MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madetsumid Structured version   Unicode version

Theorem madetsumid 19090
Description: The identity summand in the Leibniz' formula of a determinant for a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
madetsumid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
madetsumid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
madetsumid.u  |-  U  =  (mulGrp `  R )
madetsumid.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
madetsumid.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
madetsumid.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
madetsumid  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B  /\  P  =  (  _I  |`  N ) )  ->  ( (
( Y  o.  S
) `  P )  .x.  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( ( P `  r ) M r ) ) ) )  =  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, r    M, r    N, r    R, r    P, r
Allowed substitution hints:    A( r)    S( r)    .x. ( r)    U( r)    Y( r)

Proof of Theorem madetsumid
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( P  =  (  _I  |`  N )  ->  ( ( Y  o.  S ) `  P )  =  ( ( Y  o.  S
) `  (  _I  |`  N ) ) )
2 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( P  =  (  _I  |`  N )  ->  ( P `  r )  =  ( (  _I  |`  N ) `
 r ) )
32oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( P  =  (  _I  |`  N )  ->  ( ( P `
 r ) M r )  =  ( ( (  _I  |`  N ) `
 r ) M r ) )
43mpteq2dv 4544 . . . . 5  |-  ( P  =  (  _I  |`  N )  ->  ( r  e.  N  |->  ( ( P `
 r ) M r ) )  =  ( r  e.  N  |->  ( ( (  _I  |`  N ) `  r
) M r ) ) )
54oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( P  =  (  _I  |`  N )  ->  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( ( P `  r ) M r ) ) )  =  ( U 
gsumg  ( r  e.  N  |->  ( ( (  _I  |`  N ) `  r
) M r ) ) ) )
61, 5oveq12d 6314 . . 3  |-  ( P  =  (  _I  |`  N )  ->  ( ( ( Y  o.  S ) `
 P )  .x.  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( ( P `  r ) M r ) ) ) )  =  ( ( ( Y  o.  S ) `
 (  _I  |`  N ) )  .x.  ( U 
gsumg  ( r  e.  N  |->  ( ( (  _I  |`  N ) `  r
) M r ) ) ) ) )
763ad2ant3 1019 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B  /\  P  =  (  _I  |`  N ) )  ->  ( (
( Y  o.  S
) `  P )  .x.  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( ( P `  r ) M r ) ) ) )  =  ( ( ( Y  o.  S ) `
 (  _I  |`  N ) )  .x.  ( U 
gsumg  ( r  e.  N  |->  ( ( (  _I  |`  N ) `  r
) M r ) ) ) ) )
8 madetsumid.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
9 madetsumid.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
108, 9matrcl 19041 . . . . . 6  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
1110simpld 459 . . . . 5  |-  ( M  e.  B  ->  N  e.  Fin )
12 madetsumid.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
13 madetsumid.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  (pmSgn `  N )
1412, 13coeq12i 5176 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  o.  S )  =  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) )
1514a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( Y  o.  S )  =  ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) )
16 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
1716symgid 16553 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Fin  ->  (  _I  |`  N )  =  ( 0g `  ( SymGrp `
 N ) ) )
1817adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (  _I  |`  N )  =  ( 0g `  ( SymGrp `
 N ) ) )
1915, 18fveq12d 5878 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( Y  o.  S
) `  (  _I  |`  N ) )  =  ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  ( 0g `  ( SymGrp `  N ) ) ) )
20 crngring 17336 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
21 zrhpsgnmhm 18747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  (mulGrp `  R )
) )
22 madetsumid.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  (mulGrp `  R )
2322oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
SymGrp `  N ) MndHom  U
)  =  ( (
SymGrp `  N ) MndHom  (mulGrp `  R ) )
2421, 23syl6eleqr 2556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  U ) )
2520, 24sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  U ) )
26 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  ( SymGrp `  N
) )  =  ( 0g `  ( SymGrp `  N ) )
27 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2822, 27ringidval 17282 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  U
)
2926, 28mhm0 16101 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) )  e.  ( ( SymGrp `  N
) MndHom  U )  ->  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  ( 0g `  ( SymGrp `  N ) ) )  =  ( 1r `  R ) )
3025, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  ( 0g `  ( SymGrp `  N ) ) )  =  ( 1r `  R ) )
3119, 30eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( Y  o.  S
) `  (  _I  |`  N ) )  =  ( 1r `  R
) )
32 fvresi 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  N  ->  (
(  _I  |`  N ) `
 r )  =  r )
3332adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  r  e.  N
)  ->  ( (  _I  |`  N ) `  r )  =  r )
3433oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  /\  r  e.  N
)  ->  ( (
(  _I  |`  N ) `
 r ) M r )  =  ( r M r ) )
3534mpteq2dva 4543 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
r  e.  N  |->  ( ( (  _I  |`  N ) `
 r ) M r ) )  =  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) )
3635oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( ( (  _I  |`  N ) `  r
) M r ) ) )  =  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) ) )
3731, 36oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  Fin )  ->  (
( ( Y  o.  S ) `  (  _I  |`  N ) ) 
.x.  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( ( (  _I  |`  N ) `
 r ) M r ) ) ) )  =  ( ( 1r `  R ) 
.x.  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) ) ) )
3811, 37sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
( ( Y  o.  S ) `  (  _I  |`  N ) ) 
.x.  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( ( (  _I  |`  N ) `
 r ) M r ) ) ) )  =  ( ( 1r `  R ) 
.x.  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) ) ) )
3920adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
408, 9, 22matgsumcl 19089 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
41 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
42 madetsumid.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4341, 42, 27ringlidm 17349 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) ) )  =  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) ) )
4439, 40, 43syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) ) )  =  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) ) )
4538, 44eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
( ( Y  o.  S ) `  (  _I  |`  N ) ) 
.x.  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( ( (  _I  |`  N ) `
 r ) M r ) ) ) )  =  ( U 
gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) ) )
46453adant3 1016 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B  /\  P  =  (  _I  |`  N ) )  ->  ( (
( Y  o.  S
) `  (  _I  |`  N ) )  .x.  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( ( (  _I  |`  N ) `  r
) M r ) ) ) )  =  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) ) )
477, 46eqtrd 2498 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B  /\  P  =  (  _I  |`  N ) )  ->  ( (
( Y  o.  S
) `  P )  .x.  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( ( P `  r ) M r ) ) ) )  =  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    |-> cmpt 4515    _I cid 4799    |` cres 5010    o. ccom 5012   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858   MndHom cmhm 16091   SymGrpcsymg 16529  pmSgncpsgn 16641  mulGrpcmgp 17268   1rcur 17280   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326   ZRHomczrh 18664   Mat cmat 19036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-concat 12548  df-s1 12549  df-substr 12550  df-splice 12551  df-reverse 12552  df-s2 12825  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-gim 16434  df-cntz 16482  df-oppg 16508  df-symg 16530  df-pmtr 16594  df-psgn 16643  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-dsmm 18890  df-frlm 18905  df-mat 19037
This theorem is referenced by:  mdetdiag  19228
  Copyright terms: Public domain W3C validator