Theorem madjusmdetlem2 28728

Description: Lemma for madjusmdet 28731. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
madjusmdet.b	|- B = ( Base ` A )
madjusmdet.a	|- A = ( ( 1 ... N ) Mat R )
madjusmdet.d	|- D = ( ( 1 ... N ) maDet R )
madjusmdet.k	|- K = ( ( 1 ... N ) maAdju R )
madjusmdet.t	|- .x. = ( .r ` R )
madjusmdet.z	|- Z = ( ZRHom ` R )
madjusmdet.e	|- E = ( ( 1 ... ( N - 1 ) ) maDet R )
madjusmdet.n	|- ( ph -> N e. NN )
madjusmdet.r	|- ( ph -> R e. CRing )
madjusmdet.i	|- ( ph -> I e. ( 1 ... N ) )
madjusmdet.j	|- ( ph -> J e. ( 1 ... N ) )
madjusmdet.m	|- ( ph -> M e. B )
madjusmdetlem2.p	|- P = ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
madjusmdetlem2.s	|- S = ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , N , if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
madjusmdetlem2	|- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( X < I , X , ( X + 1 ) ) = ( ( P o. `' S ) ` X ) )

Distinct variable groups:   B, i   i, I   i, J   i, M   i, N   P, i   R, i   ph, i   S, i

Allowed substitution hints:   A( i)   D( i)   .x. ( i)   E( i)   K( i)   X( i)   Z( i)

Proof of Theorem madjusmdetlem2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		madjusmdet.n	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
2		nnuz 11218	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
4		eluzfz2 11833	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> N e. ( 1 ... N ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( 1 ... N ) )
6		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) = ( 1 ... N )
7		madjusmdetlem2.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , N , if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) ) )
8		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) = ( SymGrp ` ( 1 ... N ) )
9		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) )
10	6, 7, 8, 9	fzto1st 28690	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( 1 ... N ) -> S e. ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) ) )
11	5, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) ) )
12	8, 9	symgbasf1o 17102	. . . . . . . . 9 |- ( S e. ( Base ` ( SymGrp ` ( 1 ... N ) ) ) -> S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
14	13	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
15		fznatpl1 11876	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
16	1, 15	sylan 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
17		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = x -> ( i = 1 <-> x = 1 ) )
18		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = x -> ( i <_ N <-> x <_ N ) )
19		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = x -> ( i - 1 ) = ( x - 1 ) )
20		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = x -> i = x )
21	18, 19, 20	ifbieq12d 3899	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = x -> if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) = if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) )
22	17, 21	ifbieq2d 3897	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = x -> if ( i = 1 , N , if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) ) = if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) )
23	22	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , N , if ( i <_ N , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) )
24	7, 23	eqtri 2493	. . . . . . . . . 10 |- S = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) )
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> S = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) ) )
26		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x = ( X + 1 ) )
27		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 e. RR )
28		fz1ssnn 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ NN
29		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
30	28, 29	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. NN )
31	30	nnrpd 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. RR+ )
32	31	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> X e. RR+ )
33	27, 32	ltaddrp2d 11395	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 < ( X + 1 ) )
34	27, 33	ltned 9788	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 =/= ( X + 1 ) )
35	34	necomd 2698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( X + 1 ) =/= 1 )
36	26, 35	eqnetrd 2710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x =/= 1 )
37	36	neneqd 2648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> -. x = 1 )
38	37	iffalsed 3883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) = if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) )
39	1	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
40	30	nnnn0d 10949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. NN0 )
41	39	nnnn0d 10949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN0 )
42		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> X <_ ( N - 1 ) )
43	29, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X <_ ( N - 1 ) )
44		nn0ltlem1 11020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( X < N <-> X <_ ( N - 1 ) ) )
45	44	biimpar 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ X <_ ( N - 1 ) ) -> X < N )
46	40, 41, 43, 45	syl21anc 1291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X < N )
47		nnltp1le 11016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. NN /\ N e. NN ) -> ( X < N <-> ( X + 1 ) <_ N ) )
48	47	biimpa 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. NN /\ N e. NN ) /\ X < N ) -> ( X + 1 ) <_ N )
49	30, 39, 46, 48	syl21anc 1291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( X + 1 ) <_ N )
50	49	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( X + 1 ) <_ N )
51	26, 50	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x <_ N )
52	51	iftrued 3880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) = ( x - 1 ) )
53	26	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( x - 1 ) = ( ( X + 1 ) - 1 ) )
54	30	nncnd 10647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. CC )
55		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
56	54, 55	pncand 10006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( X + 1 ) - 1 ) = X )
57	56	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( ( X + 1 ) - 1 ) = X )
58	53, 57	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( x - 1 ) = X )
59	38, 52, 58	3eqtrd 2509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , N , if ( x <_ N , ( x - 1 ) , x ) ) = X )
60	25, 59, 16, 29	fvmptd 5969	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( S ` ( X + 1 ) ) = X )
61	60	idi 2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( S ` ( X + 1 ) ) = X )
62		f1ocnvfv 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( S ` ( X + 1 ) ) = X -> ( `' S ` X ) = ( X + 1 ) ) )
63	62	imp 436	. . . . . . 7 |- ( ( ( S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) /\ ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) ) /\ ( S ` ( X + 1 ) ) = X ) -> ( `' S ` X ) = ( X + 1 ) )
64	14, 16, 61, 63	syl21anc 1291	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( `' S ` X ) = ( X + 1 ) )
65	64	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( P ` ( `' S ` X ) ) = ( P ` ( X + 1 ) ) )
66	65	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> ( P ` ( `' S ` X ) ) = ( P ` ( X + 1 ) ) )
67		madjusmdetlem2.p	. . . . . . 7 |- P = ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
68	20	breq1d 4405	. . . . . . . . . 10 |- ( i = x -> ( i <_ I <-> x <_ I ) )
69	68, 19, 20	ifbieq12d 3899	. . . . . . . . 9 |- ( i = x -> if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) = if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) )
70	17, 69	ifbieq2d 3897	. . . . . . . 8 |- ( i = x -> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) = if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) )
71	70	cbvmptv 4488	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... N ) |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) ) = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) )
72	67, 71	eqtri 2493	. . . . . 6 |- P = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) )
73	72	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> P = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) ) )
74	33, 26	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 < x )
75	27, 74	ltned 9788	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> 1 =/= x )
76	75	necomd 2698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x =/= 1 )
77	76	neneqd 2648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> -. x = 1 )
78	77	iffalsed 3883	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) )
79	78	adantlr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) )
80		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x = ( X + 1 ) )
81	30	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> X e. NN )
82		fz1ssnn 11856	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) C_ NN
83		madjusmdet.i	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I e. ( 1 ... N ) )
84	82, 83	sseldi 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I e. NN )
85	84	ad3antrrr 744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> I e. NN )
86		simplr 770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> X < I )
87		nnltp1le 11016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. NN /\ I e. NN ) -> ( X < I <-> ( X + 1 ) <_ I ) )
88	87	biimpa 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. NN /\ I e. NN ) /\ X < I ) -> ( X + 1 ) <_ I )
89	81, 85, 86, 88	syl21anc 1291	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( X + 1 ) <_ I )
90	80, 89	eqbrtrd 4416	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x <_ I )
91	90	iftrued 3880	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) = ( x - 1 ) )
92	58	adantlr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( x - 1 ) = X )
93	79, 91, 92	3eqtrd 2509	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = X )
94	16	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
95		simplr 770	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
96	73, 93, 94, 95	fvmptd 5969	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> ( P ` ( X + 1 ) ) = X )
97	66, 96	eqtr2d 2506	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ X < I ) -> X = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
98	65	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> ( P ` ( `' S ` X ) ) = ( P ` ( X + 1 ) ) )
99	72	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> P = ( x e. ( 1 ... N ) |-> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) ) )
100	78	adantlr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) )
101	30	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> X e. NN )
102	84	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> I e. NN )
103	26	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> x = ( X + 1 ) )
104		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> x <_ I )
105	103, 104	eqbrtrrd 4418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> ( X + 1 ) <_ I )
106	87	biimpar 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. NN /\ I e. NN ) /\ ( X + 1 ) <_ I ) -> X < I )
107	101, 102, 105, 106	syl21anc 1291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ x <_ I ) -> X < I )
108	107	ex 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( x <_ I -> X < I ) )
109	108	con3d 140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> ( -. X < I -> -. x <_ I ) )
110	109	imp 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ x = ( X + 1 ) ) /\ -. X < I ) -> -. x <_ I )
111	110	an32s 821	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> -. x <_ I )
112	111	iffalsed 3883	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) = x )
113		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> x = ( X + 1 ) )
114	112, 113	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) = ( X + 1 ) )
115	100, 114	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) /\ x = ( X + 1 ) ) -> if ( x = 1 , I , if ( x <_ I , ( x - 1 ) , x ) ) = ( X + 1 ) )
116	16	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> ( X + 1 ) e. ( 1 ... N ) )
117	99, 115, 116, 116	fvmptd 5969	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> ( P ` ( X + 1 ) ) = ( X + 1 ) )
118	98, 117	eqtr2d 2506	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) /\ -. X < I ) -> ( X + 1 ) = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
119	97, 118	ifeqda 3905	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( X < I , X , ( X + 1 ) ) = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
120		f1ocnv 5840	. . . . . 6 |- ( S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> `' S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
121	11, 12, 120	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> `' S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
122		f1ofun 5830	. . . . 5 |- ( `' S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> Fun `' S )
123	121, 122	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> Fun `' S )
124	123	adantr 472	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> Fun `' S )
125		fzdif2 28444	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... N ) \ { N } ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
126	3, 125	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 ... N ) \ { N } ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
127		difss 3549	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... N ) \ { N } ) C_ ( 1 ... N )
128	126, 127	syl6eqssr 3469	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 1 ... N ) )
129		f1odm 5832	. . . . . . 7 |- ( `' S : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> dom `' S = ( 1 ... N ) )
130	121, 129	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom `' S = ( 1 ... N ) )
131	128, 130	sseqtr4d 3455	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ dom `' S )
132	131	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ dom `' S )
133	132, 29	sseldd 3419	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. dom `' S )
134		fvco 5956	. . 3 |- ( ( Fun `' S /\ X e. dom `' S ) -> ( ( P o. `' S ) ` X ) = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
135	124, 133, 134	syl2anc 673	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( P o. `' S ) ` X ) = ( P ` ( `' S ` X ) ) )
136	119, 135	eqtr4d 2508	1 |- ( ( ph /\ X e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> if ( X < I , X , ( X + 1 ) ) = ( ( P o. `' S ) ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   \ cdif 3387   C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   o. ccom 4843   Fun wfun 5583   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1c1 9558   + caddc 9560   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   Basecbs 15199   .rcmulr 15269   SymGrpcsymg 17096   CRingccrg 17859   ZRHomczrh 19148   Mat cmat 19509   maDet cmdat 19686   maAdju cmadu 19734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-tset 15287  df-symg 17097  df-pmtr 17161

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem3  28729