292  df-frlm 18307  df-mat 18417  df-mdet 18533  df-madu 18582
This theorem is referenced by:  madutpos  18590  madugsum  18591  madurid  18592  madulid  18593  matinv  18625  cpmadugsumfi  31386
  Copyright terms: Public domain W3C validator