Theorem madjusmdetlem2 28654

Description: Lemma for madjusmdet 28657. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
madjusmdet.b	|- B = ( Base ` A )
madjusmdet.a	|- A = ( ( 1 ... N ) Mat R )
madjusmdet.d	|- D = ( ( 1 ... N ) maDet R )
madjusmdet.k	|- K = ( ( 1 ... N ) maAdju R )
madjusmdet.t	|- .x. = ( .r ` R )
madjusmdet.z	|- Z = ( ZRHom ` R )
madjusmdet.e	|- E = ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) maDet R )
madjusmdet.n	|- ( ph -> N e. NN )
madjusmdet.r	|- ( ph -> R e. CRing )
madjusmdet.i	|- ( ph -> I e. ( 1 ... N ) )
madjusmdet.j	|- ( ph -> J e. ( 1 ... N ) )
madjusmdet.m	|- ( ph -> M e. B )
madjusmdetlem2.p	|- P = ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
madjusmdetlem2.s	|- S = ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , N , if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
madjusmdetlem2	|- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( X < I , X , ( X + 1 ) ) = ( ( P o. `' S ) ` X ) )

Distinct variable groups:   B, i   i, I   i, J   i, M   i, N   P, i   R, i   ph, i   S, i

Allowed substitution hints:   A( i)   D( i)   .x. ( i)   E( i)   K( i)   X( i)   Z( i)

Proof of Theorem madjusmdetlem2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		madjusmdet.n	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
2		nnuz 11194	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		eluzfz2 11807	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> N e. ( 1 ... N ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( 1 ... N ) )
6		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) = ( 1 ... N )
7		madjusmdetlem2.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , N , if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) ) )
8		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) = ( SymGrp ` ( 1 ... N ) )
9		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) )
10	6, 7, 8, 9	fzto1st 28616	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( 1 ... N ) -> S e. ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) ) )
11	5, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) ) )
12	8, 9	symgbasf1o 17024	. . . . . . . . 9 |- ( S e. ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) ) -> S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
14	13	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
15		fznatpl1 11850	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
16	1, 15	sylan 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
17		eqeq1 2455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = x -> ( i = 1 <-> x = 1 ) )
18		breq1 4405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = x -> ( i <_ N <-> x <_ N ) )
19		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = x -> ( i - 1 ) = ( x - 1 ) )
20		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = x -> i = x )
21	18, 19, 20	ifbieq12d 3908	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = x -> if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) = if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) )
22	17, 21	ifbieq2d 3906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = x -> if ( i = 1 , N , if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) ) = if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) )
23	22	cbvmptv 4495	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , N , if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) )
24	7, 23	eqtri 2473	. . . . . . . . . 10 |- S = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) )
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> S = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) ) )
26		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x = ( X + 1 ) )
27		1red 9658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 e. RR )
28		fz1ssnn 11830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ NN
29		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
30	28, 29	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. NN )
31	30	nnrpd 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. RR+ )
32	31	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> X e. RR+ )
33	27, 32	ltaddrp2d 11372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 < ( X + 1 ) )
34	27, 33	ltned 9771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 =/= ( X + 1 ) )
35	34	necomd 2679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( X + 1 ) =/= 1 )
36	26, 35	eqnetrd 2691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x =/= 1 )
37	36	neneqd 2629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> -. x = 1 )
38	37	iffalsed 3892	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) = if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) )
39	1	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
40	30	nnnn0d 10925	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. NN0 )
41	39	nnnn0d 10925	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN0 )
42		elfzle2 11803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> X <_ ( N - 1 ) )
43	29, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X <_ ( N - 1 ) )
44		nn0ltlem1 10996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( X < N <-> X <_ ( N - 1 ) ) )
45	44	biimpar 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ X <_ ( N - 1 ) ) -> X < N )
46	40, 41, 43, 45	syl21anc 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X < N )
47		nnltp1le 10992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. NN /\ N e. NN ) -> ( X < N <-> ( X + 1 ) <_ N ) )
48	47	biimpa 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. NN /\ N e. NN ) /\ X < N ) -> ( X + 1 ) <_ N )
49	30, 39, 46, 48	syl21anc 1267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) <_ N )
50	49	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( X + 1 ) <_ N )
51	26, 50	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x <_ N )
52	51	iftrued 3889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) = ( x - 1 ) )
53	26	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( x - 1 ) = ( ( X + 1 ) - 1 ) )
54	30	nncnd 10625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. CC )
55		1cnd 9659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
56	54, 55	pncand 9987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( X + 1 ) - 1 ) = X )
57	56	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( ( X + 1 ) - 1 ) = X )
58	53, 57	eqtrd 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( x - 1 ) = X )
59	38, 52, 58	3eqtrd 2489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) = X )
60	25, 59, 16, 29	fvmptd 5954	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( S ` ( X + 1 ) ) = X )
61	60	idi 2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( S ` ( X + 1 ) ) = X )
62		f1ocnvfv 6177	. . . . . . . 8 |- ( ( S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( S ` ( X + 1 ) ) = X -> ( `' S ` X ) = ( X + 1 ) ) )
63	62	imp 431	. . . . . . 7 |- ( ( ( S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) ) /\ ( S ` ( X + 1 ) ) = X ) -> ( `' S ` X ) = ( X + 1 ) )
64	14, 16, 61, 63	syl21anc 1267	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( `' S ` X ) = ( X + 1 ) )
65	64	fveq2d 5869	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` ( `' S ` X ) ) = ( P ` ( X + 1 ) ) )
66	65	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> ( P ` ( `' S ` X ) ) = ( P ` ( X + 1 ) ) )
67		madjusmdetlem2.p	. . . . . . 7 |- P = ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
68	20	breq1d 4412	. . . . . . . . . 10 |- ( i = x -> ( i <_ I <-> x <_ I ) )
69	68, 19, 20	ifbieq12d 3908	. . . . . . . . 9 |- ( i = x -> if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) = if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) )
70	17, 69	ifbieq2d 3906	. . . . . . . 8 |- ( i = x -> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) = if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) )
71	70	cbvmptv 4495	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) )
72	67, 71	eqtri 2473	. . . . . 6 |- P = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) )
73	72	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> P = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) ) )
74	33, 26	breqtrrd 4429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 < x )
75	27, 74	ltned 9771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 =/= x )
76	75	necomd 2679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x =/= 1 )
77	76	neneqd 2629	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> -. x = 1 )
78	77	iffalsed 3892	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) )
79	78	adantlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) )
80		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x = ( X + 1 ) )
81	30	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> X e. NN )
82		fz1ssnn 11830	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) C_ NN
83		madjusmdet.i	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I e. ( 1 ... N ) )
84	82, 83	sseldi 3430	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I e. NN )
85	84	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> I e. NN )
86		simplr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> X < I )
87		nnltp1le 10992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN /\ I e. NN ) -> ( X < I <-> ( X + 1 ) <_ I ) )
88	87	biimpa 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. NN /\ I e. NN ) /\ X < I ) -> ( X + 1 ) <_ I )
89	81, 85, 86, 88	syl21anc 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( X + 1 ) <_ I )
90	80, 89	eqbrtrd 4423	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x <_ I )
91	90	iftrued 3889	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) = ( x - 1 ) )
92	58	adantlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( x - 1 ) = X )
93	79, 91, 92	3eqtrd 2489	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = X )
94	16	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
95		simplr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
96	73, 93, 94, 95	fvmptd 5954	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> ( P ` ( X + 1 ) ) = X )
97	66, 96	eqtr2d 2486	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> X = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
98	65	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> ( P ` ( `' S ` X ) ) = ( P ` ( X + 1 ) ) )
99	72	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> P = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) ) )
100	78	adantlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) )
101	30	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> X e. NN )
102	84	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> I e. NN )
103	26	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> x = ( X + 1 ) )
104		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> x <_ I )
105	103, 104	eqbrtrrd 4425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> ( X + 1 ) <_ I )
106	87	biimpar 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. NN /\ I e. NN ) /\ ( X + 1 ) <_ I ) -> X < I )
107	101, 102, 105, 106	syl21anc 1267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> X < I )
108	107	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( x <_ I -> X < I ) )
109	108	con3d 139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( -. X < I -> -. x <_ I ) )
110	109	imp 431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ -. X < I ) -> -. x <_ I )
111	110	an32s 813	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> -. x <_ I )
112	111	iffalsed 3892	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) = x )
113		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x = ( X + 1 ) )
114	112, 113	eqtrd 2485	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) = ( X + 1 ) )
115	100, 114	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = ( X + 1 ) )
116	16	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
117	99, 115, 116, 116	fvmptd 5954	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> ( P ` ( X + 1 ) ) = ( X + 1 ) )
118	98, 117	eqtr2d 2486	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> ( X + 1 ) = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
119	97, 118	ifeqda 3914	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( X < I , X , ( X + 1 ) ) = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
120		f1ocnv 5826	. . . . . 6 |- ( S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> `' S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
121	11, 12, 120	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> `' S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
122		f1ofun 5816	. . . . 5 |- ( `' S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> Fun `' S )
123	121, 122	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> Fun `' S )
124	123	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> Fun `' S )
125		fzdif2 28369	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... N ) \ { N } ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
126	3, 125	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 ... N ) \ { N } ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
127		difss 3560	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... N ) \ { N } ) C_ ( 1 ... N )
128	126, 127	syl6eqssr 3483	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 1 ... N ) )
129		f1odm 5818	. . . . . . 7 |- ( `' S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> dom `' S = ( 1 ... N ) )
130	121, 129	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom `' S = ( 1 ... N ) )
131	128, 130	sseqtr4d 3469	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ dom `' S )
132	131	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ dom `' S )
133	132, 29	sseldd 3433	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. dom `' S )
134		fvco 5941	. . 3 |- ( ( Fun `' S /\ X e. dom `' S ) -> ( ( P o. `' S ) ` X ) = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
135	124, 133, 134	syl2anc 667	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( P o. `' S ) ` X ) = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
136	119, 135	eqtr4d 2488	1 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( X < I , X , ( X + 1 ) ) = ( ( P o. `' S ) ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   \ cdif 3401   C_ wss 3404   ifcif 3881   {csn 3968   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   o. ccom 4838   Fun wfun 5576   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1c1 9540   + caddc 9542   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11784   Basecbs 15121   .rcmulr 15191   SymGrpcsymg 17018   CRingccrg 17781   ZRHomczrh 19071   Mat cmat 19432   maDet cmdat 19609   maAdju cmadu 19657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-tset 15209  df-symg 17019  df-pmtr 17083

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem3  28655